Файл: Сахарников Н.А. Высшая математика учебник.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 09.04.2024

Просмотров: 137

Скачиваний: 2

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

— Лапласа

339,

343

 

 

 

— векторное

296,

303

 

— линейный дифференциальный 398

— гармоническое 338

 

Определитель 105, 106, 108, 446

— градиентов 319, 320, 337

— Вронского 400

 

 

 

 

— направлений

390

 

320

— Якоби

191

 

 

 

 

 

— потенциальное

319,

— функциональный 191, 282, 292

— силовое

304

 

27

 

Ордината

точки 115,

149

 

 

— скалярное

296,

 

Орт 149

 

 

 

 

 

 

 

— соленоидалыюе

330

 

Ортогональные

 

382

 

 

 

— стационарное

296

 

319

— полиномы

381,

 

 

 

— точечного

источника

— системы функций 376, 380

— тяготения

297,

320

 

— функции

376,

380

 

 

 

— центральное

320

 

 

Оси эллипса

138

 

алгебры

98

— электростатическое 319, 331

Основная

теорема

Полином 13,

97

 

 

 

210

Остаток ряда 349,

362

 

 

Полиномы Бернштейна

Остаточный член 90

 

 

 

— Лежандра

382

 

 

 

— — в форме Лагранжа 91

 

— обобщенные

382

 

382

Ось 112

 

 

гиперболы

140

— ортогональпые

381,

— вещественная

— Тейлора

89

■»

 

 

 

— полярная

116

 

 

 

 

 

— Чебышева

382

 

 

 

— числовая

112

95,

283

 

 

Полная

группа

событий 419

Отображение

13,

 

 

Полюс

116

 

 

 

 

 

 

Оценка остатка ряда

356

 

 

Порядок алгебраической линии 124

— погрешности 88,

196

 

 

Последовательность 7

 

Парабола

141

 

 

 

 

 

— числовая

8,

346

320

 

 

 

 

 

Потенциал поля

319,

Параболоид

гиперболический 176

Поток вектора 324

 

 

— эллиптический

 

175

 

 

 

Правила дифференцирования 51, 52,

Параметр

10, 53

уравнения

линии

53

 

 

 

 

263

 

Параметрические

Правило Лейбница

 

164, 197

 

 

 

 

 

 

 

— Лоппталя

63—64

 

 

Первообразная функция —см. Функ­

Предел

последовательности 24, 32

ция первообразная

 

 

 

— функции

23,

24,

32,

182

Переменная

11

 

212

 

 

— — односторонний

23

 

— интегрирования

 

 

Предельная

точка

множества — см.

Пересечение множеств

6

 

 

Точка

предельная

 

 

Перестановки 104,

446

165

Преобразование координат 116—120,

Плоскость

в

пространстве

161, 162

 

 

 

 

 

 

Площадь

криволинейного

сектора

Приближение функции 206, 209, 383

248

 

 

 

 

 

 

 

Признак 66

 

 

 

 

 

 

— криволинейной трапеции 151, 247

— Вейерштрасса 363

 

 

— поверхности вращения

251

— Даламбера

351

 

 

 

— треугольника 67

 

 

 

— Коши 258, 354

 

 

 

— шарового пояса 252

 

164

— Лейбница

356

 

 

 

Поверхность

алгебраическая

— сравнения 257, 260, 352

— гладкая 199

322

 

 

 

Принцип сходимости

ряда 350

— двусторонняя

 

 

 

Приращение

аргумента

38

— линейчатая 177

163

 

 

— функции

38,

85

 

 

 

г— цилиндрическая

 

 

— — полное 184, 187, 194

— уровня

297

 

 

 

 

196

— — частное

185

ИЗ

 

Погрешность

абсолютная 87,

Проекция вектора

 

— — предельная

87,

196

 

 

— точки ИЗ

47,

49

 

 

— относительная

196

 

 

 

Производная

 

 

скалярного

Подкасательная 81

 

 

 

 

— векторной

функции

Подмножество 6

 

 

 

 

 

аргумента

302

 

 

57

 

Поднормаль

81

 

 

 

 

 

— высшего

порядка

 

Подстановка

215

 

 

 

 

 

— комплексной функции веществен­

Подпоследовательность 349

 

 

ного аргумента 95

 

