Файл: Семенов Н.А. Техническая электродинамика учеб. пособие для электротехн. ин-тов связи.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 09.04.2024

Просмотров: 218

Скачиваний: 3

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

 

Пусть перпендикулярно

по­

 

ляризованная

волна

 

падает

 

под

некоторым

углом

<р

на

 

идеально проводящую

поверх­

 

ность, лежащую

в

 

плоскости

 

уог.

На рис.

8.5

показано

рас­

 

пределение поля для

некоторо­

 

го момента

 

времени:

вектор

 

магнитного

поля

 

расположен

 

в плоскости чертежа, а вектор

 

электрического

поля

•— пер­

 

пендикулярно

этой

плоскости.

 

Штрих-пунктирные

линии

по­

 

казывают фронты

волны, соот­

 

ветствующие

положительному

Рис. 8.4

максимуму

( + Ет),

а

пунктир­

 

ные

— отрицательному

( — Е т )\ точечный пунктир соответствует

линиям нулевого поля

( £ = 0).

 

Под тем же углом ф волна отражается от проводящей поверхности, причем так, что удовлетворяются граничные условия напро-

Рис. 8.5

воднике: результирующая тангенциальная составляющая Е на отражающей поверхности равна нулю. Если через какую-то точку

на этой поверхности проходит фронт максимума

(+Ет)

падающей

волны, то у отраженной волны

должен проходить фронт

минимума.

Из рисунка видно, что условие Е х = Е + + Е - = 0

соблюдается

на

всей граничной поверхности.

Вследствие этого

появляется

ряд

плоскостей, параллельных отражающей поверхности, где выполня­ ется это же условие: по оси Ох образуется стоячая волна с рядом параллельных узловых поверхностей.

Дадим математическое описание поля Е, образованного суперпо­ зицией падающей и отраженной волн. Если принять, что потери в

диэлектрике отсутствуют, то для падающей волны по ф-ле

(6.2)

по­

лучим показатель экспоненты: K+-r—ik(ysinф+zcosф),

а для

от­

раженной волны: K - - r = i & ( # s i n ф — г с о з ф ) . П р и идеально отражаю-

6*

163

щей поверхности

(Z B 2 = 0) согласно

ф-лам

(6.7) — (6.11) находим

Г± =—1; В = —А. Тогда результирующее

поле

Ё = Ё + + Ё - =

л ( е

- к + - '

—к

е

е„

А[ё Лк(г situp—х созф)

-ife (г з і п ф + * соэф)!

іш< е^, =

і 2 Л sin (fe cos ф • х) е'( < в '-* З І П ф ' г ) е„ (8.18)

представляет собой неоднородную плоскую волну, распространяю­ щуюся вдоль оси Oz. Удобно описать ее структуру с помощью фа­

зового коэффициента р и поперечного

волнового

коэффициента %:

Ё = i 2 A s i n x x e i ( u > M 3 z ) e y ; p =

*sinq>; х = ^соэф;

(8.19)

справедливость уравнения коэффициентов (8.4)

в данном

случае

очевидна. Электрическое поле Е образует стоячую волну вдоль по­

перечной оси х и бегущую — вдоль ОСИ Z.

 

 

 

 

 

 

 

 

В ряде равноотстоящих плоскостей

электрическое

поле

равно

нулю: Еу = Е^

+Е*Г=0 при sinx* = 0.

Положение

этих

плоскостей

определяется

условием: %х=тп

{т — 0, 1, 2,...),

откуда

х = 0; х —

= аі = я/х;... x = am=mnli=mai

и т.

д. Поэтому рассмотренная

структура поля может быть создана между двумя

параллельными

проводящими плоскостями, расстояние между которыми

 

 

 

 

 

а = тах •=

=

=

2cos ф

,

 

 

 

 

(8.20)

 

X

k cos ф

 

 

 

 

 

 

где X — длина

плоской однородной волны в среде.

 

 

 

 

 

Ограничим

ноле на рис. 8.5

сверху, поместив

в одну из узловых

 

 

плоскостей

вторую

металличе­

 

 

скую пластину. Теперь

 

плоская

 

 

волна

распространяется

меж­

 

 

ду

двумя

плоскостями,

 

много­

 

 

кратно

отражаясь

от

 

каждой

 

 

из

них

(рис.

8.6).

Суперпози­

 

 

ция полей падающей

 

и

отра­

 

 

женной волн равна нулю у ме­

 

 

таллических

стенок,

а

 

между

 

 

ними один или несколько раз

 

 

достигает

максимума,

 

равного

Рис. 8.6

 

двойной

амплитуде

падающей

 

волны.

