Файл: Основы автоматического управления..pdf

490 г л . 13. СТА ТИ СТИ ЧЕСКА Я Т Е О Р И Я О П ТИ М А Л ЬН Ы Х СИСТЕМ

ные методы. В § 13.3 будут даны примеры нахождения оптималь­ ных значений параметров системы, имеющей заданную структуру.

Во второй постановке задачи система считается полностью неиз­ вестной и требуется определить ее характеристики (в общем слу­ чае — оператор) так, чтобы она была оптимальной с точки зрения принятого критерия качества. Идеальным решением задачи в такой постановке, на первый взгляд, является определение структуры оптимальной системы и всех ее параметров. Однако пока еще не су­ ществует теории, способной дать решение в такой форме. Да и вряд ли такое решение удовлетворило бы конструкторов. При проекти­ ровании системы необходимо учитывать не только точность, но и многие другие факторы. Проектируемая система должна удов­ летворять многим, подчас противоречивым требованиям. Требова­ ние близости к оптимуму по точности является, конечно, одним из важнейших, но далеко не единственным. Не менее важными являются требования надежности и простоты обслуживания систе­ мы. Поэтому проектирование любой системы обычно представляет собой ряд компромиссных решений с целью наилучшим образом удовлетворить всем предъявляемым к системе требованиям. Поэто­ му определение структуры и параметров системы, оптимальных с точки зрения какого-нибудь одного критерия, например критерия точности, обычно не дает существенной помощи конструктору. Гораздо важнее дать конструктору метод, с помощью которого он может, оставаясь в пределах достаточной близости к оптимальному решению с точки зрения точности, иметь достаточно свободы для того, чтобы разумным образом удовлетворить и всем остальным требованиям. Теория оптимальных систем дает методы определения операторов оптимальных систем и соответствующих экстремаль­ ных значений принятого критерия качества. Иными словами, она позволяет находить предельные потенциальные качества систем данного назначения для данных условий работы. Сравнивая рас­ сматриваемые при проектировании варианты системы с теорети­ ческой оптимальной системой, конструктор может судить о том, насколько эти варианты близки к оптимуму с точки зрения точ­ ности.

В большинстве практических задач возможны значительные отступления от оптимальных характеристик без существенного ухудшения системы с точки зрения принятого критерия качества (точности). Это характерное свойство задач теории оптимальных систем является весьма положительным фактором, так как позво­ ляет конструктору после определения предельной, потенциальной точности проектируемой системы в широких пределах варьировать ее структуру и параметры без существенного отклонения от опти­ мальной точности и тем самым удовлетворять многим другим тре­ бованиям, предъявляемым к проектируемой системе, в частности требованиям простоты и надежности.

Для уяснения характера задач теории оптимальных систем рас­ смотрим в качестве примера задачу проектирования оптимальной следящей системы, предназначенной для воспроизведения некото­ рой переменной величины. Всякая следящая система предназна­ чена для работы в различных условиях, для воспроизведения раз­ личных по характеру сигналов. Так, например, следящая система радиолокатора, предназначенная для измерения координат летя­ щих самолетов, должна следить за самолетами, летящими с раз­

производить следящая система, как случайную функцию времени, а различные конкретные виды этого сигнала — как возможные реализации этой случайной функции. Кроме полезного сигнала, на входе следящей системы всегда действует помеха. И даже при отсутствии внешней помехи в аппаратуре следящей системы возникают внутренние шумы, которые являются случайными функ­ циями времени. Таким образом, следящая система, которую необ­ ходимо спроектировать, получает на входе сумму полезного спгнала S (t) и помехи или шума N (t) (рис. 13.1.1). На выходе следя­ щая система должна с максимальной точностью воспроизвести сигнал S (t) Решить эту задачу абсолютно точно принципиально невозможно. Объясняется это тем, что действующие на входе сис­ темы шумы п помехи, накладывающиеся на полезный сигнал, при любой конструкции системы вызывают непрерывные случайные колебания — флуктуации — выходного сигнала. Вследствие этого выходной сигнал системы ни при каких условиях нельзя сделать точно равным требуемому сигналу. Действительный выходной сигнал системы будет некоторой случайной функцией W* (t), не совпадающей с подлежащим воспроизведению полезным сигна­ лом S (і). Разность

представляет собой ошибку следящей системы. При проектирова­ нии следящей системы возникает задача обеспечения в известном смысле минимальной ошибки при всех возможных условиях рабо­ ты системы.

Задача нахождения оптимальной следящей системы является далеко не единственной задачей такого рода. Так, например, часто требуется спроектировать экстраполирующую систему, у которой требуемым значением выходной переменной в каждый данный момент времени t является значение полезного сигнала S (t + Д)

В общей теории линейных систем (глава 2) мы видели, что идеаль­ ный экстраполятор построить принципиально невозможно, даже в условиях полного отсутствия шумов и помех, так как он является физически невозможной системой. Поэтому возникает задача нахождения такой системы, для которой ошибка экстраполяции имеет минимальное значение.

