Файл: Сахарников Н.А. Высшая математика учебник.pdf

Скачать файл (23,09Мб)

Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 09.04.2024

Просмотров: 138

Скачиваний: 2

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Наглядным способом представления функции служит ее гра фик. Графиком функции у = / (х) называют множество всех точек плоскости, координаты которых х и у удовлетворяют соотношению у = / (х). Например, графиком линейной функции у = ах + b служит прямая линия.

Важную роль в математике играют функции натурального аргумента, т. е. функции, определенные на множестве натуральных чисел: у = / (х), где х = п. Значения такой функции обычно обо значают так: / (п) — уп. Множество значений функции натурального аргумента, расположенных в порядке возрастания аргумента п, образует числовую последовательность {г/„}. Например, в слу

чае

{и2}

имеем

уг =

1, у2 =

Уз = 9, • • •

определению

по

Вернемся

у=Е(х)

нятия

функции.

Если каждому

значению

из

множества X

со

ответствует не одно, а несколько

значений у, то у называется мно

гозначной функцией

в отличие

-2

-'/

от определенной выше однозначной

функции.

дальнейшем, говоря

-1

о функции, мы будем иметь в

виду только однозначные функции.

-------»

' -2

Понятие функции есть одно из

основных понятий математического

Рис. 3.

анализа.

Его можно

понимать в

следующем более широком смысле.

даны два

произвольных

мно

О п р е д е л е н и е

2. Пусть

жества X и У. Если каждому

элементу х £ X поставлен в соответ

ствие

один и

только

один

элемент

у 6 У,

обозначаемый

/ (х),

и если

каждый элемент у Ç У при этом оказывается поставленным

в соответствие хотя бы одному

элементу

х Ç X, то говорят, что

на

множестве X

задана функция

у =

/ (х). Множество X

назы

вается областью ее определения (или

областью задания),

мно

жество

У — областью

ее изменения.

Элемент х Ç X

называется

аргументом, или независимой переменной, а элемент у — образом элемента х.

Функцию в смысле определения 2 называют также оператором (определенным на множестве X), преобразованием, или отображе нием (множества X на множество У). Если X и У — числовые множества, то чаще пользуются термином «функция». Оператор, отображающий множество X на числовое множество У, называется

функционалом.

8. Элементарные функции. Перечислим некоторые классы функций, получивших название элементарных.

1. Целая рациональная функция, или многочлен:

У = ай + арх + агх2+

апх п,

где а0, аи . . ., ап — числа, называемые коэффициентами; п — натуральное число, называемое степенью многочлена. Эта функция определена при всех значениях х.

П р и м е р		1.	у = ах + Ь — линейная функция.				Ее график есть пря
мая линия. При b =			0 линейная функция у = кх выражает пропорциональ
				ную	зависимость		у от х- в этом случае
				ее график		проходит		через начало ко
				ординат.
				П р и м е р 2. у = ах2 + Ъх + с —
				квадратичная функция. Ее график есть
			У=£ (а>0)	парабола, ось симметрии которой парал
				лельна оси ординат (см. п. 66).
				2.		Дробная рациональная функ
			1	ция	определяется			как отношение
				двух многочленов:
				У-		а0^-а1х + .		. . -f- апхп
						Ъо"Ь Ьрс —. . . —J—Ьтхт

				Эта функция определена при всех
				значениях х, кроме тех, при кото
				рых	знаменатель			обращается в
	Рис. 4.			нуль. Дробной рациональной функ
ция у =	а]х,			цией	является,		например, функ
		выражающая обратную пропорциональную зависи
мость между х я у; ее график есть гипербола (см. пп. 66 и 82), изобра
женная на рис. 4.				у — af, где а — вещественное					число.
3.	Степенная функция
При целом а		получается рациональная				функция. При а =			1/п,

где п — натуральное число, у = j^x. Степенная функция в веще ственной области определена при всех х > 0 , а также при х < 0 , если а рационально, несократимо и с нечетным знаменателем. При а is 0 степенная функция определена в точке х = 0.

Примеры степенных функций: 1) у = У х при х йэ 0, 2) у = = 1/ж при хф=0,Ъ)у = угх при любых вещественных х.

4.Показательная функция у = ах, где а — положительное число, не равное единице. Эта функция определена на всей веще ственной оси. Ее график изображен на рис. 5.

5.Логарифмическая функция у = loga х, где положительное число а не равно единице. Эта функция определена при х^> 0. Ее график изображен на рис. 6.

6.Тригонометрические функции у = sin х и у = cos х опреде


лены при всех вещественных значениях х;			у	=	tg х	не	определена
только		в	точках,			где cos х — 0;
у = ctg X			не определена						только
в точках,			где sin х = 0. Заметим,
что в	тригонометрических								функ
циях	переменная					х	выражается
в радианах				(если		не	оговорено
противное).						тригонометриче
7.		Обратные
ские	функции:				а)	у =		arcsin х.
Здесь	у	есть переменная						из про
межутка			—я/2 sç у				тс/2,		синус

Рис. 8.

которой равен

х,

т. е. х =

sin у.

Областью определения функции

служит промежуток —1 ^

х sg 1.

График этой функции изобра

жен на рис. 7 сплошной линией.

