Файл: Семенов Н.А. Техническая электродинамика учеб. пособие для электротехн. ин-тов связи.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 09.04.2024

Просмотров: 203

Скачиваний: 3

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Глава 14.

ВОЛНОВЫЕ МАТРИЦЫ . ДВУХПЛЕЧИЕ У З Л Ы

14.1. Матричный анализ волноводных узлов

КЛАССИЧЕСКИЕ И ВОЛНОВЫЕ МАТРИЦЫ

Функциональные особенности волноводного узла, определяющие его взаимодействия с другими элементами и узлами тракта, опи­ сываются с помощью нескольких коэффициентов, объединяемых в матрицу. Узлы могут иметь различное устройство, но одинаковые или похожие матрицы. Например, матрицы всех резонаторов иден­ тичны, хотя их форма, принцип действия, используемый тип коле­ баний могут существенно различаться. Точно так же в теории це­ пей могут быть одинаковыми матрицы двух многополюсников с совершенно различными схемами. Обобщенное представление свойств волноводных узлов с помощью матриц широко применяет­ ся в технике, так как оно позволяет довольно просто в компактной форме описывать сложные волноводные тракты, состоящие из большого числа узлов.

Матрица каждого узла определена, если в нем известна струк­ тура электромагнитного поля. Большая роль в определении мат­ рицы принадлежит и эксперименту. При этом следует учитывать некоторые общие свойства волноводных узлов и соответствующих им матриц.

В классической теории цепей используются матрицы сопротив­ лений [Z], проводимостей [Y], передачи [А] и некоторые другие, свя­ зывающие напряжения и токи на входе и выходе линейного четы­ рехполюсника. В линиях, длина которых сравнима или больше Я, напряжение и ток (для волноводов эти понятия вводятся лишь

условно)

меняются

от точки

к

точке (см. параграф 8.9), поэтому

модуль и фаза элементов этих

матриц

зависят от

положения

плоскости

отсчета

(сечения,

в

котором

измеряются

параметры

волн) в каждом плече волноводного узла. Кроме того, в большин­ стве случаев значения элементов классических матриц зависят не только от устройства данного узла, но и от характера присоеди­ ненных к ним нагрузок.

Полное поле в одномодовой линии передачи представлялось выше как сумма падающей и отраженной волн с нормированными амплитудами U+ и 0~. Удобно и физически наглядно применить эти представления и при описании свч цепей, связав свойства узла с амплитудными и фазовыми соотношениями волн бегущих в его

плечах. Волновые матрицы объединяют коэффициенты связи меж­ ду величинами падающих и отраженных волн в плечах данного линейного узла.

ВОЛНОВАЯ МАТРИЦА РАССЕЯНИЯ

Рассмотрим многоплечий волноводный узел; для конкретности ог­ раничимся четырехплечим узлом (рис. 14.1). В каждом его плече выберем плоскость отсчета, в которой измеряются амплитуды и фа­

зы бегущих

волн. Обозначим

все входящие

(падающие) в узел

волны через

Um, а выходящие

(отраженные)

— через UJ. В общем

случае величина От зависит от амплитуд и фаз волн, входящих во все плечи узла. Поэтому соотношения между волнами в плечах узла запишутся в следующем виде:

ОТ =

Sn Ut

+

Sn

Ut

+

S13 Ot +

Su

Ut,

 

U2 =

s2\ ut

+

S22 O2

+

S23 ut +

 

ut,

(14.1)

UT =

 

 

 

lit +

S33 Ut +

 

ut,

S 3 i Ut

+

S 3 2

S34

 

UT = S a Ut + 54 2

Ut + 543Of + 54 4

Ut,

 

где Sum — комплексные

коэффициенты, характеризующие волно­

водный узел. Их физический смысл очевиден для случая, если ис­ точник включен только в /п-е плечо (Um^O), а все остальные пле­ чи нагружены на согласованные сопротивления и поэтому входя­

щие

в

узел волны в них отсутствуют

(0t=0

при \фш). Тогда

Smm=0m

/От

— Коэффициент

Отражения вОЛНЫ В ГП-Ы ШІЄЧЄ;

ранее

он обозначался Гт\ S h m =

UT/Um

(кфт)

—коэффициент пе­

редачи

 

волны

из rn-то плеча в k-e плечо.

 

Добавим, что обычно можно считать |V„ \ = const, так как боль­ шинство генераторов свч имеют постоянную мощность выходящей волны, независимо от режима в цепи. Систему ур-ний (14.1) удоб­ нее записать в матричной форме:

~ит~

От­

ит от _

5 1 2

Sis

14

Ж

и; u2

Jill

S21 S22

S23

24

ut

S31 S32

S33

34

ut

01

_ S 4 1 Si2

S43

44_

 

 

or-

 

 

 

(14.2)

Первый индекс в обозначении эле­

 

мента матрицы Skm соответствует

но­

и: и,.

