Файл: Семенов Н.А. Техническая электродинамика учеб. пособие для электротехн. ин-тов связи.pdf

жащие для передачи электромагнитной

энергии. Английский физик

Дж . Рэлей еще в 1897 г. теоретически

рассмотрел задачу

о

рас­

пространении электромагнитных волн в полых волноводах.

Однако

лишь спустя 40 лет, когда начал осваиваться сантиметровый

диапа­

зон радиоволн, эти волноводы нашли техническое применение.

Основная особенность полого волновода состоит

в

том,

что

частотный диапазон распространяющихся в нем

волн

ограничен

снизу критической

частотой / к р ; ей соответствует

критическая

дли­

на волны АКр = УЄ[і

//К р — верхняя граница диапазона,

выраженного

рых постоянных

собственных

значениях

поперечного волнового ко­

эффициента

х- Каждому значению % = const соответствует опреде­

ленный тип волны в данном

волноводе.

Выше уже

был введен

фазовый

коэффициент волны р =

= Yk2—х2

[ф-ла (8.4)]. Волна распространяется лишь втом случае,

если коэффициент

фазы р вещественен

и не равен

нулю. Для этого

необходимо,

чтобы

подкоренное выражение было

положительным,

dv

d

d со

d со L / 1

- ( 0 ) к р / ( 0 ) 2

[ 1 - ( 0 ) к р / 0 ) ) 2 ] 3 / 2

Тогда

и

=

• == «гц / /С,

(9.7)

1

+

ер,

вода

легко

совмещаются с

координатными

поверхностями. Реше­

ние

граничной

задачи

для

£-волн

должно удовлетворять

волновому

уравнению

для

составляющей E Z и

граничным

условиям

на

стенках

волновода

(считаем

их

идеально

проводящими).

Уравнение

(8.14)

записывается в

декартовой

системе

координат

как

д*Ег + Х2Ёг

= 0-

(9.8)

дх*

Рис. 9.1

Продольная составляющая поля Ёг является касательной к по­

верхности стенок волновода. На границе с идеальным

проводником

касательная

составляющая

электрического поля согласно ф-ле

(2.27) равна нулю, следовательно,

Ег \с = 0 (при

х = 0 и а; у = 0

и Ь),

(9.9)

где С — контур волновода в поперечном сечении.

Искомая

функция

в ур-нии (9.8) зависит

от двух

аргументов х

и у. Уравнение этого типа решается методом

разделения

перемен­

ных:

искомая функция

представляется в виде произведения двух

Ёг(х,

y) = X(x)Y(y),

(9.10)

подставим ф-лу (9.10) в исходное ур-ние

(9.в), обозначив

произ­

водные функций одной переменной штрихами: X"(x)Y(y)

+Х(х)х

XY"(y) + %2X(x)Y(y)

=0;

разделим полученное равенство

почлен­

но на

X(x)Y(y):

^ 4 + ^ -

+ Х2 =

0.

(9.11)

X (х)

Y (у)

Уравнение

(9.11)

состоит

из трех слагаемых: первое из них за­

висит только

от переменной

х,

второе — только от переменной у,

а третье — не зависит от этих переменных. Это уравнение

должно

удовлетворяться в любой

точке

поперечного

сечения волновода.

В частности,

можно

двигаться

параллельно

оси х, сохраняя у =

если все его слагаемые

постоянны (в функции от хм

у). Обозна- •

чим

^li£L

=

— £2

= const;

^ I M . =

_

^

=

const.

(9.12)

X (x)

Y (y)

Тогда ур-ние (9.11) превращается в уравнение

для

поперечных

коэффициентов:

! 2 +

r f = X2.

(9.13)

где g — поперечный коэффициент

по оси Ох,

г] — поперечный ко­

эффициент по оси Оу.

Дифференциальные ур-ния (9.12) являются линейными урав­

нениями второго

порядка Х"(х)

+ 12Х(х)

= 0

и

Y"(у)

+rfY(y)

= 0,

решения которых хорошо известны [5]:

X (х) = A sin |

х + В cos | х;

Y (у) = С sin ц у + D cos г\у.

(9.14)

Функции Х(х)

и

Y(y)

должны

удовлетворять

граничным

усло­

виям (9.9), т. е. Х(х)

= 0

при х = 0 и х = а;

Y(y)

= 0 при у=0

и

у=Ь.

Следовательно, 5 = 0 и D = 0, если положить в

(9.14)

,v=0

и у = 0.

Требуется также, чтобы при х=а

и у = Ь равнялись нулю синусы со­

ответствующих аргументов, т. е. вдоль каждой

стороны волновода

укладывалось целое число полуволн синусоиды.

Следовательно,

аргументы синусов: £а = т я и цЬ = пп,

где

тип

— целые

поло­

жительные числа. Ни одно из них нельзя

принять равным

нулю,

так как тогда Ez

тождественно

обращается

в нуль. Итак,

для по­

перечных коэффициентов

по осям

Ох

и Оу

должны

выполняться

соотношения:

т л

; Цп =

п л

•

/п 1 с\

а

—

(9.15)

о