Файл: Семенов Н.А. Техническая электродинамика учеб. пособие для электротехн. ин-тов связи.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 09.04.2024

Просмотров: 195

Скачиваний: 3

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Длину секции I выбираем равной

четверти длины волны Л 0 =

= 2я/'Во, т. е. / = Ло/4л=і(2ір0 ) *)• На произвольной частоте

фазовый

сдвиг, соответствующий

длине одной

секции,

 

 

 

•-"-т-£—г(, + -т)-

<'**>

П р и б л и ж е н н ы й

м е т о д

а н а л и з а

основан на

предпо­

ложении о

малости отражений

от

каждой

ступеньки перехода.

Считается,

что отраженная волна проходит

через другие

ступени

без вторичных отражений; это позволяет легко суммировать отра­ жение от всех ступеней. Несмотря на явную неточность такого до­ пущения, приближенный метод дает верные результаты в весьма широких пределах. Критерием его справедливости является выпол­

нение неравенства M.ax(RK/Rn; RH/RK) ^

(2/v/ 7 )"/ 2

{по другой

оцен­

ке правая часть этого неравенства имеет вид: <(2/vn)n].

По

этому

условию

при v / 7 =0, 5

и я = 4

вполне допустим перепад

сопротивле­

ний RK/Rn=\6.

Переходы с высоким RK/Ra при сравнительно не­

большом п рассчитываются точными методами [22], [35], требую­

щими весьма

громоздких вычислений.

 

т-й с т у п е н ь к и

 

 

К о э ф ф и ц и е н т

о т р а ж е н и я

от

опре­

деляется

по

приближенной

формуле

In z = 2 ( г — 1 ) / ( 2 + 1 ) ,

спра­

ведливой

для

| г | ,

близких к единице [б]. Тогда по

ф-ле

(8.54)

 

г

( W 2 " ) - 1

^ _ L l

n , ^ ± L

. Zm+l^zJrm

 

.

(14.37)

 

(Zm+i/Zm)+l

 

 

 

2

Zm

 

 

 

 

 

 

Использование

для

Гт

приближенной

логарифмической

фор­

мулы повышает точность данного метода, так как происходит ча­

стичная компенсация

погрешностей.

 

 

 

 

 

Л о г а р и ф м и ч е с к и й

п е р е п а д

с о п р о т и в л е н и й

оп­

ределим через отношение

сопротивлений

на

концах перехода:

 

 

 

т = 0

 

т = 0

 

 

он равен сумме коэффициентов отражения

от всех его

ступенек

при синфазном сложении.

 

 

 

 

 

 

К о э ф ф и ц и е н т

о т р а ж е н и я

от п е р е х о д а

на произ­

вольной частоте Г (у)

определяется

как

сумма коэффициентов

от­

ражения от отдельных ступенек. Перед сложением отнесем фазы

всех коэффициентов отражения к

сечению

2 = 0 в

середине

пере­

хода. Расстояние т-й ступеньки от

этого

сечения

по

zm=(m—я/2)/.

Поэтому

при переносе плоскости

отсчета

к 2 = 0

ф-ле (14.22)

получаем

Г m = Г m e - • i 2 p Z m = Г m e i ( n - 2 ' n )

, l , ,

где

яр определяется

ф-лой

(14.36).

 

 

 

 

 

 

 

 

') При практической реализации ступенчатых переходов длину секций не­

сколько изменяют по сравнению с /=Ло/4,

чтобы

скомпенсировать

эквивалентную

реактивность, возникающую на их концах

при

скачкообразном изменении

попе­

речных размеров линии или волновода.

 

 

 

 

 

 

 

370

 

 

 

 

 

 

 

 

Считаем распределение коэффициентов отражения симметрич­ ным относительно середины перехода Г0=Гп; Г 1 = Г „ _ 1 ; . . . Г т =

Тогда коэффициент отражения от перехода

* » = £ г ; = £

r m e i ( - 2 m ) * =

 

( n - D / 2

m=0

m=o

 

 

 

 

 

 

 

.= Y

/ ' т [ е і , " - 2 г а ' * + е - і , л - й 1 * ] + / ,

г а « „ / 2 , „ 1 =

 

m=0

(л-1)/2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

£ 2 Г т с о 5 ( п - 2 т ) г р + Г т б п / 2 т >

(14.39)

 

m=0

 

 

 

 

где '6n/2i m — символ Кронекера [ф-лы (14.9)].

учитывается

только

Последнее слагаемое в

этом

выражении

для переходов с четным числом секций, когда в его середине ока­

зывается т = п/2 ступенька, не имеющая пары.

 

 

При в==2р0 длина секций перехода становится

равной

полови­

не длины волны, на очень низких частотах /->0

и р->0,

/ < Л .

