ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 09.04.2024
Просмотров: 135
Скачиваний: 2
высшая
математика
ЛЕНИНГРАДСКИЙ ОРДЕНА ЛЕНИНА И ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ
ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени А. А. ЖДАНОВА
Н. А . Сахарников
ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА
Допущено Министерством высшего и среднего специального образования РСФСР
в качестве учебника для естественных факультетов университетов
ИЗДАТЕЛЬСТВО ЛЕНИНГРАДСКОГО УНИВЕРСИТЕТА 1 9 7 3
Гос. публичная |
|
||
н^учно-техни |
ескал |
Печатается по постановлению |
|
' ' ' |
’ |
' ' |
Редакционно-издательского совета |
ЧЬ'"іс.л ■і |
О.Ч; |
1 |
і Ленинградского университета |
ЗАЛА |
|
VI \
ч
Un i в |
- |
УДК 510.022 |
/06 |
^ ' |
Высшая математика. С а х а р н и к о в Н. А. Изд-во Ленингр. ун-та, 1973. 472 с.
Учебник содержит систематическое изложение основ мате матического анализа, аналитической геометрии и теории ве роятностей. Теоретический материал иллюстрирован примерами из различных областей естествознания. Учебник написан на основе курса лекций по высшей математике, который читается автором в течение многих лет в Ленинградском университете.
Книга предназначена для студентов естественных факуль тетов университетов: химического, геологического, биолого почвенного и географического. Кроме того, она может быть ис пользована в педагогических институтах и технических вузах, в которых на курс высшей математики отводится до 500 часов.
„ 0223-031 |
113-73 |
Издательство Ленинградского университета, |
076(02)—73 |
1973 |
с а х а р н и к о в
Николай Алексеевич
ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА
Редактор 3. И. Царькова
Техн. редактор Л. И. Киселева
Корректоры Е. К. Терентьева, И. Л. Кудряшова
М-05629. Сдано в набор 12 /XX 1973 г. Подписано к печати 14/VIII 1973 г. Формат бумаги бОХОО'/іе. Бумага типографская ЛУ 3. Печ. л. 29,5. Уч.-изд. л. 28,24.
Бум. л. 14,75. Тираж 25 000 экз. Заказ 114. Дена 1 р. 09 к.
Издательство ЛГУ им. А. А. Жданова. 199164. Ленинград, Университетская наб., 7/9.
Ленинградская типография ЛІ 6 «Союзполиграфпрома» при Государственном комитете Совета Министров СССР по делам издательств, полиграфии
и книжной торговли. 196006, г. Ленинград, Московский пр.. 91.
ПРЕДИСЛОВИЕ
Эта книга является учебником для студентов естественных фа культетов университетов: химического, геологического, биолого почвенного и географического. Она соответствует курсу высшей математики объемом до 500 учебных часов.
Отбор материала книги, его расположение и характер изложе ния определены задачами математического образования студентов на естественных факультетах университетов.
Математические методы исследования получили широкое рас пространение в естествознании, в связи с чем повысилось значение математической подготовки исследователей природы. Одна из задач состоит в том, чтобы учащийся овладел определенным запа сом сведений по высшей математике (понятий, теорем, методов), необходимых ему для изучения наук, и научился применению этих знаний. Главная же задача состоит в развитии у учащегося точ ного научного мышления и, в частности, в повышении уровня логи ческого мышления и математической культуры.
В соответствии с этим в книге соблюдается должный уровень как в отношении математической строгости рассуждений, так и в отношении простоты и ясности изложения.
Особое внимание автор стремился обратить на выявление кон кретного содержания математических понятий и на методику при менения математики в естествознании. С этой целью в книге поме щены примеры и задачи из области естественных наук (физики, химии, механики, биологии и др.), иллюстрирующие понятия выс шей математики и ее методы.
