Файл: Основы автоматического управления..pdf

Так как суммирование по п в (12.2.9) производится по всем поло­ жительным и отрицательным значениям п, то индекс п можно заме­ нить на —п. Тогда, подставляя выражение (12.2.11) в формулу

(12.2.9), получим

Эта формула показывает, что любая функция с ограниченным спек­ тром ширины 2Q полностью определяется своими значениями в ди­ скретном ряде точек, отделенных одна от другой интервалом време­ ни 1/2Q. Это положение было впервые доказано В. А. Котельнико­ вым в 1933 г. [32, 33] и поэтому называется в нашей литературе теоремой Котельникова. В иностранной литературе это положение обычно называется теоремой отсчетов и связывается с именем осно­ воположника теории информации американского ученого К. Шен­ нона *).

Формула (12.2.14) показывает, что если сигнал имеет спектр, ограниченный полосой частот 2Q, то его значения необходимо пере­ давать через интервалы времени At = 1/2Q. Иными словами, необ­ ходимо передавать т = 1/Д£ = 2Q значений сигнала в секунду, т. е. передавать сигнал с частотой т = 2Q.

*) Многие частные вопросы, связанные с передачей информации по каналам связи, в частности статистическая природа информации, были ясны некоторым ученым и до Шеннона. Однако лишь Шеннону в 1948 г. удалось отчетливо определить основные понятия теории информации и выве­ сти основные ее законы [75].

После замены непрерывного сигнала дискретным количество информации, содержащееся в непрерывном сигнале, может быть вычислено так же, как и для дискретного сигнала.

П р и м е р 12.2.1. Замкнутая система наведения самонаводящегося снаряда имеет полосу пропускания Q = 2 Гц. Для улучшения помехозащи­ щенности системы решено применить дискретную систему измерения ошибки наведения, дающую ошибку в восьмых долях максимального значения ошибки (т. е. с семнадцатью уровнями ошибки). С каким периодом повторе­ ния Тп должна работать система измерения ошибки наведения и какое коли­ чество информации в секунду она должна передавать в блок формирования сигнала управления?

Спектр процесса изменения координат центра массы снаряда, а следо­ вательно и процесса изменения ошибки наведения, ограничен полосой про­ пускания замкнутой системы наведения Й. Следовательно, согласно форму­ ле (12.2.14), система должна измерять ошибку паведения'снаряда с периодом повторения Тп = 1/2Й = 1/4 с. Считая значения ошибки наведения, отде­ ленные интервалом времени 1/4 с, практически независимыми и все семнад­

І=1

Скорость передачи информации в блок формирования команд должна быть равна

§ 12.3, Статистические свойства сигналов

Изучим подробнее статистические свойства сигналов, связан­ ные с количеством информации, передаваемым по каналам связи. Предположим, что передаваемый сигнал является стационарной эргодической случайной последовательностью знаков, причем каждый знак представляет собой случайную величину с возмож­ ными значениями xt, . . ., хп. Кроме того, будем считать последо­ вательность знаков сигнала цепью Маркова, в которой условный закон распределения каждого знака зависит только от значений I непосредственно предшествующих знаков. В этом случае коли­ чество информации, приходящееся в среднем на один знак после­ довательности, определяется формулой (12.2.5).

Оценим вероятность Q типичной реализации сигнала, в которой первые I знаков принимают значения X j , . . ., х/г, а переход от

значений з:^, . . ., х і[ предшествующих знаков к значению х}

Логарифмируя формулу (12.3.1) и принимая во внимание (12.3.3), можем написать

І, 3=1

При достаточно большом N последнее слагаемое в (12.3.6) на осно­ вании (12.3.4) будет сколь угодно мало с вероятностью, сколь угодно близкой к единице *). Поэтому для любых ц > 0 и 6 > 0 имеем

*) Ни одно из 5 у в (12.3.1) и (12.3.6) не может быть равно нулю, так как в этом случае Q = 0 и соответствующая реализация последовательности знаков не мвжет быть типичной.