Файл: Семенов Н.А. Техническая электродинамика учеб. пособие для электротехн. ин-тов связи.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 09.04.2024

Просмотров: 199

Скачиваний: 3

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

ЗАДАЧИ

(6.1. Плоская волна падает из зоздуха на плоскопараллельную пластину 'из полиэтилена (е = 2,25). Найти угол наклона пластины к лучу, при котором параллельнополяризованная волна проходит пластину без отражения. Показать, что полное прохождение имеет место на обеих плоскостях пластины. Найти коэффициент отражения перпендикулярнополяризованной волны от каждой из плоскостей пластины при этом же угле.

Ютвет: <рБ р =56°20'; Гх =,-,0,385.

6.2. Определить фазовую скорость поверхностной волны и ее граничное расстояние в воздухе. Волнаобразуется на границе полиэтилена (є = 2,25) и воздуха при ф=70°; частота 300 МГц.

Ответ: у=2,12-108

м/с; лг0 =16 см.

 

 

 

 

 

 

 

 

6.3. Из воздуха на медную пластину нормально падает волна с частотой

/=100

МГц. Напряженность

поля Я 4 = 1

А/м. Определить

поле

на

границе

:пластины

и

мощность, поглощаемую

пластиной

(отнесенную

к

1

м2

ее пло-

ацади).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Решение.

 

Напряженность

магнитного

поля

Hz

= 2tfi = 2

А/м. Волновое

сопротивление пластины для этого случая найдено

в 3.7: Z„2=3,7

е 1 4 5

=2,6+

+ І2.6

мОм. Следовательно, по

ф-ле

(6.23)

Т=2ZB2/ZBi

= 2-0,0037

e i 4 5 °

/377=

= 1,96-10-s е ' 4 5

.

Напряженность

электрического

поля

£ х

= £ 4

Г = 7,4-

• 1в~ 3 е і 4 5 °

 

, В/м, где £i = Z B

i

# І = 377 В/м — поле

падающей

волны. Можно

использовать

условие Леонтовича: £ т

= Я Т

Zs~2-3,7-10~3е'45

 

= 7 , 4 - Ю - 3 е 1 4 5

В/м. Мощность,

поглощаемая

 

пластиной

(отнесенная к единице

площади):

П = Ла\Нх

| 2 =2,6 - 10 - 3 - 4= 10,4-10-3

Вт/м2 =10,4

мВт/м2 .

 

 

 

 

6.4. Вывести формулы для Г и Т (6.23) и (6.24), основываясь на граничных условиях Леонтовича.

6.5. Определить отношение тока, распространяющегося в металле вне скин- -слоя А, вне слоя 2Д и ЗД к суммарному току / э к в .

Ответ: 0,368 e - i ;

0,135 e~2 i ;

0,0498 е ~ з і .

6.6. Доказать,

что для

немагнитных проводника и диэлектрика (р.д=Цпр)

справедливо следующее положение: энергия, рассеиваемая в проводнике за один

период Т, равна

среднему (за период) запасу

магнитной

энергии,

содержащейся

в тонком слое диэлектрика толщиной Х,П р=2л5Д у

поверхности проводника, т. е.

ГР = 2л.ДвУм (Лпр — длина воляы в проводнике).

Zi=i/?i+iA'1

алюминиевого

6.7. Вычислить комплексное

сопротивление

(о = 36 МСм/м)

провода

диаметром

1 мм

на

частотах

100 Гц; 1; 10; 100 кГц;

1; 10 МГц. Построить график зависимости J?i и Хі от

частоты

(в

логарифми­

ческом масштабе по частоте).

116,5;

340

мОм/м;

Zi = 0,038;

0,286; 3,14;

Ответ: J?! = 36,4;

36,4;

36,5; 44,0;

.28,3; 106,0; 340 мОм/м.

Глава 7.

ИЗЛУЧЕНИЕ И ДИФРАКЦИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН

7.1. Электродинамические потенциалы

В О Л Н О В Ы Е П Р О Ц Е С С Ы

 

 

 

Выше было установлено

(параграфы 3.5

и 3.6),

что

переменное

электромагнитное

поле

имеет волновой

характер и

распростра­

няется в свободном пространстве с постоянной

скоростью, рав­

ной с. Из уравнения баланса энергии для переменного

электромаг­

нитного поля следует, что электромагнитная энергия

переносится:

волнами из объема, где действуют переменные сторонние токи, в окружающее этот объем пространство, где этих токов нет. Процесс волновой передачи переменного электромагнитного поля из обла­ сти, где существуют сторонние источники, называется излучением.

На практике приходится решать две противоположные зада­ чи, связанные с излучением электромагнитных волн: проектиро­ вать излучающие устройства — антенны, которые должны излу­ чать в нужных направлениях практически всю подводимую к ним-

энергию, и создавать неизлучающие направляющие

устройства

для передачи

электромагнитных

волн. Очевидно,

что

решение-

обеих задач

требует знания закономерностей процесса

излуче­

ния. Теоретически задача сводится

к определению во всем прост­

ранстве электромагнитного поля, созданного некоторым распреде­

лением сторонних токов JCT. В

качестве исходной примем

систе­

му уравнений Максвелла для

однородной изотропной

среды;

(3.13).