 

Поле 296

 

 

 

 

 

 

 

— логарифмическая 55

 

— безвихревое 337

 

 

 

 

— логарифмической

функции 55

— локальная

188

 

53

 

 

— — — частное

387, 391,

 

396

ура­

— обратной

функции

функции

— системы дифференциальных

— — тригонометрической

внений 408,

409,

410

 

 

 

 

57

 

 

 

 

 

 

 

 

— — уравнений 453

335

 

 

 

 

— интеграла по верхнему пределу

Ротор вектора

334,

 

 

 

 

239

 

 

 

 

 

 

 

 

Ряд 346, 361

 

 

 

 

 

357

 

— — по параметру 263, 264

191

— абсолютно сходящийся

 

— неявной функции

189,

190,

— биномиальный

373

 

 

 

 

— показательной

функции

55

 

— гармонический 350

 

 

 

 

— полная 188

 

 

 

 

 

 

— геометрический

347

 

 

 

 

— по направлению 298

 

 

— знакочередующийся 355

 

 

 

— постоянной

50

 

 

 

 

— мажорантный 363

 

 

 

 

 

— сложной функции 52, 188

 

— Маклорена

372

 

 

 

 

362

 

— степенной

функции

56

функции

— равномерно

сходящийся

 

— степенно-показательной

— расходящийся

347

 

 

 

 

56

 

 

 

 

 

функции 50,

— с комплексными членами 360

— тригонометрической

— с положительными членами 351

54

 

 

 

192

 

 

 

 

— степенной 367,

369

 

 

 

 

— частная 186,

 

 

 

 

 

— сходящийся

347

 

 

 

 

 

Произведение вектора на число 112

— — в среднем 384

 

 

 

 

 

— векторов векторное

156

 

 

— Тейлора 370

 

 

 

 

 

 

 

— — скалярное

153

 

 

 

 

— тригонометрический 375

 

 

— — смешанное

158

 

 

 

 

— условно сходящийся

358

 

— матриц 451

 

 

 

 

 

 

— функциональный

361

 

 

 

 

— определителей 451

379

 

— Фурье 377

 

 

382

 

 

 

 

— функций

скалярное

 

— — обобщенный

 

 

 

 

Промежуток

10

 

 

 

 

 

— числовой 346

 

 

 

 

 

 

 

— замкнутый 10

 

 

 

 

Связка плоскостей

167

 

 

 

 

— открытый

10

 

 

 

 

179

339, 340

Пространство

арифметическое

Символика Гамильтона

— эквлидово

179

 

 

 

 

Система дифференциальных

уравне­

Прямая в пространстве 169

 

ний 408—410

 

 

 

 

 

 

 

Пучок

прямых

128

 

 

 

 

— координат

110

 

 

 

 

 

 

Работа

вектора

 

304,

318

 

 

— — декартова 115, 149

 

 

 

 

 

 

— — криволинейная 281, 289

 

Равенство векторов

111

 

 

— — ортогональная 281, 289

 

— комплексных

чисел

94

 

 

— — полярная 116

 

 

 

 

 

— матриц 451

 

97

 

 

 

 

— — сферическая 161, 293

 

— многочленов

 

 

 

 

— — цилиндрическая 160,

292

— множеств

6

 

 

 

 

 

 

— уравнений 453, 455, 459

 

 

Радиус-вектор 11, 305

 

 

 

Скалярная величина

111,

296

 

Радиус

кривизны 80

 

 

 

Скалярное ноле

296

 

 

 

153

 

— полярный

116

 

 

 

 

— произведение

векторов

 

 

— сходимости степенного ряда 368

— — функций 379

416,

427

 

Радиусы фокальные 136, 139, 141

Случайная величина

 

Разложение вектора 151

 

 

— — дискретная

416,

427

 

 

— определителя

107,

449

 

 

— — непрерывная 416, 433

 

— рациональной дроби 101

 

Событие 416

 

 

 

 

 

 

 

 

— функции в степенной ряд 370,

— достоверное 416

 

 

 

 

 

372

 

Фурье

376

 

 

— невозможное

416

 

 

 

 

 

— — в ряд

 

 

— случайное

416

 

423

 

 

 

 

Размещения

104

 

 

 

 

 

События зависимые

 

 

 

 

