ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 09.04.2024
Просмотров: 140
Скачиваний: 2
ной периодической. Иррациональное же число так изобразить нельзя, но можно представить в виде бесконечной непериодической десятичной дроби.
Между двумя любыми разными рациональными числами содер жится одно рациональное число — полусумма этих чисел; следова тельно, их содержится бесконечное множество. Между двумя лю быми различными иррациональными числами также содержится бесконечное множество иррациональных чисел.
П р и м е ч а н и е . В практике измерений можно обойтись без ирра циональных чисел, потому что всякое иррациональное число можно прибли женно представить с любой степенью точности соответствующим рациональ ным числом. Однако в теории, например при формулировке общих законов, иррациональные числа необходимы. Так, площадь круга равна яг2, где я —
иррациональное число.
4.Абсолютная величина вещественного числа. Абсолютной
величиной, или модулем | х |, вещественного числа х |
называется |
само число X, если оно не отрицательно, или число —х, если оно |
|
отрицательно: |
|
\х\==х при ХігО, \х\ = —Х при X<60. |
(1) |
Отсюда непосредственно следует, что при любом вещественном X имеют место неравенства
|
|
—|ж| ^ ± х sS |сс]. |
(2) |
||
Докажем несколько предложений об абсолютных величинах. |
|||||
1°. |
При любом |
положительном е |
равносильны следующие |
||
неравенства-. |
|;г |< е |
и —е < ;х < е . |
(3) |
||
|
|
||||
Действительно, |
из | a r | < e |
согласно |
(2) следует, что |
одновре |
|
менно |
I X I < е и X >> —8, так как —х sg | х | < е. Обратно, если |
||||
дано, что X < е и х |
> —е, то имеем одновременно і < е и |
—х <б е; |
|||
но одно из чисел х или —х и есть j х |, поэтому \х \ < |
е. |
||||
Аналогично доказывается |
равносильность неравенств |
| х \ ^ s |
|||
И—8 sg X ^ 8.
Сл е д с т в и е . При любых вещественных а и е > 0 равно сильны неравенства
\х — а | < 8 |
и а — е< д г< ;а+ е . |
(4) |
|
Действительно, если |
обозначить х — а — у, то |
неравенства |
|
(4) примут вид I у ! < 8 |
и |
—8 <б У <6.8. Но они |
равносильны |
согласно доказанному выше; поэтому равносильны и неравенства
(4). Геометрическое истолкование неравенств (4) состоит в том, что каждое из них определяет множество точек числовой оси, ограни ченное точками а — 8 и а + е.
2°. Абсолютная величина суммы вещественных чисел не превос ходит суммы абсолютных величин слагаемых:
|
|
|
(5 ) |
Д о к а з а т е л ь с т в о . Если хДг/ЗаО, |
то согласно |
(1) и (2) |
|
имеем | х-|-у | = х + у | х( + [ г/1. Если |
же T + ÿ < 0 , то |
\х-\-у\ = |
|
^ ( —х) + ( ~ у ) ^ \ х \ - \ - \ у \ . |
|
|
|
3°. Абсолютная величина разности вещественных чисел х и у |
|||
не больше суммы абсолютных величин |
\х \ |
и | у | и не меньше их |
|
разности: |
|
1*1 — \у \'^ 1 * — У \*?І*| + ІУ|- |
(6) |
Д о к а з а т е л ь с т в о . 1) Если в неравенстве (5) заменить у на —у, то получим правую часть неравенства (6). 2) Представим х
в виде суммы х |
= (х — у) + у и согласно (5) получим | х | ^ |
|||
sS j X — y | + | ÿ [ . |
Отсюда следует левая часть неравенства (6). |
|||
4°. Из определения непосредственно следуют равенства \ ху\ = |
||||
= \х |
|
X |
3? I |
(последнее при У ФО). |
\У |
и — |
\У\ |
||
|
у |
|
||
5. Промежуток. В математическом анализе часто встречаются следующие числовые множества.