Число

полуволн

стоя-

 

 

чей волны, укладывающихся по оси х между проводящими стен-

ками, равно пг.

 

 

 

Ограничив пространство металлическими поверхностями

еще

в двух плоскостях

у = 0 и у=Ь,

перпендикулярных вектору Е, при­

ходим к полю в прямоугольном

волноводе (рис. 8.4), удовлетворяю­

щему граничному

условию Ех

|s=0 на всех его стенках. Если

раз­

мер волновода а задан, то угол ф падения парциальной волны не произволен, а определяется соотношением (8.20); он зависит также от числа т, определяющего сложность структуры поля волны, рас-

пространяющейся в волноводе. Магнитное поле определяется ана­ логично электрическому. Из рис. 8.5 видно, что оно имеет состав­

ляющие Нх

и Нг. В плоскостях, где Еу=0

суммарное поле Hz

мак­

симально и равно удвоенному значению Hz

парциальной

волны.

Как следует

из ф-лы (8.19), волна

распространяется вдоль оси

z с фазовым

коэффициентом

р. Эквифазными являются

поверхно­

сти

2 = const

(поперечные

сечения

волновода). В

волноводе рас­

пространяется плоская

неоднородная

 

волна

 

(Е непостоянно в экви-

фазной плоскости).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Длина волны Л в волноводе определяется ф-лой

(3.30), в

кото­

рой

заменяется на

р:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Л — — —

2я

 

 

 

 

 

 

(8.21)

 

 

 

 

 

k sin ф

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Р

 

sin ф

 

 

 

 

Можно найти Л и по расстоянию

между

двумя

максимумами

поля

вдоль оси волновода. Из треугольника ACD на рис. 8.6

следует;

sin<p=A,/A,

что

совпадает

с

ф-лой

(8.21). Длина

волны

в

полоіч

металлическом

волноводе

А

больше,

чем

в неограниченном

прост­

ранстве Я при той же частоте

колебаний.

 

 

 

 

 

Выведем условие распространения волны в волноводе. При по­ стоянных а и т угол падения парциальной волны зависит от А: cos ф =/ПА/(2 а) . Если А,<С2а/т, угол ф близок к 90°, парциальные волны падают на стенки волновода полого (рис. 8.7). По ме'ре рос-

А.« 2а/т

Л<2а/т

Л=2а/т

Рис. 8.7

 

 

та А угол ф уменьшается

и, наконец,

при Х = 2а/т становится рав­

ным нулю; распространение волны прекращается. Таким образом, размер волновода ограничивает диапазон длин волн, которые спо­ собны в нем распространяться, неравенством: , л < 2 а/т.

Назовем верхнюю границу диапазона, в котором волна задан­

ного типа распространяется по волноводу, критической

длиной вол­

ны лК р (в данном случае Хкр —2а/т). В волноводе

могут распро­

страняться только те колебания, у которых длина волны в свобод­

ном пространстве меньше критической: л < л К р .

 

 

 

Соответственно определяются

критическая

частота i/Kp = f 8 Д /Я К р

и условие

распространения />/крПрактически всегда

необходимо

определенное превышение частоты / над критической

частотой / к р

заданного типа волны.

 

 

 

 

 

 

Н-ОБРАЗНЫЙ МЕТАЛЛОДИЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ВОЛНОВОД

Рассмотрим волновод (рис. 8.8)

в виде диэлектрической

пластины

ПРЯМОУГОЛЬНОГО СечеНИЯ

С ПрОНИЦаеМОСТЬЮ Єї

и волновым

числом

ki = ko У

гі, граничащей

с воздухом (є2=1; k2

= ko) в

плоскостях

х=±а,

параллельных yoz и с металлическими

пластинами

в плос­

костях

г/=0 и у = Ь. Пусть

парциальные

волны в диэлектрике по­

ляризованы параллельно оси у: Е\\еу.

 

В отличие от

металлического

волновода (рис. 8.4) парциальные волны

полностью отражаются от

границы двух

диэлектриков

в

плоскостях

х~±а

только

в

том

случае,

если

e i > e 2 и <p>cpKp,

где

согласно

ф-ле

(6.17)

 

фКр =

= arc sin У єг/є^агсзіпС&г/^і). По ф-ле (6.19)

коэффициент

отра­

жения от границы двух диэлектриков Г±

 

= 1 - е ' * ;

его модуль ра­

вен единице, а фазовый угол определяется

соотношением tg(ty/Q) =

= sh 0/( У~еі cos ф), откуда

следует,

что

0 < ф < я .