переменная,

косинус

которой

б)

Функция

у = arccos х есть

равен X, т. е. х

cos х, причем | Æ | ^

и 0 ^

ÿ ^

л .

в)

Функция у

= arctg х есть переменная, тангенс которой ра

вен X,

т. е. X =

tg у, причем \х \

< о о и

\ у\

< я /2 (рис. 8).

г)

у — arcctg X означает, что

= ctg у,

где

| х\

< оо и 0

< у < я.

ф у н к ц и я .

Пусть

даны

две функции: у =

С л о ж н а я

= / (х), определенная в промежутке а

<Cb, я х

= (р (t), опре

деленная в промежутке а < t <

ß. Предположим, что при изме

нении t в промежутке (а, ß) переменная х =

qp (t) принимает зна

чения

в промежутке (а, Ь), т. е.

если

t Ç (а, ß),

то х

£ (а,

Ь).

Наше

предположение можно сформулировать

короче:

область


изменения функции х			= tp (t)		принадлежит		области определения
функции у = / (х).			каждому t из (а, ß) естественным образом
При этом	условии
соответствует такое у,			что у =		/ (х),	где х =	ф (t).	Эта функция,
определяемая	соответствием				у — / (ф (t)),		называется		сложной
функцией, или суперпозицией функций / (х) и ф (t).
П р и м е р	1.	Если у =		sin ж в промежутке 1 < ж << 5, a					i = l	\| t%
в промежутке 0 <; t <J 2,			то	у = sin (1 +		г2) есть	сложная функция			неза
висимой переменной		t, определенная в промежутке 0 <1 t						< і 2.	\| г \| <( + о о )
П р и м е р	2.	Если	у =	2 lg ж при		ж ï> О и ж = 10f		при
то сложная функция у =			2 lg 10* или у =			2( определена при \| 11<! + °° -
Последний пример показывает, что термин «сложная функция»
относится не к существу функции, а к способу ее задания.
О п р е д е л е н и е			3.	Все функции, которые получаются из
указанных элементарных функций с помощью четырех									арифмети

ческих действий и операции функции от функции, примененных конечное число раз, тоже называются элементарными функциями. Например, у = sin3 х, у = loga (1 + х 2) — функции элемен тарные.

9. Алгебраические функции. Алгебраической функцией назы вается функция, которая может быть задана с помощью суперпози ций конечного числа рациональных функций и степенных функ

ций с рациональными показателями и четырех	арифметических
действий. Например, у = хг + 1 и у=]/Гх-\- У х	суть алгебраи

ческие функции.

Алгебраическая функция, в состав аналитического выражения которой входит степенная функция с нецелым показателем и кото рая не является рациональной функцией, называется иррацио

нальной функцией. Пример иррациональной функции: у = У х. К числу алгебраических функций относятся рациональные функции (как целые, так и дробные) и иррациональные функции. Всякая неалгебраическая функция называется трансцендент ной функцией. Например, трансцендентными являются логариф

мическая, показательная и тригонометрическая функции.

§2. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ

10.Бесконечно малая функция. Рассмотрим прежде всего следующие примеры функций:

у= х — а, у = (х — a)2, y = sin(cc —а)

при значениях х, близких к а (рис. 9). Графики этих функций либо пересекают ось абсцисс, либо касаются ее в точке а. В случае у = (х — а)2 график расположен в области положительных орди нат и только в точке а касается оси абсцисс. В других случаях графики пересекают ось абсцисс и ординаты принимают значения разных знаков по обе стороны точки а.

Что можно сказать о значениях функции (не о графике) в этих случаях? Ответ: значения функции сколь угодно малы по абсолют ной величие, если соответствующие значения аргумента доста точно близки к а.

Отвлекаясь от примеров, мы приходим к следующей предвари тельной формулировке понятия бесконечно малой функции. Функ ция а (X) называется бесконечно малой при стремлении х к а,

если ее значения сколь угодно малы по абсолютной величине при всех значениях х, достаточно близких к а.

В дальнейшем мы часто будем пользоваться такими оборотами речи: «значения функции сколь угодно малы по абсолютной вели

чине»,		«переменная х принимает						значения, достаточно	близкие
к а». Выясним их точный смысл.
	Часть фразы «значения функ
ции а (X) сколь					угодно	малы
по	абсолютной			величине»			бу
дем понимать в том смысле,
что	неравенство
		а (х) I < 8					( 1)
выполняется			для		к а ж д о г о
наперед заданного положитель
ного числа е, как бы мало оно
ни	было.
	Часть фразы «значения аргу
мента		достаточно			близки	к	а»			а»
или «значения				аргумента		достаточно мало отличаются от числа
следует		понимать			в том смысле,			что неравенство
						\х — o j < ô				(2)
выполняется			для		н е к о т о р о г о положительного				числа	ô

(т. е. для достаточно малого б). Число б является достаточно ма лым, если для всех значений х из промежутка (2) выполняется


условие (1)	при заданном е.
О п р е д е л е н и е		1. Пусть функция а (х) определена в не
которой окрестности X		точки	а, за исключением, может быть,
самой точки	а. Функция а (х) называется б е с к о н е ч н о м а
л о й п р и	с т р е м л е н и и		х к а, если для каждого положи