Файл: Семенов Н.А. Техническая электродинамика учеб. пособие для электротехн. ин-тов связи.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 09.04.2024

Просмотров: 231

Скачиваний: 3

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Ответ: <7=1 666 665+А

(£=0, 1,

2,

 

3); /„,=499 999,5 + 0,3 6

ГГц; Qo = 3,74x

Х107 ; Я=13,4 МГц.

добротность

цилиндрического

объемного резонатора с

11.10. Нагруженная

колебанием типа

Нщ

на резонансной

частоте

/о = 3 ГГц

составляет

Q a =10 2 .

Радиус резонатора а=3,5 см. Резонатор

возбуждается

круглой

петлей площадью

S =0,2 см2 на его торцевой стенке;

ток

в петле

/ В х = 1

А. Определить

оптималь­

ное положение

петли,

напряженности

полей в

резонаторе

на

резонансной ча­

стоте и входное сопротивление петли.

 

 

 

 

 

 

 

Решение.

Длина

резонатора,

отвечающая резонансной

частоте, опреде­

ляется из ф-лы (11.18)

при v'ii == 1,841

и q=l;

7 = 9,1 см. Для

определения нор­

мированных значений поля в резонаторе необходимо найти запасенную в нем

энергию

через коэффициенты

Н0 в

ф-ле (11.20).

Интегрирование

по ф-лам

(11.37)

сравнительно сложно.

Проще

использовать

в данном случае

соотноше­

ние между запасом энергии в резонаторе при резонансе и мощностью бегущей

волны

в волноводе

(см. параграф 11.7);' W =*(Рбет/u)2l=QlРоет £/(Рс). Мощность

волны

Я н

в

круглом

волноводе

определяется

ф-лой (9.53).

Следовательно,

№=41,67(62 /с)2/ a4 (Z„/ZB o)

Н20 = 150-10~12Н\

, Дж. Учитывая, что

№н =(2

Дж,

определим

нормированное

значение

 

коэффициента:

HQ =

У 2/(150- Ю - 1 2 )

=

= 115 кА/м. Оптимальное положение

петли — в

центре торцевой

стенки

резона­

тора

(г = 0;

2 = 0),

 

где

магнитное

поле

максимально.

В соответствии

с

ф-лой

(11.20)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

і (Р/Х) Н*0 =

і 75,5

кА/м

(при

«р = 0).

 

 

 

 

 

 

Дипольный

момент

элементарного

магнитного

излучателя

находим

по

ф-ле

(7.23):

(/"т /) =

і бо ZEo / С Т SB

=

i 2,37

В-м.

Нормированные

амплитуды

при

резонансе определяются ф-лой (11.39):

UB

=

h =

QH

( /"т О н"

I ( 2 ^ "

ш о)

=

= і 4,75 -10- 4 .

Следовательно,

ненормированное

значение

коэффициента

Н0

=

= / о / / д = і 5 4 , 6

А/м. Поле

в

любой

точке

резонатора теперь

определяется

по

ф-лам (11.20).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

W=\U0[2Wa

+

Энергия,

запасенная

 

в

резонаторе

 

при

резонансе,

+ |/ 0 | 2 W' H =2|U| 2 W H =0,451

мкДж. Мощность потерь

в резонаторе

и выходной

нагрузке P=U)OW/QB=85

Вт. Входное сопротивление петли RBX=P!I2X

=85

Ом.

11.11. Полуволновый

коаксиальный

резонатор

изготовлен

из

линии

с

ха­

рактеристическим

сопротивлением

Zcp=25

Ом

и

коэффициентом

затухания

а = 0,001 1/м. Он включен

в разрыв

коаксиальной

линии с Z c = 75 Ом, 2о =

5 см.

Резонансная

частота

/о = 300

МГц.

Определить

собственную

и

нагруженную

добротности,

а

также

коэффициент

ослабления

 

резонатора

на

частотах

/о и

/і = 310 МГц.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ответ: Qo =

3140;

Q„=24,6;

| Л 0 | =

1,008; | ^ 4

| =

1,9.

 

11.11,

чтобы

сделать

11.12. Найти

положение

го для

резонатора

в

задаче

QH =100.

= 2,4

см.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ответ: z0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

коаксиального

резо­

11.13. Вывести формулу для входного сопретивления

натора, разомкнутого

на обоих концах.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ответ: #о= (2/jl<7JZCp Qo cos2 Р 20 .

Глава 12.

ВОЛНОВОДЫ ПОВЕРХНОСТНОЙ ВОЛНЫ

ИЗАМЕДЛЯЮЩИЕ СИСТЕМЫ

12.1.Основные свойства и характеристики

ЗАМЕДЛЕННАЯ ВОЛНА

Класс волноводов, рассматриваемый в этой главе, имеет ряд осо­ бенностей. Волновод состоит, по крайней мере, из двух разнород­ ных слоев, так что парциальная волна попеременно переходит из одного слоя в другой. Величина фазового коэффициента волны ft

НаХОДИТСЯ В Промежутке М е ж д у ВОЛНОВЫМИ

ЧИСЛаМИ & l = t o ] ^

8 a i p . a l

и &2=со 1/єа2Ца2 сред, образующих волновод

( 8 . 2 3 ) : &І>І|3 >&2

. Бла­

годаря этому фазовая скорость v волны в волноводе меньше, чем

скорость

vе д 2 во второй, оптически

менее плотной среде (см.