Разность векторов 111

 

 

 

— независимые 423,

424

 

 

 

— множеств

6

455

 

 

 

 

— несовместные

419

 

 

 

 

 

Ранг матрицы

 

 

 

 

— противоположные 422

 

 

 

Раскрытие неопределенностей 63, 375

— равновозможные

419

 

 

 

 

Решение дифференциального уравне­

Соединения 103

 

 

 

 

 

 

 

ния

31, 387

 

 

 

 

 

 

Соответствие

12

 

 

 

6,

 

110,

112,

— — — общее 387, 391, 396

 

—взаимно-однозначное

 

— — — особое

391,

392

 

 

150

 

 

 

 

 

 

 

 

Сочетания 103

переменной

215,

Термодинамическая поверхность 177

Способ

 

замены

Точка множества

внутренняя

180

241

 

 

 

 

 

 

 

— — предельная

(точка сгущения)

— интегрирования но частям 216,

19, 180

 

 

 

 

 

180

 

241

 

 

 

 

 

 

 

— области граничная

 

— Ньютона

83

 

 

 

 

— га-мерного

пространства 179

— хорд

82

 

412

 

 

 

— перегиба

73

 

 

 

 

 

— Эйлера 410,

 

 

 

— разрыва функции 37, 39

 

Среднее значение случайной величи­

— сходимости

ряда 361

 

ны 428

 

 

 

 

 

 

— экстремума 68

 

 

 

 

— — функции 238, 273

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

— квадратичное

уклонение

383,

Угловой коэффициент

прямой 48

437

 

многочлена

14

 

 

— — касательной

 

48

 

 

Степень

191

 

Угол между

векторами 155

 

— однородной функции

 

— — плоскостями

 

168

 

Сумма векторов

111

 

 

 

— — прямыми

130,

171

172

— множеств

6

 

 

 

 

— — прямой и плоскостью

— ряда

347,

362

 

 

 

— наклона прямой

125

 

— — частичная 346, 361

 

Уравнение алгебраической линии 124

— функций

19

 

 

 

 

— — поверхности

 

164

 

Сходимость несобственного интегра­

— гиперболы

139

 

 

 

 

ла 255, 259

 

 

 

 

— гиперболоида двухполостного 175

— — — абсолютная 256, 260

 

— — однополостного

174

 

— ряда

347,

361

 

 

 

— замкнутости

384

 

 

197

— — абсолютная 357

 

 

— касательной к кривой 80,

— — равномерная 362

 

 

— — плоскости к поверхности 199

— — условная

358

 

384

 

— конуса второго порядка 178

— — Фурье

в

среднем

 

— линии

123

 

 

 

 

 

Таблица интегралов

213

 

 

— — второго порядка 135

 

 

 

— окружности

124

 

 

 

— производных 54

 

 

 

— параболы

141

 

 

 

 

Теорема

Барроу

239

 

 

 

— параболоида

гиперболического

— Безу

98

 

 

 

 

 

176

 

 

 

 

 

 

 

— Бернулли 442

35

 

 

— — эллиптического 175

 

— Больцано—Коши

 

 

— плоскости

165—168

 

— Вейерштрасса 41, 185, 209

 

— поверхности

164

 

133

 

— Дирихле

378

185

 

 

 

— прямой

125—129,

 

— Кантора 43,

 

 

 

— сферы

164

 

 

 

 

 

— Коши 42, 62, 185

 

 

 

— теплопроводности 344

 

— Крамера

109, 453

 

 

— эллипса 137

173

 

 

 

 

— Лагранжа

60

 

 

 

 

— эллипсоида

 

в

пространстве

— Лапласа 444

 

 

 

 

Уравнения

прямой

— Лейбница 356

 

 

 

169—171

 

 

 

 

 

 

 

— Лопиталя

63

 

 

 

 

Условие необходимое и достаточное

— Муавра—Лапласа 443

 

66

 

 

 

 

 

 

 

— Ролля

59

 

 

 

 

 

— коллинеарности векторов 149, 153

— существования предела 34, 35

— компланарности

 

векторов

159

— — двойного интеграла 271

 

— ортогональности

векторов

155

— — неопределенного

интеграла

— — прямых 171

 

 

 

 

211,

240

 

 

 