 

 

В Е К Т О Р Н Ы Й И С К А Л Я Р Н Ы Й П О Т Е Н Ц И А Л Ы

При рассмотрении статических и стационарных полей введение* потенциалов позволило свести уравнения Максвелла к уравнению Пуассона, наиболее простому по форме. Воспользуемся этим способом для упрощения системы уравнений монохроматическо­ го поля в однородной среде при наличии сторонних токов (3.13).

Поскольку div Н = 0,

выразим Н, как и в (5.27), через

вектор­

ный электродинамической

потенциал А:

 

H = ( l / i I e ) r o t A .

(7-І).

Подставим это выражение во второе уравнение системы (3.13):

 

 

rot Ё =

— і (о rot А

или

rot (Ё -+- і со А) =

0.

 

 

Выражение в круглых скобках, ротор

которого равен

нулю,

 

мож­

но по аналогии с (5.3)

представить

в

виде

градиента некоторой

скалярной

функции,

которую назовем

скалярным

электродинами-

меским

потенциалом

ф:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

E + i(oA =

— gradqb

или

Ё = — g r a d 0 — і со А.

 

(7.2)

Первое

уравнение

Максвелла

(3.13) записывается

через

элек­

тродинамические потенциалы в виде: rot rot

А = іюеа ра(—grad

ф—

—koA) -f-цаІст или с учетом тождества

(3.17)

и обозначения

(3.21)

В ВИДЄ: V 2

А—К 2 А—grad (div

А + ІСОЄаРаФ) =—Ца-Іст-

 

 

 

Так как div А можно задать произвольно, воспользуемся

для

электродинамического

потенциала

А лоренцовой

калибровкой:

 

 

 

div А 4- і соє0Цд 0

=

0,

 

 

 

 

(7.3)

которая при со = 0 переходит в кулонову

калибровку.

 

 

 

В

результате получаем неоднородное

волновое

уравнение

 

для

векторного

электродинамичёЬкого

 

потенциала:

 

 

 

 

 

 

 

 

у 2 А _ к 2 А = - £ Д т .

 

 

 

 

(? -4 >

Из третьего ур-ния (3.13) получаем аналогичное уравнение для

•скалярного электродинамического

потенциала:

 

 

 

 

 

 

 

 

V2 Ф — к2Ф = — Рст/е1.

 

 

 

 

(7-5)

которое является следствием

ур-ния

(7.4)

с учетом

калибровки

,<7.3).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

РЕШЕНИЕ НЕОДНОРОДНОГО ВОЛНОВОГО УРАВНЕНИЯ

 

 

Предположим вначале, что источник поля (JCT, Рст)

занимает

 

весь­

ма малую область AV-+-0 около начала координат. Во всем осталь­

ном пространстве поле удовлетворяет однородным

волновым

урав­

нениям, т. е. (7.4),

(7.5)

с нулевой правой частью.

В

этом случае

.очевидна сферическая симметрия решения скалярного ур-ния (7.5)

относительно источника; поэтому считаем решение не

зависящим

от' углов ф и О в

сферических координатах: дф/дц> = 0;

дф/дт}==0.

Тогда оператор

Лапласа

(3.19) упрощается:

У*ф = — d J'f*'

а однородное ур-ние (7.5)

принимает вид: d

—к?(гф)=0.

Это уравнение (с другими переменными) совпадает по виду с урав­ нением (3.23) для плоской однородной волны. Аналогично решению (3.24) оно допускает два решения для поля в произвольной точке М: г ф(М) —Ве~к г + С е + к г . Из проведенного в 3.5 анализа сле­ дует, что первое слагаемое описывает сферическую волну, раапро-

Л'24

страняющуюся от источника в сторону возрастающих значений г. Второе слагаемое соответствует волне, сходящейся к источнику; существование такой волны физически нереально, противоречит принципу причинности явлений и не удовлетворяет теореме един­ ственности, в частности, условиям излучения (4.38); поэтому счи­ таем С = 0.

Итак, ф(М) = (В/г)е~к г . Очевидно, что коэффициент В пропор­ ционален интенсивности источника. С понижением частоты коэффициент распространения к-*0, и естественно предположить, что в пределе при ф(М) = В/г данное выражение совпадает с выраже­

нием (5.10) для поля электростатического заряда, которое

являет­

ся решением

уравнения Пуассона

(5.8). Тогда

В = р с т Д У / ( 4

я е а ) .

Возвращаясь к произвольной

частоте и

считая

объем

V, где

расположены

сторонние силы, также произвольным,

получаем

 

Ф(М)= j р

с т Є ~ к г dV.

