МАТРИЦА РАССЕЯНИЯ ШУНТИРУЮЩЕГО СОПРОТИВЛЕНИЯ
Определим S-магрицу схемы, изображенной на рис. І 14.2 без учета длины соеди нительных линий. Уравнение для напряжений и матрица сопротивлений этого соединения имеет вид
«і |
|
|
|
|
|
|
|
(14.15) |
ч |
|
«2 = г ш i1 -\- zm |
і2 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В соответствии с ((44.13) находим |
|
|
|
|
|
|
|
|
[ 2 + 1 ] |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. |
14.2 |
Далее определяем |
детерминант |
det [z+il]= (гш +|1)2 —г2 ш |
=-2гш + 1; |
присоединен |
ную матрицу |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
oil [г + 1] |
= |
2 щ "Т" |
1 |
|
|
|
|
|
|
2 щ |
2 Ш |
-jr 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и обратную матрицу |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
[ г + 1 ] - 1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
2 г ш |
+ 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Матрица рассеяния выражается как |
|
|
|
|
|
[S] = |
[ l ] - 2 [ z + l ] - J |
= " |
1 |
|
— 1 |
2г„ |
|
(14.16) |
2 г ш + 1 |
2 г ш |
—1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
т. е. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Six |
— ^22 — |
_ |
|
|
> Sx2 — S21 — |
_ |
|
|
|
|
2 г ш + 1 |
|
|
|
2 г ш + 1 |
|
|
Итак, матрица рассеяния любого шунтирующего линию сопротивления обла |
дает следующими свойствами: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S n = S2 2. |
S12 = |
S2 i и |
| S\i |
— S12 I — 1. |
|
(14.17) |
Верно и обратное: если выполняются условия (14.17), то эквивалентную схему устройства можно представить їв -виде шунта.
14.3. Свойства волноводных узлов и матриц рассеяния
ВЗАИМНЫЙ УЗЕЛ — СИММЕТРИЧНАЯ МАТРИЦА
Переведем теорему взаимности (7.46) на язык нормированных волн. Пусть сторонний ток в точке А соответствует амплитуде вол ны, падающей из т-то плеча, а ток в точке В — амплитуде волны из &-го плеча. Аналогично наведенные напряжения заменим ампли тудами выходящих волн. Тогда ЩIUm = Um lOt-
Считая, что в каждом опыте все источники, кроме одного, вы ключены, а плечи нагружены на согласованные сопротивления, получаем для любой пары плеч
|
|
Skm |
= Smk. |
|
(14.18) |
Итак, если |
волноводный |
узел |
взаимен |
(содержит |
только линей |
ные изотропные |
элементы), |
то его матрица |
рассеяния |
симметрична. |
ПАССИВНЫЙ УЗЕЛ БЕЗ ПОТЕРЬ — УНИТАРНАЯ МАТРИЦА
Узел, в котором отсутствуют источники (сторонние силы), на зывается пассивным. Если, кроме того, потерь в узле нет, то по закону сохранения энергии суммарная мощность отраженных волн
|
п |
п |
равна суммарной мощности падающих: |
V | і / Г І 2 |
= ^ | ^ т | 2 . или в |
|
fe=0 |
т=0 |
векторной форме [U - ] r {U - ]*=[U + ] T [l3+]* . Подставим сюда соотно шение (14.3): [U+HU+]*—{IS]U+}T {[S]l)+}* = 0 и вынесем за скоб ки общий сомножитель [U+] T [U+]*{[1M5] T {5]*}=0 . Так как ІІ+ произвольный вектор, необходимо приравнять нулю выражение во второй скобке. Следовательно,
|
|
|
[5] г [5]* = [1], |
|
(14.19) |
т. е. матрица |
рассеяния |
|
унитарна |
и ее элементы подчиняются со |
отношениям |
(14.10). |
|
|
|
|
|
Если узел |
изотропен |
и унитарен, то |
frS]T=[S] и, следовательно, |
|
|
|
15][S]* = |
[1]. |
|
(14.20) |
Унитарность матрицы |
является |
новой формулировкой |
закона |
сохранения энергии.для |
пассивного |
узла |
без потерь. |
|
СМЕЩЕНИЕ ПЛОСКОСТИ ОТСЧЕТА
Предположим, что известна матрица рассеяния [S] для волноводного узла при каком-то определенном положении плоскостей от счета в каждом плече. Как изменятся элементы этой матрицы при смещении плоскости отсчета в k-u плече на расстояние dh в поло жительном направлении оси Zk, т. е. по направлению к узлу? Если уь.— коэффициент распространения в этом плече, то новое значе ние комплексной амплитуды падающей волны (отметим его штри-
хом) определяется как (рис. 14.3) {UJ)'=Uk'е . Аналогично
для выходящей ВОЛНЫ (Uk ) =Uk е
Если переместить плоскость отсчета в первом плече на d\, во
втором |
на d2 и т. д., то узел будет |
характеризоваться |
новой мат |
рицей |
рассеяния [S'], которая |
свяжет новые |
амплитуды: |
|
Волна |
на |
k-ш |
выходе Uk |
=Ski |
Uf |
-+• |
|
|
-\-StdJt |
+ ...+SknUi |
• С учетом |
прежней |
|
|
записи (14.1) получим для каждого элемен |
|
|
та новой |
матрицы |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а( Ч dk + Ут |
dm) |
|
|
|
|
|
Skm — Sfon Є |
|
|
|
|
|
|
Skk = Skk |
Є 4dk |
|
(14.21) |
|
|
Если |
потери в |
волноводных плечах |
ма |
Рис. 14.3 |
|
лы, их можно |
не |
учитывать |
(у = ір). Тогда |
|
|
изменение положения плоскостей отсчета соответствует изменению только фазы элементов матрицы:
s:km |
4hdk + K dm) |
і 2hdk |
(14.22) |
|
Skh = Skke'""«-«, |
Изменение фазы элемента матрицы рассеяния объясняется уко рочением (при db>0) пути волны между плоскостями отсчета. Так как выбор положения этих плоскостей произволен и может быть изменен, преобразование (14.22) используется для упрощения мат рицы. С его помощью, например, можно сделать некоторые (иног да все) элементы матрицы вещественными.