интеграла

— — прямой и плоскости 172

— — несобственного

 

— существования

предела функции

256,

260

 

 

 

 

 

35

 

 

 

 

 

 

 

— — определенного интеграла 231

— — — последовательности 37

— Ферма 58

 

 

 

 

 

— сходимости ряда

351

 

— Чебышева 441

 

 

 

Фокусы линий второго порядка 136,

— Эйлера 191

367,

369

 

Теоремы

Абеля

 

138, 141

 

 

 

 

 

 

 

— Гульдина

253, 254

 

 

Формула 102

 

 

 

 

 

 

— о пределах основные 25

 

— Бейеса

426

 

 

 

 

 

Теория

вероятностей

416, 417

 

— Бернулли 431

 

 

 

 

— Грина 312

 

 

 

 

 

 

— нечетная 77

 

 

 

 

 

— конечных приращений Лагранжа

— неявная 189

 

 

 

 

 

61

 

 

 

 

 

 

 

— обратная

44

20

 

 

 

— — — обобщенная 187

 

 

— ограниченная

 

 

 

— Лагранжа интерполяционная 207

— однозначная

13

 

 

 

— Лейбница 58

 

 

 

 

400

— однородная

191

 

 

 

—

Лиувилля—Остроградского

— первообразная

211

 

 

—

Маклорена

91

 

 

232,

240,

— подынтегральная 212

 

 

— Ньютона—Лейбница

— показательная

15

 

 

 

241

 

 

328

 

 

 

— — комплексного аргумента 96

— Остроградского

 

 

 

— равномерно непрерывная 42, 185

— парабол

244

 

 

 

 

 

— сложная

15

 

 

 

 

 

— полной вероятности 426

 

 

— состояния

318

 

 

 

 

— прямоугольников

244

 

 

— степенная

14

 

 

16

 

 

— Стокса 333,

334

 

 

 

 

— трансцендентная

 

 

— Тейлора

89,

201

 

 

 

 

— убывающая 33

 

 

 

 

— трапеций

244

95

 

 

 

 

•— целая рациональная 13, 97

 

Формулы Эйлера

 

 

решений

— четная

77

 

13,

16

 

 

Фундаментальная

система

— элементарная

 

 

402

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Функционал

13

 

 

 

 

 

Характеристическое

уравнение

403,

Функции линейно-зависимые 399

411

 

 

 

 

 

 

 

 

— линейно-независимые 399—400

Центр кривизны

80

 

 

 

— обратные

тригонометрические 15

 

 

 

— основные

элементарные

13

 

— тяжести 252, 253, 254, 285, 294

— тригонометрические

15

 

 

Цилиндрический брус 269

178

 

— элементарные 13,

16

 

 

 

Цилиндры второго порядка

 

Функция И , 13, 181, 182

 

 

Циркуляция вектора 318

 

 

— алгебраическая

16

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

— бесконечно

большая

21

 

 

Частость

события

421

 

 

— — малая

17

 

 

 

 

 

Частота события

421

 

 

— Бесселя

414, 415

 

 

 

 

Число вещественное 8

 

 

— возрастающая

33

181

 

 

— е 29

 

 

 

94

 

 

 

— двух переменных

 

 

— комплексное

 

 

 

— дифференцируемая

49

 

 

Численные методы 243

 

 

— дробная рациональная 14, 100

Числовая

ось

112

 

 

 

— заданная

аналитически

12

 

Эвольвента

80

 

 

 

 

 

— — параметрически 53

 

286

 

 

 

 

 

— интегрируемая

231,

271,

Эволюта

80

 

 

 

 

 

140

 

— — в элементарных функциях 220

Эксцентриситет гиперболы

 

—-

комплексного

переменного

95

— эллипса

138

 

 

68

 

 

— Лагранжа 205

 

 

 

 

 

Экстремум

функции

 

201

— Лапласа

444

 

 

 

 

 

— — нескольких’ переменных

— логарифмическая 15

 

 

 

— — относительный 204

 

 

— линейная

14

 

 

 

182

Элемент дуги

289

 

 

 

— нескольких

переменных

— матрицы

445

 

 

 

 

 

— многозначная

13

 

 

 

 

— множества

5

291

 

 

 

— монотонная

33

 

 

 

13

— объема 290,

 

 

 

— натурального аргумента

— площади

282

 

 

 

 

 

— неограниченная 258

 

 

 

Эллипс 136

173

 

 

 

 

 

— непрерывная в точке 37, 183

Эллипсоид

 

 

 

 

 

— — в промежутке 39

 

 

 

Эмпирические

формулы 207, 208

— — в области 183

 

 

 

 

Энтропия

318

 

 

 

 

 

 

— непрерывно дифференцируемая 58

Якобиан

191

 

 

 

 

 

 

— — — несколько переменных 187

 

 

 

 

 

 

Предисловие ..........................................................................................................