В обоих случаях коэффициенты отражения от всех ступенек скла­

дываются в фазе. Действительно,

при

этом v = ± 2 ;

tp = it

или

0;

Г ( - 2 ) =

£ Гт=М;Г(2)=У

Г т е і п п

е~ '2

* т = ( _ 1 ) " £

Гт=(-1)п

М.

т=0

 

т = 0

 

 

т = 0

 

 

 

Переход

не улучшает согласование на соответствующих

частотах,

а также

при р = 4ро, бРо и т. д.

 

 

 

 

 

 

 

Теперь воспользуемся разложением cosni[) в ряд

по

степеням

cos яр; [см. 11, ф-ла

(1.331.3)]:

 

 

 

 

 

 

 

 

cos п гр = 2"~' cos" гр — -у- 2"~3 cos"- 2 гр +

 

 

 

 

+ - ^ - С І _ з 2 " - 5 с о 5 п - 4 і р —

-jC2n^2n-7cosn-6^+...

 

 

(14.40)

Тогда коэффициент отражения от перехода T(v)

[ф-ла

(14.39)]

можно представить

полиномом

n-й степени относительно:

 

 

 

cosip = c o s ^ -

+ - j - v j

— — s ' n (~4~ v ) 5 : 5 —y(v )'

 

(14.41)

.где y{v)

— новая переменная, зависящая от частоты.

 

 

 

 

Этот полином содержит члены только той же четности, что и

число секций перехода п. Такое суммирование обозначим

 

значком

С):

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

/»=2]ЧУ*=5]'G*sin*(Tv) •

 

 

(i4-42>

Коэффициенты полинома Gk определяются по ф-лам (14.39) и

(14.40)

через Гт.

Число

указанных коэффициентов

совпадает

с

371

числом независимо выбираемых Г т при их симметричном распре­ делении. Можно показать, что это обеспечивает свободу в выборе соотношений между всеми Gu\ их абсолютные величины должны быть таковы, чтобы удовлетворялось условие l-T(v) ] ^ \ Г \ д о п при

| v | ^ v n .

Рассмотрим два типа переходов с оптимальными

частот­

ными характеристиками.

 

 

 

ПЕРЕХОД С МАКСИМАЛЬНО ПЛОСКОЙ ХАРАКТЕРИСТИКОЙ

Ч а с т о т н а я х а р а к т е р и с т и к а

к о э ф ф и ц и е н т а

о т р а ­

ж е н и я .

Положим в ф-ле (14.42) <GN^0,

а все остальные

коэффи­

циенты Gh=Q{k<n); тогда Г(v) =>Gnyn = G^sin1 ^-^- vj . При v = 2

коэффициент отражения Г(2) = ( — \ ) п М .

Так

как в этом

у=1, то Г(2)—Оп.

Следовательно,

G n = ( — \ ) п М . Тогда

Г(\)

= М {—у)п = М

—sin

л

\1л

 

 

 

4

I.

случае

(14.43)

На краях

 

рабочей

полосы

частот

 

v = ± v / 7

и

у=±уп

=

± s m ( —4v n ]

і

. Необходимое число секций перехода п

определим

из неравенства

\^Уп\

^ 1 ^ 1 доп-

Величину упп

можно

считать

ко-

эффициентом уменьшения отражения от нагрузки.

 

 

 

 

Выражение

(14.43) описывает

максимально

плоскую

амплитуд­

но-частотную

характеристику коэффициента

отражения

от

перехо­

 

 

 

 

да: на средней частоте |/о=:РоХ

 

 

 

 

X и / ( 2 я )

при

у = 0 не

только

 

 

 

 

Г(\>),

но и

(п—1)

его

произ­

 

 

 

 

водных по частоте равны нулю.

 

 

 

 

На рис. 14.12 показано семей­

 

 

 

 

ство таких

характеристик

при

 

 

 

 

разном

числе

секций п

(в

ка­

 

 

 

 

честве

 

примера,

 

л'иния

 

 

 

 

|Г/М|Д оп проведена на уровне

 

 

 

 

0,1).

Здесь

же

для

сравнения

 

 

 

 

приведена

характеристика чет­

 

 

 

 

вертьволнового

трансформато­

 

 

 

 

ра ( л = 1 ) . Во

всех

случаях

по

 

 

 

 

мере удаления от /0

согласова­

 

 

 

 

ние между переходом и линией

ухудшается. С ростом п ширина частотной полосы перехода увели­ чивается. Рассмотренный тип перехода вносит незначительные фа­ зовые искажения.

Переход с максимально плоской характеристикой применяется в тех случаях* когда в середине рабочей полосы частот требуется особенно хорошее согласование или малые фазовые искажения передаваемого сигнала.

В ы б о р з н а ч е н и й

Гт.