В качестве третьего примера рассмотрим задачу проектиро­ вания дифференцирующего устройства, представляющего собой систему, требуемым выходным сигналом которой в каждый дан­ ный момент t является значение производной S' (t) полезного сиг­ нала. Ошибка дифференциатора определяется формулой

Как и в предыдущих рассмотренных примерах, построить идеаль­ ную систему оказывается невозможным, и возникает задача нахож­ дения такой системы, для которой ошибка имеет минимальное воз­ можное значение.

Все рассмотренные задачи являются частными случаями задачи проектирования системы, предназначенной для выполнения какойто заданной операции L над полезным сигналом S (I), содержащим­ ся во входном сигнале системы. Во втором из рассмотренных примеров эта операция представляет собой сдвиг во времени (т. е. экстраполяцию) на величину А. В третьем примере операция L пред­ ставляет собой дифференцирование. Таким образом, в общем слу­ чае требуемым выходным сигналом проектируемой системы явля­ ется результат выполнения некоторой операции L над полезным сигналом:

Оптимальной системой, предназначенной для выполнения опера­ ции L над входным сигналом, будет такая система, ошибка кото­ рой имеет минимальное (в известном смысле) значение.

Перейдем теперь к общей постановке основной задачи теории оптимальных систем. Обозначим через Z (t) входную функцию системы. В общем случае безразлично, каким образом она состав­ лена из полезного сигнала и помехи. Обычно входная функция представляет собой сумму полезного сигнала S (t) и помехи N (t):

В общем случае безразлично, как он связан с полезным сигналом. Обычно он представляет собой результат заданного преобразова­ ния полезного сигнала и выражается формулой (13.1.4), где L — заданный оператор. Действительным выходным сигналом системы является некоторая случайная функция W* (t), которая представ­ ляет собой результат преобразования данной системой входной

Принципиальное отличие действительного выходного сигнала ■системы W* (t) от требуемого W (t) состоит в том, что действитель­ ный выходной сигнал W* (t) всегда представляет собой результат преобразования полной входной функции Z (t), состоящей из по­ лезного сигнала и помехи, в то время как требуемый выходной сигнал W (t) является результатом преобразования одного полез­ ного сигнала. Иными словами, в отличие от требуемой выходной переменной системы, действительная выходная переменная всегда содержит помеху, от которой принципиально невозможно полно­ стью избавиться.

На основании изложенного основная задача теории оптималь­ ных систем заключается в нахождении такой системы, которая, получая на входе случайную функцию Z (t), воспроизводит на вы­ ходе с максимальной возможной точностью другую случайную функцию W (£)• Математически эта задача сводится к нахождению оптимального оператора системы А, обеспечивающего наилучшую точность системы, т. е. наилучшее воспроизведение требуемого выходного сигнала W (і).

Сформулированная основная задача теории оптимальных сис­ тем относится к классу задач, рассматриваемых в математической статистике. Вследствие этого вполне естественной тенденцией является максимальное пспользование достижений современной математической статистики для решения задач теории оптималь­ ных систем.

Действительный выходной сигнал системы W* (t) в соответ­ ствии с принятой в статистике терминологией представляет собой оценку требуемого выходного сигнала W (t). Задачей оптимальной системы является автоматическая выработка оптимальной оценки требуемого выходного сигнала по данной входной функции. Основ­ ная задача теории оптимальных систем, поставленная выше, может рассматриваться как задача нахождения оптимального преобра­ зования входной функции, дающего в результате оптимальную оценку требуемого выходного сигнала. Таким образом, по самому своему существу теория оптимальных систем не дает возможности находить оптимальные системы в том смысле, в каком это интере­ сует конструктора, т. е. находить структуру и параметры оптималь­

494 г л . 13. СТА ТИ СТИ ЧЕСКА Я Т Е О РИ Я О П ТИ М А Л ЬН Ы Х СИСТЕМ

ных систем, а определяет лишь математические операции, которые должна производить оптимальная система над входной функцией. Вследствие этого теория оптимальных систем по существу не явля­ ется теорией статистического синтеза автоматических систем, хотя ее часто и называют так.

Поставленная основная задача теории оптимальных систем остается неопределенной до тех пор, пока не будет установлено, что значит требование минимальности ошибки системы, т. е. пока не будет выбран критерий качества, экстремальное значение кото­ рого должно достигаться для оптимальной системы. Вопрос этот не может быть решен в рамках самой теории оптимальных систем. При решении его нужно руководствоваться прежде всего харак­ тером задач, которые должна решать искомая оптимальная систе­ ма, и соображениями о том, какие величины могут служить мерой успешности решения этих задач. При этом легко убедиться в том, что не существует единственного универсального критерия каче­ ства для всех систем и что для оценки качества (точности) систем различного назначения целесообразно пользоваться различными критериями.

П р и м е р 13.1.1. Рассмотрим задачу проектирования оптимального корректирующего устройства для стационарной линейной следящей системы, исполнительное устройство ко­

должна вырабатывать наилучшую оценку полезного сигнала S (<) — BKN 2 (t), получая на входе случайную функцию S (t) -f N, (t) — B„N2 (t). Определив передаточную функцию оптимальной замкнутой системы и зная передаточную функцию исполнительного устройства, мы можем по формулам § 4.6 найти оптимальную передаточную функцию корректирующего устройства. Таким образом, задача проектирования оптимального корректирующего устройства сводится к сформулированной основной задаче теории оптимальных систем