|
МАТРИЦА ДВУХПЛЕЧЕВОГО УЗЛА |
|
|
|
|
Рассмотрим свойства |
матрицы [S]-- |
|Su |
S1 2 |
взаимного |
двухпле- |
чего узла |
без потерь |
и |
источников. |
S21 S2 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S2i=Sl2. |
Поскольку узел взаимен, матрица симметрична, |
т.. е. |
|
Если в узле нет потерь, то матрица унитарна, |
следовательно, |
выполняется равенство |
(14.20): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Su |
S12 |
Sil |
S12 |
|
|
1 |
0" |
|
|
|
|
_ S12 |
S22 _ |
_Sl2 |
«S22_ |
|
0 |
1 |
|
|
|
По правилу умножения матриц (14.7) |
и согласно |
ф-лам |
(14.10) |
имеем: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S U S ^ |
+ |
S M S ^ I ; |
|
|
|
(14.23а) |
|
|
|
5 n 5 ; 2 |
+ |
51 2 S*2 |
= |
0; |
|
|
|
(14.236) |
|
|
|
S u S u |
+ |
S „ S ; 2 |
= |
0; |
|
|
|
(14.23B) |
|
|
|
S1 2 S;2 + |
5 2 2 5 ' 2 |
= |
1. |
|
|
|
(14.23г) |
Сравнение ф-л (14.23а) и (14.23г) позволяет установить, что |
модули диагональных элементов одинаковы, т. е. модули |
|
коэффи |
циентов |
отражения в плечах |
|
всегда |
равны |
между |
собой: |
|
|
|
SuS;, |
= S22 S*22 |
или I Su I |
= I S e | . |
|
(14.24) |
Фазы их, вообще говоря, могут отличаться. Однако при смеще нии плоскостей отсчета в плечах независимо меняются фазы Su
и 5ггГаким способом можно приравнять их фазы, и, в частности,
сделать 5 ц |
и S22 |
вещественными. Итак, при |
определенном |
выборе |
плоскостей |
|
отсчета в плечах |
коэффициенты |
отражения |
равны: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S U = |
S» . |
|
|
|
|
|
|
(14.25) |
|
Далее, из ф-лы (14.23а) |
или непосредственно |
из уравнений |
уни |
тарности |
(14.10) |
следует соотношение |
для |
коэффициентов |
отраже |
ния |
и передачи |
|
двухплечего |
|
узла, |
выражающее |
|
закон |
сохранения |
энергии: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Л1 |
+ | S i 2 |
| 2 = l . |
|
|
|
|
|
(14.26) |
|
Подставив |
равенство (14.25) в |
(14.236), получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| S u | e ' * » |
+ і Я |
|
|
|
|
|
42 |
|
|
|
|
|
|
• і Фи |
ISi |
|
і Фи |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ИЛИ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(14.27) |
|
|
|
|
|
|
|
•фіг = ч|>п ± |
л/2. |
|
|
|
|
|
|
|
При 51 j = VS22 фаза |
этих элементов |
матрицы |
отличается |
от |
фазы |
недиагональных элементов S\2=S2X |
|
на 90°. На |
комплексной |
|
плос |
кости элементы |
5 ц |
(коэффициент |
отражения) |
и S\2 |
(коэффициент |
передачи) |
соответствуют катетам |
прямоугольного |
|
треугольника |
с |
гипотенузой |
единичной |
длины |
(рис. 14.4). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Назовем |
канонической |
матрицу |
взаимного |
двухплечего |
узла |
с |
таким выбором плоскостей отсчета, что Sn=522 |
и они веществен |
ны. Тогда |
по ф-лам |
(14.26) |
и |
(14.27) |
S 1 2 = ± i ] Л — S 2 , , |
|
|
|
|
|
|
|
|
[S] |
= |
VT- S2u |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(14.28) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пі |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Все элементы этой |
матрицы |
определяются |
|
|
|
|
|
|
одним вещественным |
коэффициентом Su = Г\. |
|
|
|
|
|
|
Следовательно, характеристики |
пассивного |
уз |
|
|
|
|
|
|
ла |
без |
потерь |
полностью |
известны, |
если |
най |
|
|
|
|
|
|
ден коэффициент |
|
отражения |
Г |
в |
одном |
|
из |
|
|
|
|
|
|
плеч. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
О с л а б л е н и е |
у з л а |
Л |
в соответствии |
с |
|
|
|
|
|
|
определением |
(11.53) |
— отношение |
комплекс |
|
|
|
|
|
|
ных нормированных |
амплитуд |
волны, |
прихо |
|
|
|
|
|
|
дящей к узлу от генератора, и волны, прохо |
|
|
|
|
|
|
дящей |
в |
нагрузку |
(предполагается, |
что гене |
Рис. |
14.4 |
|
|
|
|
ратор и нагрузка |
идеально |
согласованы): |
|
|
|
|
|
А = °1 |
|
|
ОГ- |
|
|
1 |
|
|
=F і |
|
|
(14.29)' |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