Равенство нулю всех членов поли­

нома

(14.42), кроме

 

старшего, требует,

чтобы

коэффициенты

отра­

жения

от ступенек

 

перехода

были

пропорциональны

 

биномиаль­

ным коэффициентам

 

С™ (поэтому

переход

называют

также

бино­

миальным) :

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Гт

= Г0Сп

= Г0

 

—~——;

Гп

=

Г0 ,

так

как

С"

=

С°

=

1.

 

 

 

 

т\ (п

— т)\

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(14.44)

Известно, что коэффициенты бинома Ньютона можно опреде­

лить из треугольника

 

Паскаля

[5]:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

я

 

 

 

(Коэффициенты бинома С™

 

 

 

 

 

 

0 '

 

 

 

 

 

і

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

її

1

.1

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

2

1

Л

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

1

3

3

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

ІІ 4

,6

4

її

 

 

 

 

 

 

 

5

 

 

 

,1

Б

10

10

б

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

п

 

 

 

 

 

 

Сумма биномиальных

коэффициентов ^

С™ =2" . Сопоставим

ф-лу (14.44) с (14.38)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

М =

Ип

Г Т = г °11п с = г , , 2 '! ; го== "^-

 

 

(14-45)

 

 

т = 0

 

т = 0

 

Г0,

 

 

 

 

 

 

 

Отсюда определяется

коэффициент

а затем

по ф-ле (14.44)

— все остальные коэффициенты Гт. С помощью ф-лы

(14.37)

по­

следовательно

вычисляются

характеристические

сопротивления

всех секций: Zx

через Z 0

и Г0,

затем

Z 2

через Z] и Л т. д.

 

 

 

П Е Р Е Х О Д С Ч Е Б Ы Ш Е В С К О Й Х А Р А К Т Е Р И С Т И К О Й

 

 

 

Ч а с т о т н а я х а р а к т е р и с т и к а .

Длину

перехода

можно

со­

кратить по сравнению с биномиальным, если синтезировать в пре­

делах рабочей полосы

частот

равнопульсирующую

характеристи­

ку

Г (у)

(рис. 14.13), которая

описывается

полиномом

(функцией)

Чебышева:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Г(ч)

= ГмТя(х),

 

 

 

 

 

(14.46)

где

|Гдг|

|Г|доп

— максимальный по

модулю коэффициент

от­

ражения в рабочей полосе частот; Тп(х)

— функция Чебышева

пер­

вого рода

п-го порядка [3]:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

т

до

(cos (л

arccosx)

при

| х | < 1 ,

 

(14 47)

 

 

 

"

 

1 ch (п

Arch х)

при

\х\ ^ 1.

 

 

 

Эта

функция в

интервале

— 1 = ^ x ^ 1

не

превышает

значений

± 1 ;

вне этого интервала она

неограниченно

растет

по

модулю,

причем тем быстрее, чем больше п (рис. 14.14). Для каждого зна­ чения п существует представление Тп(х) в виде полинома п-й сте­ пени, справедливое при любом значении х:

T0(x)

= l;

7 i (*) =

*; Tt(x)

= 2 x 2 - l ;

Т3(х)

= 4х3

— Зх;

Г4 (х) = 8х4

—8%2

+ 1;

Г5 (х) = 16JC5 —

20х* + 5;

Те{х)

= 32*" — 48х4

+ 18х2 — 1. (14.48)

I X

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 14.14

 

 

В

рабочей полосе частот

\Тп(х)\^\,

 

если на ее краях

х~±\.

Сопоставляя ф-лы (14.42)

и

(14.46) — (14.48), заключаем,

что для

этого следует положить

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

х = У/Уп\

t/ =

s i n ^ v j ;

y„ =

s i n ^ v „ j .

(14.49)

При v = 2 у— 1 и аргумент х=\/уп

достигает

своего максималь­

ного значения. Тогда Г(2) =ГмТп(1/ип)

 

= (—\)П М.

 

 

Отсюда

максимальный

коэффициент

отражения

в рабочей по­

лосе

перехода:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Г _

**(-*)"

 

M{-\)n

 

 

n

>

Arch 1 М/Гдоп |

(14.50)

 

Тл (1/"я)

 

сЬ[пАгс1і(1/(/я )] *

 

^

Arch(l/j/n )

м

 

 

 

Условие

\ГМ\

^

|^|доп

позволило

определить

также число сек­

ций п, обеспечивающее заданное

согласование.

 

 

 

Чебышевская

характеристика

Г(\)

в

рабочей

полосе

частот

в среднем

ближе

к допустимому

пределу |Г|Д оп,

чем максимально

плоская.

Более

полное использование

допуска

на

согласование

приводит к меньшему числу секций п и меньшей длине перехода.

Фазовые искажения, вносимые чебышевским

переходом, растут

с увеличением пульсаций. При пульсации | Г м

| ^ 0 , 1 дБ фазовые

Смотрите также файлы