Поэтому

узло­

 

 

 

 

вые

плоскости, где

электрическое

 

 

 

 

поле

равно

нулю

(парциальные

 

 

 

 

волны складываются в противо-

 

 

 

 

фазе), теперь не совпадают с гра­

 

 

 

 

ницей.

Внутри

диэлектрической

 

 

 

 

пластины вдоль оси х возникает

 

 

 

 

стоячая волна с нецелым числом

 

 

 

 

полуволн

(с

отсеченными

конца­

 

 

 

 

ми

синусоид,

изображающих из­

 

 

 

 

менение

 

поля

Е);

границы

пла-

Воздух

Рис. 8.8

 

 

 

 

Рис. 8.9

 

 

 

 

стины х=

±а

проходят в тех областях,

где

ЕуфО.

 

 

 

 

Как было

установлено в 6.3,

при ф > ф К р

плоская

волна

прохо­

дит через границу диэлектриков,

образуя в воздухе поверхностную

волну. Поле

этой волны при удалении

от -границы

убывает тем

быстрее, чем больше

коэффициент в экспоненциальном множителе

(6.20), который

назовем поперечным

коэффициентом

поверхност­

ной

волны:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

£ = &2 sh в .

 

 

 

 

' (8.22)

 

Наглядное представление о поперечной протяженности поля по­

верхностной

волны, пропорционального

е ~ , ( * — а )

(для х^а),

дает

граничное

расстояние

Хо, измеренное от х—а

до той плоскости, где

напряженность

поля

в е раз меньше, чем у поверхности пластины.

Очевидно, что £*о=1 и хо=

 

 

 

 

 

 

Поверхностная волна образуется парциальными волнами, кото­

рые

распространяются в воздухе

по эллиптическим

траекториям,

возвращаясь

обратно

в диэлектрик (рис. 8.9). Формально это яв­

ление описывается комплексным углом преломления волны в воз­ духе т> = я/2 + Ю. Экспоненциально спадающие поля с обеих сторон

166

пластины являются непосредственным продолжением поля стоячей волны в диэлектрике. Все вместе они образуют единую волну, рас­ пространяющуюся вдоль оси z с фазовым коэффициентом р. Из ф-л (6.18), (6.20) и (8.19) следует, что

 

р" =

la ch в =

ki sin ф;

k, < р" < h.

(8.23)

Частотный диапазон волноводов с поверхностной волной ограни­

чен

снизу граничной

частотой / г р , соответствующей критическому

углу

падения парциальной

волны

ф = фкР = агс sin (kjki),

тогда

р = &2, 9 = 0 и поперечный коэффициент поверхностной волны

£ = 0.

Поле волны в воздухе не убывает с расстоянием от пластины: оно становится неограниченным по оси х; такую волну уже нельзя счи­ тать направляемой.

В случае />ifrp угол падения парциальной волны ф > ф К р , попе­ речный коэффициент £ > 0 , и на границе с диэлектриком формиру­ ется поверхностная волна. Для практического использования вол­

новода

необходимо определенное превышение f над /гр, чтобы

гра­

ничное

расстояние Xo—1/t, стадо соизмеримым с толщиной 2

а

(на­

пример,

10 а) .

 

 

При

дальнейшем росте частоты, как и в металлическом

волно­

воде, ф-»-90о; тогда (5-»-&i, а £ неограниченно растет, что приводит к все большей концентрации поля поверхностной волны, т. е. умень­ шению ее протяженности в поперечном направлении (XQ-*-0).

Таким образом, поверхностную волну можно считать специфи­ ческой формой парциальной, распространяющейся под комплекс­ ным углом к оси волновода. Это позволяет обобщить концепцию Бриллюэна на волноводы с поверхностной волной.

8.6. Скорости волны. Дисперсия. Мощность

ФАЗОВАЯ СКОРОСТЬ

Фазовая скорость волны была определена ранее как скорость дви­ жения фазового фронта. Фазовую скорость волны в направляющей системе найдем по ф-лам (3.28) и (3.30), в которых к р заменяет­ ся на р:

v = « = f A = T Z - = ^ - ,

•

(8.24)

где k и v — волновое число и скорость распространения парци­ альной волны во внутренней среде волновода («1» на рис. 8.4 и 8.8). Здесь учтены соотношения (8.19), (8;21) и (8.23). Фазовая скорость v > v e i l . При воздушном заполнении металлического вол­ новода V = с , тогда V>c. Согласно теории относительности материя не может перемещаться со скоростью, превышающей скорость света с. Уже поэтому фазовая скорость не может являться скоро­ стью движения электромагнитной волны, представляющей собой

Смотрите также файлы