меру строки, второй—номеру столб­

 

ца. В сокращенной записи

Рис. 14.1

 

12—2

 

 

 

 

I T = [ S ] U + ,

 

(14.3)

где [5] — матрица

рассеяния,

которая связывает

нормированные

амплитуды всех выходящих из узла

волн с амплитудами

входящих

в него волн.

Набор

ее

коэффициентов описывает

распределение

энергии, поступающей в узел из каждого плеча.

 

 

Величины

элементов

матрицы рассеяния полностью

определя­

ются устройством

узла

и

не зависят

от того, какие

нагрузки и ис­

точники включены

в его

плечи.

В этом несомненное

преимущество

описания волноводных узлов S-матрицей по сравнению с другими. Поэтому матрица рассеяния является основным инструментом ана­ лиза волноводных узлов. Анализ сложных трактов, узлы которых описаны S-матрицами, целесообразно проводить методом ориенти­ рованных графов (см. параграф 6.7 и [31]).

ВОЛНОВАЯ МАТРИЦА ПЕРЕДАЧИ

Волновая матрица передачи [Г] связывает амплитуды падающей и отраженной волн в одном плече узла (на входе) с амплитудами волн во втором плече узла (на выходе). Для двухплечего узла:

'Тії

от. J21

W

(14.4)

Эту матрицу можно обобщить на более сложные узлы с равным числом входных и выходных плеч. Ее применяют при анализе по­ следовательного включения нескольких узлов, так как амплитуды

волн на выходе первого узла \І2

соответствуют

амплитудам

волн

на входе второго узла и т. п.

 

 

 

 

 

 

 

 

Если источник включен в плечо 1 (ОТфО),

а в плече 2 имеет­

ся согласованная нагрузка

(Ut=0),

то Ut=T22U2~\

иГ

—

Т^О^.

Следовательно, UTlUf—^ITn

—

коэффициент

передачи

волны из

первого плеча во второе, a U~\IUt=T\2jT22

—

коэффициент

отра­

жения в первом плече. Величину

Ti2=U~IU~2

называют «функцией

фильтрации», так как в фильтрах без потерь этот элемент соответ­ ствует отношению амплитуд волн, отраженной от фильтра и про­ пущенной им. Аналогично определяется \/Тц как коэффициент пе­ редачи из второго плеча в согласованное первое плечо. Коэффи­ циент Т2\ прямого смысла не имеет, так как отношение Ut IU 2~зависит, прежде всего, от мощностей внешних источников, включен­

ных в эти плечи. Значения элементов матрицы передачи

зависят

не только от устройства данного узла, но и от режима в его

плечах.

МАТРИЦА СОПРОТИВЛЕНИЙ И ПРОВОДИМОСТЕЙ

Как и другие классические матрицы, эти матрицы используются на промежуточных этапах анализа. Отдельные элементы тракта при­ нято представлять на эквивалентных схемах в виде сосредоточен-

ЗМ

ных сопротивлений или проводимоетей, шунтирующих, либо вклю­ ченных последовательно в линию передачи (в предыдущей главе рассматривались таким образом диафрагмы и штыри). Соотноше­ ния для плеч с единичным характеристическим сопротивлением за­ писываются через нормированные значения, как:

Ml

2 ц

2i2

к

h

Уи.

У12

« 1

(14.5)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

_?21

Z22 _

А .

 

. У%\

Уж _

_ " 2 .

 

или сокращенно

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

и =

Й і;

і =Гу]и,

 

 

(14.6)

где и и і — нормированные значения напряжения и тока в плоско­ сти отсчета [см. ф-лу (8.52)].

14.2. Операции с матрицами

ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ

Напомним некоторые сведения из теории матриц [3].

М а т р и ц е й

называют

таблицу из тп

элементов

(чисел,

коэффициентов),

имеющую т строк и п столбцов. В случае

т—п матрица называется

квадрат­

ной порядка

п. Матрица

рассеяния

 

[Sj-квадратная.

 

 

 

 

 

В е к т о р

ил и м а т р и ц а - с т о л б е ц

имеет я= 1. Например, U+ — вектор

комплексных

амплитуд падающих волн.

 

 

м а т р и ц

одного

и того

же по­

П р о и з в е д е н и е м

к в а д р а т н ы х

 

рядка п называется матрица того же порядка [С}=[Л]-[В], элементы которой

определяются

соотношениями

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

п

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Cjk^^ajmbmk.

 

 

 

 

 

 

 

(14.7)

 

 

 

 

 

 

m=l

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Умножение матриц не коммутативно, т. е. не обладает переместительным

свойством. В общем случае [Д|

 

[£]•{«]•

 

 

является

также вектором.

П р о и з в е д е н и е

м а т р и ц ы

на

в е к т о р

Например, для соотношений (НіЬ)—

(14.8)

'

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

tfTп

= 2 s * m £ # •

 

 

О4 -8 )

 

 

 

 

 

 

т = 1

 

 

 

 

 

 

 

 

С у м м а

м а т р и ц

[С]=[А]+[В] =1/4+В]

образуется суммированием

соот­

ветствующих Элементов

Chm

= Clkm +

 

bhm-

 

 

я называется квадратная

матрица

Е д и н и ч н о й

м а т р и ц е й

п о р я д к а

[1]=[6ьт], у которой диагональные члены равны единице, а остальные нулю.