Книга содержит основы математического анализа, аналитиче
ской геометрии и теории |
вероятностей. Весь |
материал изложен |
в следующем порядке: функции одной переменной (глава I), про |
||
изводная и дифференциал |
функции (глава |
II), аналитическая |
геометрия и векторная алгебра (главы IV, V, VI), функции несколь ких переменных (глава VII), неопределенный интеграл (глава VIII), определенный интеграл и кратные интегралы (главы IX и X), векторный анализ и теория поля (глава XI), ряды (глава XII), обыкновенные дифференциальные уравнения (глава XIII), теория вероятностей (глава XIV), линейная алгебра (глава XV). В книге рассмотрены элементы высшей алгебры (главы III и XV), числен ные методы (главы VII, IX и XIII), элементы дифференциальной геометрии (главы II и VII) и начальные сведения о рядах Фурье (глава XII).
Книга написана на основе курса лекций по высшей математике, который читается автором в течение ряда лет в Ленинградском университете. Предложенное в книге расположение материала в основном соответствует этому курсу. Раннее введение производной (до аналитической геометрии) вызвано потребностью изучения смежных наук, прежде всего физики и химии; оно оказалось целе сообразным и при изучении самой математики.
На некоторых факультетах* изучается сокращенный курс выс шей математики. В этом случае определенная часть материала книги может быть опущена без ущерба для понимания оставшейся части и без нарушения целостности курса.
Книга разбита на 15 глав, 43 параграфа и 252 пункта. Нумера ция глав, параграфов и пунктов сплошная.
Автор приносит глубокую благодарность ответственному ре дактору книги проф. М. М. Смирнову и рецензентам проф. Я. С. Уфлянду и проф. Ю. С. Богданову за ряд предложений, спо собствующих значительному улучшению книги.
Автор благодарит всех лиц, принявших участие в обсуждении рукописи книги. При этом особую благодарность автор выра жает преподавателю кафедры общей матетатики ЛГУ А. К. Поно маренко.
Глава I
ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
§1. ФУНКЦИЯ
1.Множество. Одним из основных понятий математики является понятие множества. Это понятие первоначально, и его не определяют с помощью более простых понятий. Можно сказать, что множество — это семейство, совокупность, класс, система, собрание. Но такая замена одного слова другим не выясняет самую идею этого понятия. Ниже приведены примеры, поясняющие со держание понятия множества: 1) множество букв в данной книге,
2)множество страусов в Африке, 3) множество всех точек данной окружности, 4) множество всех правильных дробей, 5) множество
корней данного уравнения, 6) множество натуральных |
чисел |
(т. е. целых положительных чисел), 7) множество атомов |
серебра |
в данной монете. |
|
Объекты или предметы, составляющие данное множество, назы ваются его элементами. Если х есть элемент множества А , то говорят, что X принадлежит А и записывают х Ç А. Например, если А есть множество всех точек плоскости, а М — какая-нибудь из этих точек, то пишут М Ç А.
Задать множество — это значит указать, из каких элементов оно состоит. Элементами множеств могут быть объекты любой природы (буквы, атомы, числа, страусы и т. д.). Однако каждое конкретное множество есть объединение элементов с каким-то общим признаком, общим свойством, которое иногда указывается в самом названии множества.
Множество называется конечным, если оно содержит конечное число элементов (см. указанные выше примеры 1, 2, 7).
В математике допускаются к рассмотрению множества, число элементов которых равно единице, а также множество, вовсе не содержащее элементов — «пустое» множество.
П р и м е р 1. Рассмотрим множество А окружностей, проходящих через данные точки. Если этих точек две, то А есть бесконечное множество. Если этих точек три и они не лежат на одной прямой, то имеется лишь одна окружность, проходящая через эти точки. Множество окружностей, проходя
щих через три данные точки, |
лежащие на одной прямой, не содержит |
|
ни одного элемента; это — пустое множество. |
||
Множество А |
называется |
подмножеством множества В, если |
каждый элемент |
множества |
А является вместе с тем элементом |
множества В; в этом случае говорят, что А содержится в В, и обо
значают это |
так: А |
С |
В, или В ) А. |
Если А Ç |
В и В |
С |
А, то говорят, что множества А и В равны, |
и записывают А |
В. |
Например, множество {2, 3} и множество |
корней уравнения х 2 — Ъх + б = 0 равны. Порядок расположе ния элементов в множестве безразличен.