Множество всех чисел х, удовлетворяющих условию а < х <С Ь, называется открытым промежутком (или интервалом) и обозна чается символом (а, Ь).
Множество всех чисел х, удовлетворяющих условию а ^ х ^ Ъ, называется замкнутым промежутком (или отрезком) и обозна
чается символом [а, Ъ]. |
Ь) и (а, |
|
Встречаются также полуоткрытые промежутки [й, |
6]. |
|
Множества чисел, удовлетворяющих условиям х > а |
или х < |
Ь, |
обозначаются соответственно (а, +оо) и (—оо, Ъ). |
Множество |
|
всех вещественных чисел обозначается символом (—оо, +оо) или |х | < + оо. Все указанные множества называются промежутками.
Любой открытый промежуток (ос, ß), содержащий точку х0,
называется окрестностью точки х0. В частности, г-окрестностъю точки х0 называется промежуток (х0 — е, х0 + е), т. е. множество чисел, удовлетворяющих условию | х — х0 | < е , где е > 0 .
6. Постоянные и переменные величины. Математические вели чины бывают только двух видов — постоянные и переменные.
Величина называется постоянной, если она сохраняет одно и то же значение либо независимо от условий задачи, либо лишь в опре деленных условиях. Постоянные, сохраняющие неизменное значе ние независимо от условий, называются абсолютно постоянными. Например, отношение длины любой окружности к ее диаметру есть абсолютно постоянная величина, равная л. Величины, по стоянные лишь в определенных условиях (в условиях рассматри ваемой задачи), называются параметрами. *
* Параметрами называются также вспомогательные переменные.
Переменной величиной, или просто переменной, называется всякая математическая величина, которая может принимать раз личные числовые значения в рассматриваемом явлении (вопросе, процессе, исследовании). Например, угол наклона к вертикали колеблющегося маятника есть величина переменная.
В математике постоянную величину часто рассматривают как частный случай переменной величины, все значения которой равны
между собой. Например, длина |
радиус-вектора г переменой точки |
|||||||||||
линии I |
есть, вообще говоря, величина переменная. Если же I — |
|||||||||||
окружность |
с |
центром |
в начале, |
то г — постоянная |
величина |
|||||||
(рис. 2). |
|
характеристикой |
пере |
|
|
|||||||
Важной |
|
|
||||||||||
менной |
величины является |
область |
|
|
||||||||
ее изменения. |
Областью |
изменения |
|
|
||||||||
переменной величины |
называется мно |
|
|
|||||||||
жество всех значений этой величины. |
|
|
||||||||||
П р и м е р |
|
1. Если температура |
воз |
|
|
|||||||
духа в данной |
точке |
пространства |
ме |
|
|
|||||||
няется в течение суток между значениями |
|
|
||||||||||
18 и 25 °С, то |
|
областью изменения |
тем |
|
|
|||||||
пературы |
является |
промежуток |
(18, |
25). |
|
|
||||||
П р и м е р |
|
2. |
Число |
жителей |
дан |
|
|
|||||
ного города есть |
переменная |
величина, |
|
|
||||||||
которая может принимать только целые |
|
|
||||||||||
положительные |
значения. |
Например, |
в |
|
|
|||||||
прошлом |
году |
число |
жителей |
города N |
областью |
изменения |
||||||
изменилось от пх до п2. Этот пример |
показывает, что |
|||||||||||
переменной может быть множество, состоящее из целых чисел. |
|
|||||||||||
7. |
Понятие функции. В математике и ее |
приложениях часто |
||||||||||
приходится иметь дело не с одной переменной, а сразу с несколь кими переменными, которые взаимно связаны. Например, при из менении радиуса изменяется площадь соответствующего круга, причем эти переменные связаны зависимостью s = яг2.