Поэтому ИН1]=[1]-И]*=И]. Здесь б*т — символ Кронекера:

 

 

 

 

 

 

6*А=1

и Ькт-О&Фт).

 

 

 

 

(14.9)

Т р а н с п о н и р о в а н н а я м а т р и ц а

[А]Т

получается

из исходной [А]

путем замены строк столбцами; для каждого элемента матрицы

=атн.

Диа­

гональные элементы при этом ие меняются.

 

 

 

матрицы detЛ вычисляется

Д е т е р м и н а н т

(определитель)

квадратной

по обычным правилам теории определителей [5].

 

 

 

 

 

 

М и н о р

элемента а*о т

равен детерминанту

матрицы (п—|1)-го порядка, об­

разованной вычеркиванием 6-й строки и от-го столбца.

 

 

 

 

12*

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

355

А л г е б р а и ч е с к и м

д

о п о л н е н и е м

Акт (адъюнктой)

элемента аит

называется его минор, .взятый

со знаком

(—l)f e + m .

 

П р и с о е д и н е н н о й

м а т р и ц е й

adj

[А] для матрицы

(Л] называется

матрица, .полученная заменой элементов этой матрицы ctkm на соответствующие

алгебраические дополнения Акт

с последующим

транспонированием: ATkm

=Amk.

О б р а т н а я м а т р и ц а И ] - 1

матрицы [А] обладает свойством

[Л][Л]-< =

*=[Л]-'[Л] = [1]. Она вычисляется

но

правилу:

[ Л ] - ' = - — ~ ~ . т. е. каждый ее

 

 

 

det [А]

 

элемент равен соответствующему элементу присоединенной матрицы, деленному

иа детерминант исходной.

квадратную

матрицу,

у которой

элементы,

С и м м е т р и ч н о й

называют

симметричные относительно главной диагонали

равны: aj,m = am &. Транспониро­

вание не меняет симметричную матрицу [Л]Г = [Л].

 

 

 

К о м п л е к с н о - с о п р я ж е н н а я матрица

[В] = [Л]*

имеет все элементы,

комплексно-сопряженные

с элементами исходной bhm = ak m .

 

Следова­

У н и т а р н о й называется матрица,

ідля

которой [А]Т-[Л]*=[і1].

тельно, сумма произведений элементов

 

 

 

 

 

\abmalm =

'afem'2

= 6fe* ^

1

 

 

m = l

 

 

 

 

 

 

(14.10)

п

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

m = l

akm a]m *

&ki = 0

П Р И

k ф

І

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Для симметричной унитарной матрицы можно записать: [Л][Л]* = [1].

ПРЕОБРАЗОВАНИЯ МАТРИЦ Ф о р м у л ы п е р е х о д а о т в о л н о в о й м а т р и ц ы п е р е д а ч и к

в о л н о в о й

м а т р и ц е р а с с е я н и я

или наоборот

для двухплечего узла

получаются в результате сопоставления матрицы

 

(14.4)

с матрицей

 

второго по­

рядка вида (14.2) ' ) :

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

[S] =

 

S22.

1

T 1 2

detr

[T] =-

 

1

— detS

 

(14.11)

 

 

 

. 1

-7*21.

 

 

 

 

S22

1

 

 

Найдем

 

также формулу

перехода от матрицы

сопротивлений

 

к матрице

рассеяния.

Согласно ф-лам

i(8.52) и .(14.3), нормированные

напряжения и ток:

 

 

u = 0+ + О -

= 0+ + [S] U+ = [1 + S] U+;

 

 

 

 

і = U+ — U _

= U+ — [S]L+ = [ 1 — S]U+.

 

(14.12)

Подставим выражения

(14.12) в (.14.6) и перегруппируем

слагаемые

 

 

[1+S] = ITJI1-SJ;

[S][7+\]

 

=

 

[7-\].

 

 

Умножив оправа обе части уравнения на обратную матрицу [г+1]- 1 ', получим

[S] =

[ r - l ] f z + i r

I

 

 

- 1

1

= [ 1 ] - 2 [ 2

+ -1]

-1

(14.13)

 

= [ 2 + l - 2 ] [ Z + І ] "

 

 

• Аналогичные преобразования позволяют найти формулы для матрицы проводимостей и для обратных переходов:

 

Ї - 1

 

[S] = 2[l + (/r' - [і];

(14.14)

Й =

[1] + 2 [ 5 ] [ 1 - 5 Г '

 

[J/] =

[ 1 ] - 2 [ S ] [ 1 + Sr '

 

*) Коэффициент перед матрицей относится ко всем ее элементам.

Смотрите также файлы