ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 09.04.2024
Просмотров: 385
Скачиваний: 15
500 ГЛ . 13. СТА ТИ СТИ ЧЕСКА Я Т Е О Р И Я О П ТИ М А Л ЬН Ы Х СИСТЕМ
обнаружения сигналов дополнительное условие (13.2.5) может быть представлено в форме (13.2.18), если принять
ф 1(РУ, \Ѵ*) = |
при |
|
и при ТУ = 0, Ж *^с, |
(13.2.21) |
|
при |
W = 0, |
W * > c . |
|||
|
|
Таким образом, практически все статистические критерии явля ются частными случаями критерия минимума среднего риска, соот ветствующими различным способам выбора функции потерь. При этом функция потерь полностью определена и известна зара нее, если требуется обеспечить безусловный минимум среднего риска, и зависит от неопределенных параметров, если требуется обеспечить условный минимум среднего риска при некоторых дополнительных условиях.
Критерии минимума среднего риска, соответствующие всем возможным определенным функциям потерь, которые могут содер жать неопределенные параметры, обычно называются бейесовыми критериями по имени английского ученого Бейеса (Bayes). Таким образом, все рассмотренные выше критерии являются бейесовыми. Решение задачи определения оптимальной оценки сигнала по бейесову критерию называется бейесовым решением.
К сожалению, вопрос о выборе критерия оптимума, который, очевидно, сводится к выбору функции потерь Z, не всегда может быть практически решен на основе анализа назначения и условий работы проектируемой системы. Решение этого вопроса в значи тельной мере определяется имеющимися в нашем распоряжении данными о вероятностных характеристиках входного и требуемого выходного сигналов. Очевидно, что для определения оптимальной системы по критерию (13.2.6) при произвольной функции потерь необходимо полное знание закона распределения входного и тре буемого выходного сигналов. Только для некоторых частных видов функции потерь задача определения оптимальной системы может быть решена на основе неполного знания закона распределения случайных функций Z и W. Так, например, как мы увидим в §§ 13.5—13.7, для определения оптимальной линейной системы по критерию минимума средней квадратической ошибки достаточ но знать математические ожидания случайных функций Z, W, кор реляционную функцию случайной функции Z и взаимную корреля ционную функцию случайных функций W, Z. С другой стороны, если известны только математические ожидания и корреляцион ные функции случайных функций Z, W и нет никаких других данных об их законе распределения, то нет никакого смысла искать оптимальную систему среди нелинейных систем. Действи тельно, при данных математических ожиданиях и корреляцион ных функциях случайные функции Z и W могут иметь самые разно образные законы распределения и, в частности, могут быть распре
§ 13.2. СТА ТИ СТИ ЧЕС КИ Е К Р И Т Е Р И И ОПТИМ АЛЬНОСТИ |
501 |
делены нормально. А при нормальном распределении случайных функций Z и W, как мы увидим в § 15.3, оптимальной системой среди всех возможных систем по отношению к любому критерию вида (13.2.6), соответствующему функции потерь I, представляю щей собой функцию модуля ошибки, является некоторая линейная система. А так как нормальный закон распределения вследствие его широкого распространения во многих случаях может считаться наиболее вероятным, то оптимальная линейная система будет наи более вероятной оптимальной системой в классе всех возможных систем. Вследствие этого часто приходится ограничиваться опре делением оптимальной линейной системы по критерию минимума средней квадратической ошибки. При нормальном законе распре деления сигнала и помех эта система оказывается оптимальной и с точки зрения многих других критериев.
Если известен только условный закон распределения входного сигнала Z относительно требуемого выходного сигнала W , а закон распределения сигнала W неизвестен, то оптимальную систему можно искать по критерию минимума максимального возможного значения условного риска р (А | W ):
шах р (А ! W ) = min, |
(13.2.22) |
w |
|
т. е. наибольшего из значений условного риска, соответствующих всем возможным реализациям сигнала W. Этот критерий, называе,- мый обычно минимаксным, обеспечивает наилучшую работу систе мы в наихудших возможных условиях. Вследствие этого он осог бенно подходит для расчета систем, работающих в условиях орга низованного противодействия, которое осуществляется путем выбора реализации сигнала, обеспечивающего нанхудгаую точность решения задачи. В случае, когда закон распределения требуемого выходного сигнала неизвестен или даже вообще не существует-, минимаксный критерий часто оказывается целесообразным потому,, что в этом случае неизвестно, насколько часто могут встречаться реализации требуемого выходного сигнала, при которых точность системы близка к наихудшей, а минимаксный критерий обеспе чивает наименьшую возможную потерю точности именно для таких сигналов.
В некоторых случаях, когда система управления должна рабо тать в условиях организованного противодействия, т. е. когда имеется противник, стремящийся дезорганизовать, нарушить работу системы управления, требуемый выходной сигнал W (£) зависит от некоторых параметров, которыми противник может рас: поряжаться. Его задача состоит в таком выборе значений этих параметров, чтобы нанести по возможности больший ущерб работе системы управления, воспрепятствовать решению поставленных перед системой управления задач. Задачей системы управления в таких случаях является организовать управление так, чтобы