Суммой множеств А жВ называется множество, состоящее из всех элементов множества А и всех элементов множества В; она
обозначается |
|
символом А + |
В, или А w |
В. Заметим, что если |
А С В, то А |
+ В — В; в частности, А + |
А — А. |
||
Разностью |
множеств А |
ж В называется множество А — В, |
состоящее из тех элементов множества А , которые не принад лежат В.
Пересечением множеств А жВ называется множество, состоя щее из элементов, общих обоим множествам А жВ; оно обозна чается символом AB, или А гл В.
П р и м е р 2. Рассмотрим множество А всех студентов, присутству ющих на данной лекции. Пусть А і — множество тех из них, кто моложе 20 лет, а А 2 — множество тех присутствующих на лекции студентов, рост которых больше 165 см. 4 і и і 2 есть подмножества множества А.
Сумма А г + А 2 есть множество, в которое войдут только все студенты моложе 20 лет и все студенты, рост которых больше 165 см.
Пересечение А \А г есть множество всех студентов моложе 20 лет, рост которых больше 165 см.
Разность А 1—А 2 есть множество студентов моложе 20 лет, рост которых
не больше 165 см. Разность А 2—А 1 есть множество студентов, рост которых больше 165 см и которые не моложе 20 лет.
Два множества А жВ называются эквивалентными, если между этими множествами можно установить взаимно-однозначное соот ветствие. Это значит, что каждому элементу а множества А можно
согласно |
некоторому |
правилу поставить в соответствие один |
и только |
один элемент |
Ь множества В, причем каждый элемент |
Ъ из В окажется соотнесенным одному и только одному а из А. Эквивалентные множества обозначаются символом А — В.
П р и м е р 3. Пусть А жВ суть множества точек двух концентрических окружностей. Если сопоставить точки этих окружностей, лежащие на одном луче, исходящем из центра, то тем самым будет установлено взаимно-одно значное соответствие между множествами А и В (рис. 1). Поэтому А — В. Если мы «распрямим» наши окружности, то одна из них превратится в более короткий прямолинейный отрезок. Казалось бы, что на более длинном отрезке точек «больше». Мы убедились, что это не так.
П р и м е р 4. Пусть А — множество точек числовой оси и В — множе ство всех вещественных чисел. Эти множества эквивалентны. Вспомним, что числовой осью называется прямая, на которой выбраны направление, начальная точка и отрезок единичной длины. Числовая ось служит для изо бражения вещественных чисел. Из курса элементарной математики известно, что каждая точка М числовой оси имеет свою абсциссу х и что каждому веще ственному числу X соответствует своя единственная точка М числовой оси. Это и значит, что множества А и В эквивалентны.