3

Г л а в а I. Функции одной переменной

 

§ 1.

Функция .....................................................................................................

5

 

1. Множество (5). 2. Упорядоченное множество (7). 3. Матема­

 

тическая величина. Число (8). 4. Абсолютная величина веществен­

 

ного числа (9). 5. Промежуток (10). 6.

Постоянные п переменные

 

величины (10). 7. Понятие функции (11). 8. Элементарные функ­

§ 2.

ции (13). 9. Алгебраические функции

(16).

Предел ф у н к ц и и ........................................................................................

15

 

10. Бесконечно малая функция (16). И . Свойства бесконечно

 

малых (19). 12. Бесконечно большая функция (21). 13. Предел

 

функции (22). 14. Предел функции при стремлении аргумента

 

к бесконечности (24). 15. Основные

теоремы о пределах (25).

 

16. Один важный предел (28). 17. Число е. Натуральные лога­

 

рифмы (29). 18. Задача (30). 19. Сравнение бесконечно малых (31).

§ 3.

20. Дополнительные сведения о пределах (32).

Непрерывные ф у н к ц и и ............................................................................

37

21.Понятие непрерывности функции в точке и в промежутке (37).

22.Классификация точек разрыва (39). 23. Свойства непрерыв­

ных функций (40). 24. Свойства функций, непрерывных в замкну­ том промежутке (41). 25. Непрерывность обратной функции (43).

26.Еще три важных предела (45).

Гл а в а II. Производные и дифференциалы функции

§ 4.

Производная функции . . . ................................................................

46

 

27. Задачи, приводящие к понятию производной (46). 28. По­

 

 

нятие производной функции (49). 29. Основные правила диффе­

 

 

ренцирования (51). 30. Основные формулы дифференцирования

 

 

(54). 31. Производные высших порядков (57).

 

 

 

58

§ 5, Основные теоремы дифференциального исчисления.....................

 

 

 

32. Теорема Ферма (58). 33. Теорема Ролля (59). 34. Теорема

 

 

Лагранжа (60).

35. Два

дифференциальных

уравнения

(62).

 

 

36.

Теорема Коши (62). 37. Раскрытие неопределенностей

(63).

65

§ 6. Исследование функции

............................................................................

 

 

 

 

 

38.

Условие постоянства функции. Условия монотонности функ­

 

 

ции (66). 39. Максимум и минимум функции (68). 40. Достаточ­

 

 

ные условия экстремума

(70). 41. Задачи

на

экстремум

(72).

 

 

42.

Выпуклость, вогнутость, точки перегиба (73). 43.

Асимптоты

 

 

(75). 44.

Общая схема исследования функции (76). 45.

Кривизна

 

 

(77). 46.

Касательная, нормальи связанные

с ними отрезки

(80).

 

 

47.

Приближенное вычисление вещественных корней уравнения

 

§ 7,

(81).

 

функции

 

 

 

 

 

84

Дифференциал

........................................................................

 

 

 

 

 

48.

Понятие дифференциала функции (84). 49. Свойства диффе­

 

 

ренциала (86). 50. Формулы приближенных вычислений (87).

 

 

51.

Формула Тейлора (88). 52. Примеры (91). 53. Исследование

 

 

функции на экстремум с помощью формулы Тейлора (92).

 

 

Г л а в а

III,

Элементы высшей алгебры

 

 

 

 

 

§ 8. Комплексные числа. Функции комплексного переменного

. . .

94

 

54.

Три формы комплексного числа. Формулы Эйлера

(94).

 

 

55.

Примеры функций комплексного переменного (95). 56. Целые

 

рациональные функции (97). 57. Дробные рациональные функ­ ции (100).

Смотрите также файлы