рис. 8 . 12) .

Такая волна называется

замедленной.

Напряженность поля волны в среде 2 убывает при удалении от граничной поверхности; основная часть энергии в этой среде рас­ пространяется вблизи и параллельно границе, поэтому волна на­ зывается поверхностной (ом. параграф 8 . 5) . Замедление волны и ее поверхностный характер неразрывно связаны, поэтому опреде­ ления «замедленная волна» и «поверхностная волна» следует счи­ тать физическими синонимами.

ПОВЕРХНОСТНЫЙ ИМПЕДАНС

 

 

В тех случаях, когда речь пойдет

о волнах класса Е или

Я, будем

приравнивать

тангенциальные

составляющие Ех и Нх

на

границе

двух сред 5,

пользуясь для

упрощения следующими

приемами:

1) обеспечим

равенство продольных составляющих поля Ez или Нг

на 5 и 2) установим по обе стороны границы S равенство для по­

верхностного

импеданса:

 

 

 

 

 

 

ZB = A*.\

или Z" =

 

(12.1)

 

Й±

Is

 

Н2

Ё х или Н х

Условимся, что в ф-лах

( 1 2 . 1 )

направление вектора

выбрано так, что нормальная к 5

составляющая вектора

Пойнтинга

направлена из среды 2 с поверхностной волной в среду /. Общие

соотношения (8 . 15) , (8.17) позволяют обнаружить,

что для волны

без потерь (у = ір) поверхностный импеданс чисто

реактивен, при­

чем он положителен для волн класса Е и отрицателен для Янволн.

10—2 289

Появление активной составляющей Zs означает, что поверхностная волна затухает. Это свойство присуще и другим волнам. В самом

деле,

для

идеальных линий

и металлических волноводов Ех —0 и

Z s = 0 ;

потери в проводниках

учитывались введением комплексного

импеданса

Z s = ( l + і ) / ( а Л ) на их поверхности.

 

 

УРАВНЕНИЕ ПОПЕРЕЧНЫХ КОЭФФИЦИЕНТОВ

Волна, распространяющаяся в (многослойном волноводе, представ­

ляет собой

единый волновой

процесс, зависящий от координаты

г

и времени

по закону (8.1). Если не

учитывать

потери в средах,

то

общий

множитель

для

всех

компонент

поля

волны

запишется

в виде

е 1 ( ш ' _ р г ) .

Для любой из идеальных сред двухслойного вол­

новода

должны выполняться

уравнения

коэффициентов

(8.4):

 

k\ —- р2

+ х2 ; k\ =

р2 +

%\,

где ц

и %2 — поперечные

волновые

коэффициенты в первой и второй средах. Неравенство &І>ІВ >&2

позволяет

заключить,

что

%\ >0, а

%1<0,

следовательно, %z — мни­

мая, величина.

Целесообразно

заменить

мнимый

коэффициент %2

на вещественный С так, чтобы £2

= —%2 . Тогда волновые ур-ния

(8.5)

для внешней среды 2 примут вид:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

у 2 х Ё - £ 2

Ё = 0; v 2 x

H - ^ 2 H - 0 ,

 

 

 

 

(12.2)

где £ ~ поперечный

коэффициент

поверхностной

волны,

характе­

ризующий 'быстроту убывания поля при удалении

от

границы

(см. также

ф-лу

(8.22)].

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Введем следующие обозначения для поперечных

 

коэффициентов

їй отношений іцроииіцаемостей сред:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

х = хі;

Б =

І /і*. є

= %Фаг,

м- = ы/ы-

 

 

 

 

(12.3)

Тогда

ki = k2Y~e[i,

и уравнения

коэффициентов

запишутся

как

 

 

А» =

Л|в|і

= р» + х';

 

k\ =

^ - t \

 

 

 

 

(12.4)

Разность этих равенств умножим на квадрат основного

разме­

ра а волновода

(например, на

рис.

8.8 2а — толщина диэлектри­

ческой пластины); в результате получим уравнение для

безразмер­

ных величин: (%а)2+

( £ # ) 2 = (к2а)*(ец—1).

 

 

 

_

_

 

 

Введем нормированные

поперечные

коэффициенты

х,

•£ и

норми­

рованную

частоту F:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

X = ха\

£ = £а'< F = k2 а Уг\і

— 1 =

^

\/гц

— 1 =

 

 

Выражение в скобках постоянно при данной конструкции волно­ вода.'

296-

J

С помощью этих обозначений запишем уравнение

нормирован­

ных поперечных

коэффициентов

 

 

,

-2 + ^ = p_

( 1 2 > 6 )

Для отыокания двух неизвестных % и \ необходимо_второе соот­

ношение. Запишем

его пока в общем виде как Dn(%, | ) = 0

и назо­

вем дисперсионным

уравнением. Оно определяется для

каждого

конкретного типа волновода из равенства касательных составляю­

щих поля волны на

границе сред, разделяющей поверхностную

и внутреннюю части

волны.