Пример 4 объясняет принятую в высшей математике условность языка — вместо слов «рассмотрим (возьмем, найдем) число х» можно сказать «рассмотрим (возьмем, найдем) точку х». Здесь как в пер
вом, так |
и во втором случаях под х |
В |
||||||
понимают число. |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
||||
Бесконечное множество называет |
|
|||||||
ся счетным (или |
исчислимым), |
если |
|
|||||
оно эквивалентно множеству |
нату |
|
||||||
ральных |
чисел. |
Например, счетным |
|
|||||
является множество чисел {2п}. |
|
|||||||
Можно доказать, что: 1) множество |
|
|||||||
правильных |
дробей |
счетно, 2) мно |
|
|||||
жество чисел, |
удовлетворяющих ус |
|
||||||
ловию 0 < |
X < |
1, не является |
счет |
|
||||
ным. |
|
что |
множество |
имеет |
|
|||
Говорят, |
|
|||||||
мощность континуума, |
если оно эк |
|
||||||
вивалентно |
множеству |
чисел, удов |
|
|||||
летворяющих |
условию |
0 <Сх < 1 . |
А называется |
|||||
2. |
Упорядоченное |
множество. Множество |
||||||
упорядоченным, если в нем введено отношение порядка между эле |
||||||||
ментами. Это значит, что относительно любых двух элементов |
||||||||
данного |
множества |
А |
известно, какой из них |
предшествует |
||||
другому. |
|
|
|
|
|
|
|
|
П р и м е р . |
|
Любое множество вещественных чисел естественным об |
разом упорядочивается, если расположить эти числа в порядке возрастания (или убывания). В геометрической форме этот пример можно представить так: любое множество точек на горизонтальной прямой упорядочивается, если из двух точек считать следующей ту, которая лежит правее (или левее).
Пусть А — счетное множество, среди элементов которого мо гут быть одинаковые. Сопоставим каждому элементу а из А свое натуральное число п и напишем это п в виде индекса у соответству ющего элемента а; получим ап. Примем число п за порядковый номер элемента ап. Упорядоченное счетное множество, элементы которого занумерованы и расположены в порядке возрастания номеров
®2» • • •> • • •>
называется п о с л е д о в а т е л ь н о с т ь ю и обозначается символом ,{ап}.
В частности, числовой последовательностью {хп} |
называется |
|
счетное числовое множество, элементы которого |
занумерованы |
|
и расположены в порядке возрастания номеров. |
При п' > п |
|
член хП’ следует за членом хп независимо от того, |
будет ли само |
|
число хп>больше, меньше или даже равно хп. |
|
|
3. Математическая величина. Число. Одним |
из |
основных |
понятий высшей математики является понятие величины, смысл которого с развитием математики подвергался ряду обобщений. Понятие скалярной величины является непосредственным обобще нием более конкретных понятий: длины, площади, объема, веса
и т. п. Характерное свойство каждой конкретной величины состоит
втом, что она может быть измерена путем сравнения с выбранной единицей измерения того же рода, что и измеряемая величина. Например, за единицу времени можно принять секунду, за еди ницу длины — метр и т. д. В результате измерения конкретной величины получается число, выражающее отношение рассматрива емой величины к величине, принятой за единицу меры. Каждой конкретной величине соответствует измеряющее ее число, которое
зависит от выбора единицы меры. Таким образом, мы приходим к понятию отвлеченного числа.
Если измеряемая величина изменяется (например, при нагрева нии изменяется длина металлического стержня), то изменяется и со ответствующее ей число. Заметим, что в традиционной математичес кой терминологии говорить о «переменных числах» не принято. В подобных случаях говорят о переменной математической величине.
В более общем смысле слова под математическими величинами
понимают |
не только числа, но и векторы, тензоры и т. д. (см. |
пп. 60 и |
181). |
Всякий закон природы дает соотношение между конкретными величинами или вернее между соответствующими им математиче скими величинами. Предметом исследования математики и яв ляются как раз числа и другие математические величины и различ ные соотношения между ними независимо от конкретного характера тех величин или законов, которые привели нас к этим математиче ским величинам и соотношениям.
Числа, получающиеся в результате измерения, могут быть целыми (если единица содержится целое число раз в измеряемой величине), дробными, или рациональными (если измеряемая вели чина и единица измерения имеют общую меру) и, наконец, иррацио нальными (если такой общей меры нет).
Все рациональные и иррациональные числа (положительные и отрицательные) образуют множество вещественных, или действи тельных, чисел. В результате выполнения арифметических опера ций над вещественными числами (исключая деление на нуль) получаются числа вещественные.
Из курса элементарной математики известно, что всякое рацио нальное число можно представить в виде отношения двух целых чисел, а также в виде десятичной дроби — конечной или бесконеч