Файл: Семенов Н.А. Техническая электродинамика учеб. пособие для электротехн. ин-тов связи.pdf

Это уравнение получается из уравнения

Беоселя

(9.39)

заменой

по (12.3) і%2 на £' и отличается

от него лишь знакомпри одном из

слагаемых. Общее решение

модифициро­

ванного уравнения — сумма двух моди­

1 і

фицированных

цилиндрических

функций

/„(£/) и Kn{t,r);

их графики

приведены

\к,(у)

на рис. 12.2.

|\

Быстро растущая функция 1п(у)

со­

ш\

ответствует полю, неограниченно

возра­

стающему при удалении от оси волново­

да. Такое поле не может

принадлежать

направляемой

волне вне стержня, у ко­

торой вся (или почти вся) энергия

долж­

на проходить через поперечное сечение

конечных размеров.

Кп(у)

Рис. 12.2

Функция

Макдональда

при

чем по

экспоненте:

больших аргументах уменьшается

быстрее,

Кп(У)=

Vit^

ПРИ У>>1>

(12ЛЗ>

Поэтому описываемое ею поле на определенном

расстоянии от

оси волновода

практически

равно нулю. Это решение

соответствует

направляемой

волне. По аналогии с ф-лами

(12.11) запишем:

Ёг

(г,

ф) =]Ё0

[К„ (Е r)/Kn (С a)} cos п Ф >/->а,

(12.14)

Нг

(г, Ф) = НЛКП

{I r)/Kn (S a)] sin п ф

где % удовлетворяет ур-нию (12.4).

Выражения

(12.12)

и (12.14)

для

продольных

составляющих

Г р а н и ч н ы е

у с л о в и я . Следующий этап в решении зада­

чи — установление

связей между нолями по обе стороны границы

было учтено при записи соотношений

(12.12)

и (12.14).

Поперечные компоненты поля определяются через продольные

соотношениями

(8.9) и

(8.10), которые

в цилиндрической системе

координат записываются в виде:

Ег(г,

Ф ) ] =

-

X2 V

дг +

1 г

Зф /

£Ф

(г,

Ф) =

-

дЕг

дг )

Зф

(12.15)

НЛг,

ф) =

-

дг — 1

dEz

Г

З ф

н,(г,

Ф ) = : -

1

V

дН-

-f- і шє(

' ЗЁ2

X* \ г

Зф

1

"

дг

где х, е а и р а имеют в каждой среде свои

значения

її

[n/„(x) —Фп(£)1

= 0, (12.18)

1 ' Ш - Ф « ( С ) 1 Щ ± +

^ І

і

\

~Х + е|хСУ 1 .

1 \ . єн . 1

1

1

2

Є£Х

"2 \ X"

b- /

yva + $ 2 XА

оп(ъ

£) = [«/»(Х)-ФЛ£)][ІІШ-ФЯ (С)]

_ n * M + J _ \ ( ^ +

М = = о .

(12.19)

\ х 2

S 2 / V x 2

£ 2 /

ТИПЫ ВОЛН В ДИЭЛЕКТРИЧЕСКОМ ВОЛНОВОДЕ

О т н о ш е н и е

п р о д о л ь н ы х

с о с т а в л я ю щ и х Ez

к Нг (мак­

шению коэффициентов

в любой строчке определителя (12.18):

Ег (г. 0)

*2 \ х 2

£2

/

=

Z2

^/л ( х) —Фя(1)

(12.20)

Є fn(% ) — <Р« (Є )

Д и с in е р с и о и н ы е

к р и в ы е .

Ур.а вн ение

(12.19)

тр ансцен -

дентно; поэтому зависимости между £ и % — дисперсионные

кривые

определяются

численным

методом.

Вид этих кривых

зависит

от

значений є и

р., а также

от периодичности

п

структуры

поля

по

и определяет

порядок

функ­

ций Бесселя и Макдональ-

да. Второй индекс т равен

номеру корня

функции

Бес­

селя

/п (х)

в

точке,

где на­

чинается

соответствующая

ветвь

характеристической

кривой;

ориентировочно т

соответствует

числу

полу­

волн поля стоячей волны в

диэлектрическом

стержне,

0

1

2

3

4

5

укладывающихся

вдоль ра-

диуса

а.

Рис. 12.3

В о л н ы

с

о с е в о й

с и м м е т р и е й

п о л я .

Вто­

рое слагаемое в ур-нии

(12.19)

при п = 0 равно

нулю;

в этом

слу­

чае уравнение удовлетворяется при равенстве нулю любого

из вы­

ражений в квадратных

скобках.

£-волны соответствуют условию:

є/Дх)-фя (Ю = 0;

(12.21)

тогда, согласно

(12.20), £0 /#о-»-оо и, следовательно,

# 2

= 0 .

//-вол­

ны определяются

уравнением:

1*/я(х)-ф«(Ю = 0;

(12.22)

в этом случае EQ/H0=0,

£ 2 =

0.

Н е с и м м е т р и ч н ы е

в о л н ы (n^l)—гибридные.

Ни

одно

из выражений в скобках

(12.19)

в этом случае не равно

нулю, по­

этому Ео/Но в (12.20) .конечно,

т. е. существуют

обе

продольные

составляющие поля Ег

.и # г ;

отношение их величин несколько ме­

няется с частотой.

Дисперсионное уравнение при каждом п имеет два решения,

которым соответствуют

два класса гибридных волн. Для

одной

из них при £<0,2, согласно ф-ле (12.20), EuIHu7nZ%Y

Дл я ди­

электрического волновода из полиэтилена или полистирола, нахо­

дящегося в воздухе (fx=l, e = 2-+2,5)£, o/#o~0,7Z2 ,

т. е. меньше, чем

в однородной волне в воздухе. Относительное преобладание HZ

над

Ег приводит к обозначению

НЕпт

для

волн

этого класса.

Волны

другого класса имеют обозначение ЕН

ная величина Ez

пт, так как у них относитель­

больше: £ , o / ^ o « Z 2 .

Определение поперечных коэффициентов на каждой частоте тре­

бует совместного решения дисперсионного уравнения (12.19) и

уравнения

поперечных коэффициентов

(12.6). Последнее

представ­

ляет

собой

на плоскости

х. £ окружность радиуса

F. На

заданной

частоте значения % и £ данной волны представляются

графически

как

координаты

точки

пересечения

соответствующей

ветви

(рис.

12.3)

с этой

окружностью.