В общем случае пусть имеются две переменные х и у, принима ющие вещественные значения. Пусть областью изменения перемен
ной X является |
некоторое множество X . |
О п р е д е л |
е н и е 1. Переменная у называется ф у н к |
ц и е й п е р е м е н н о й х, о п р е д е л е н н о й н а м н о ж е с т в е X ( или в о б л а с т и X), если каждому значению х ( из множества ее возможных значений X ) соответствует опреде
ленное значение у. Переменная х называется независимой перемен ной, или аргументом.
Обозначение функции у = / (х), у = ср (х), у = у (х) и т. п. введено Эйлером в 1748 г.; термин «функция» введен Лейбницем в 1692 г. Для обозначения частного значения функции, например f (х) в точке XQ, употребляется символ / (х0).
В этом определении существенны два момента: во-первых, указание области X изменения аргумента х — ее называют областью
определения функции, и, во-вторых, установление правила или закона соответствия между значениями ж и у. Задать функцию — это значит задать закон соответствия и область определения функции.
Закон соответствия может быть задан правилом какой угодно природы. Наиболее важным для математического анализа является задание этого правила в виде аналитического выражения или фор мулы, содержащей указание на те операции или действия над постоянными числами и над значением жчкоторые надо выполнить, чтобы получить соответствующее значение у.
П р и м е р |
1. |
Если функция у = х2 определена в промежутке (—1, 2), |
то областью изменения функции является промежуток [0, 4]. |
||
П р и м е р |
2. |
Рассмотрим свободное падение тяжелой точки с высоты h |
над поверхностью земли. Путь, пройденный при этом телом, есть функция
времени s = |
0,5gt2, |
определенная для каждого |
значения t из |
промежутка |
0 ^ t ^ Т, |
где Г = |
У 2h/g. Промежуток [0, Т |
] есть область |
определения |
функции. Областью изменения функции является промежуток [0, h]. Заметим, что формула s = 0,5gt2 позволяет вычислить s при любых значениях t. Однако в условиях примера нелепо рассматривать значения t <; 0 или пользоваться этой формулой при t>> Т.
Различают: 1) область определения функции — она опреде ляется из чисто теоретических или прикладных соображений, но всегда исходя из существа рассматриваемого вопроса, и 2) есте ственную область определения функции / (ж), заданной аналити чески (называемую также областью допустимых значений, сокра щенно — о. д. з.), т. е. множество значений независимой пере менной ж, при которых величина / (ж) принимает вещественные значения.
В примере 2 о.д.з. для аналитического выражения 0,bgt2 — это вся
числовая ось (— |
+о°) . |
Аналитическое выражение у = Уа2 — х2 имеет |
|||
о. д. з. I X I |
а, а у = logaa; имеет |
о. д. з. х £> 0. |
и-угольника, вписанного |
||
П р и м е р |
3. |
Периметр ра |
правильного |
||
в окружность |
радиусом R, |
есть функция числа |
Tt |
||
п: рп — 2nR sin — . Здесь |
|||||
область определения функции есть множество натуральных чисел, не мень ших числа три.
В качестве области определения функции чаще всего встречаются либо промежуток (конечный или бесконечный), либо множество натуральных чисел.
П р и м е р |
4. Функция Дирихле определена в промежутке (0,1) равен |
|||||
ствами |
|
|
|
|
|
|
|
у = |
0, |
если X — иррациональное число, |
|
|
|
|
у = |
1, |
если X — рациональное число. |
|
|
|
П р и м е р |
5. |
Функция |
у = Е (х) (entier — целый). |
Закон соот |
||
ветствия задан |
правилом: Е (х) |
есть наибольшее целое |
число, не превос |
|||
ходящее X . Например, |
Е (—2,5) = —3, Е (1,4) = Е (1) = |
1. |
График этой |
|||
функции изображен на рис. 3 (точки, помеченные звездочкой, графику не принадлежат).