 

 

 

Векторное ур-ние (7.4) можно представить тремя скалярными проекциями в декартовой системе координат, каждая из которых подобна (7.5). Применив полученное решение для каждой из про­ екций (с заменами рст/Еа-^м^ст*,», z и ф-+Ах< у, z), а затем, объеди­ нив их, получим решение для векторного электродинамического потенциала:

А (М) = —

^

^

 

dV

 

 

 

е-

dV,

 

 

(7.6)

 

 

4я

 

г

 

4л

%

т

 

 

 

 

 

где V — объем, занимаемый сторонними токами, г — текущеее рас­

стояние от каждого элемента объема источника до точки

М.

 

 

Это

решение

 

называется

интегралом

Кирхгофа

для

запазды­

вающих

потенциалов.

Оно удовлетворяет

условиям

теоремы

един­

ственности для внешней задачи электродинамики

(см.

4.6).

Мно­

житель

е~кг

= е- к ™т е~, К Р г

соответствует

конечной

скорости

расп­

ространения волны от источника и=а!щ,

благодаря

чему

 

его

воздействие

доходит

до

точки М

с

запаздыванием

на

время

/ 3 -

= г/и = кр г/со (рис. 7.1). Векторный

потенциал

А (М) в момент

вре­

мени t является функцией токов в точке И,

 

 

 

 

 

существовавших

в

более

ранний

момент

 

 

 

 

 

(t-ts).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Отметим,

что

за

исключением

множите­

 

 

 

 

 

ля запаздывания

е~~к 'соотношение

(7.6)

не

 

 

 

 

 

отличается

от

решения

(5.29) для

вектор­

 

 

 

 

 

ного потенциала

стационарного

магнитно­

 

 

 

 

 

го поля. Справедливость допущений, сде­

 

 

 

 

 

ланных при выводе ф-лы (7.6), подтверж­

 

 

 

 

 

дается

непосредственной

подстановкой

по­

р и с . 7.1

 

 

 

лученного решения в исходное ур-ние (7.4).

 

 

 

Из ф-лы (7.6)

следует,

что векторный

электродинамический

потенциал

А параллелен

создавшему его стороннему

току, его

амплитуда

убывает

с расстоянием

по закону

1/г; на большом рас­

стоянии от излучателя

(по сравнению с его размерами)

волна

имеет сферический

фронт.

 

 

 

 

 

 

Напряженность "магнитного

поля определяем по

известному

значению

А из соотношения (7.1). Затем,

учитывая

отсутствие

сторонних токов в точке М, с помощью первого ур-ния

(3.13)

нахо­

дим напряженность электрического

поля:

 

 

 

 

Ё(М) =

- ^ r o t H

=

— r o t

rot A.

 

(7.7)

Полученные соотношения определяют в общем виде электро­ магнитное поле заданного распределения сторонних токов в без­ граничном пространстве.

7.2. Элементарный электрический излучатель

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕКТОРНОГО ПОТЕНЦИАЛА А

Элементарный электрический излучатель представляет собой отре­ зок линейного проводника с неизменным по длине переменным током 1С1, длина / и поперечные размеры которого намного меньше длины волны. На концах такого отрезка проводника согласно уравнениям непрерывности (3.12) образуются пе-

• ґ

\

 

ременные

электрические заряды

<2ст = /ст/(ко), по-

# I

1

 

этому данная система рассматривается также, как

Ч ^ ^ у

 

электрический

диполь

с периодически

 

меняющимся

•

і |Г

 

моментом

рэ=

<ЭСТ^=/СТ//(ИЙ); она

называется ос-

'

Т я

 

циллятором.

Первой

макроскопической

моделью

ґ

If

 

такого осциллятора

был вибратор

Герца

(рис. 7.2),

X

 

в котором

заряды

накапливаются

 

на

шарах или

-Q. I

J

 

дисках с большой электрической емкостью.

 

Чь.даіг

 

В теории

антенн

элементарным

электрическим

 

 

 

излучателем считается достаточно малый по длине

Рис. 7.2

1

(по сравнению с X) участок провода. Каково бы

 

 

 

ни было распределение амплитуды

и фазы

тока по

всему

проводу,

в пределах отрезка

/<СЛ их можно принять неиз­

менными. Таким образом, сложные антенны системы можно пред­ ставить составленными из элементарных излучателей.

Определим электромагнитное поле, создаваемое элементарным

излучателем, помещенным в среду с малыми

потерями

(к а

-С/ср)

в начало сферической

системы координат так, что l||ez

(рис. 7.3).

Будем считать, что в интеграле

Кирхгофа

(7.6) V — объем

эле­

ментарного излучателя, а точка

наблюдения М удалена от него

на расстояние г^>1; очевидно,

что г в пределах V меняется

не

больше, чем на /. Так как К а / < к в Я < 1 , множитель

е

а

в ин­

теграле практически

неизменен.

Изменение

фазы

кр / = (2я/Х.) X

Смотрите также файлы