ФАЗОВАЯ И ГРУППОВАЯ СКОРОСТИ

Предположим, что дисперсионное уравнение уже известно и из его совместного с (12.6) решения определены поперечные коэффициен­ ты х и £. Тогда из ф-л (12.4) можно найти фазовый коэффициент (J:

(Р а)» = (М 2 + ? = - g ± f + Г2 = 2 ^

(12.7)

и фазовую скорость [ф-ла (8.24)]:

° ~

Р

Е »2 Р " K T F W

4,8 К " t f + ^ p "

•

( 1 2 - 8 )

при £ 2 / х 2 ^0,01 удобнее использовать

соотношение

 

 

 

 

» = ^ І 1 — °.5(е|* — 1) £S/X*].

 

 

Итак, по известным значениям поперечных коэффициентов

мож­

но найти

фазовую скорость волны. Из соотношения (12.8)

следует,

что v < v e t l 2 >

т. е. поверхностная волна всегда замедлена,

причем

замедление растет с увеличением £. Большие замедления можно получить только при сильно выраженной поверхностной волне, поле

которой быстро убывает в поперечном

направлении.

 

 

Из

(12.8) ^и

(12.6) вытекает,

что фазовая

скорость

зависит от

частоты — волна

диспергирует.

Ее групповая

скорость [ф-ла (8.29)]

u = da/d$ = ve^dfb/d$

= vm(dk2ld%)/(d$/d%)

зависит от

отношения

двух производных:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Х. +

Р

_ X

+

i d % _

 

 

 

 

 

 

ец—1

k2(e\i — 1)

&2(ец— 1)

 

 

 

 

А_}_ =

^_л[

X2

+ ец£2

=

Х(1 +еци)

 

 

 

 

d% ~

dx У

 

ец —1

 

Р(8(І—1) *

 

 

 

 

 

u

_

d(Z?)

_ l d l

 

 

(12.9)

 

 

 

 

 

dW)

 

 

%d%

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

—

крутизна

квадратичной

дисперсионной

кривой

в

коорди­

натах (£?—х2)> определяемая

дисперсионным уравнением.

Напи-

Ю*

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

291

шем окончательное выражение для групповой скорости:

и =

ИЄЦ2 Р

1 + 0

„2

1 +

"

(12.10)

 

 

 

1 +6|XU

 

1 +

8Ц.0

 

при и < 1 0 ~ 2 используется

формула: и==

' В (v*Ц / 2«/v)[lП ' -

"(В|1—1)13].

Итак, получены общие выражения для коэффициента фазы и скоростей волны в волноводе. Исходными для их расчета являются коэффициенты % и £. Для их определения необходимо сформулиро­ вать дисперсионные уравнения для конкретных конструкций вол­ новода.

і12.2. Круглый диэлектрический волновод

'РЕШЕНИЕ ГРАНИЧНОЙ ЗАДАЧИ

Диэлектрический стержень

1 радиуса а, окруженный диэлектриком

с меньшим коэффициентом

преломления « 2 =

или воздухом 2,

является самым простым по форме волноводом поверхностной вол­

 

ны (рис. 12.1). Структура поля и параметры

 

волн в

волноводе

определяются

дисперсион­

 

ным уравнением, для получения которого не­

 

обходимо

решить

граничную

задачу:

найти

 

уравнения полей в каждой из сред, удовлетво­

 

ряющие волновым уравнениям, и затем свя­

 

зать их между собой условиями на Границе

 

между средами. Потери в средах на этом эта­

 

пе решения не учитываются.

 

 

 

 

Р а с п р е д е л е н и е

 

п р о д о л ь н ы х

 

к о м п о н е н т

п о л я .

Волновое

ур-ние

(8.5)

 

для любого круглого волновода, как было по­

 

казано

в

9.5,

распадается на

гармоническое

 

ур-ние (9.37) и уравнение Бесселя (9.39). Ре­

шение для поля внутри стержня записывается в виде,

аналогичном

ф-лам (9.42), (9.44):

 

 

 

 

 

 

 

 

Et(r,

4>) = Et[Jn(xr)/Jn(%a)]cosnq>

1

q

 

(12 11)

Нг{г,

Ф) = H0[Jn(xr)/Jn(xa)]sinn<{>

J

 

 

 

где Е0 и Н0 — продольные компоненты при г=а. Замена соэпф на sin/іф непринципиальна, она соответствует повороту поля по ази­ муту на угол 90°/"- Оба выражения разделены на постоянную ве­ личину Jn{%a) для удобства последующих преобразований. Попе­ речный коэффициент % связан с параметрами среды соотноше­ нием (12.4).

В наружной среде 2 должны удовлетворяться волновые yip-ии я (12.2), которые в цилиндрической системе координат распадаются иа гармоническое ур-ние (9.37) и модифицированное уравнение Бесселя:

, 1

dR

Г, •

«г ] R = 0

 

+

 

1 +

 

(12.12)

 

 

 

Смотрите также файлы