Файл: Основы автоматического управления..pdf

В качестве характеристик точности оценок (11.4.1) можно принята их относительные средние квадратические отклонения:

При необходимости оценить абсолютные средние квадратические отклонения оценок т% (t) и .Dy (£) следует заменить в формулах (11.4.3) неизвестную величину Dy (t) ее оценкой Dy (t).

Для более полной оценки точности полученных результатов можно вычислить доверительные вероятности для заданных гра­ ниц оценок т% (t) и D£ (t), т. е. вероятности различных отклонений оценок от соответствующих вероятностных характеристик. Имея в виду, что при достаточно большом числе опытов п законы рас­ пределения оценок ml (t) и (t) близки к нормальному, на осно­ вании известных формул теории вероятностей получаем (см. [54], § 2.5)

► (11.4.5)

a2 = P(\D*y(t)-Dy (t)\< e 2) = 2 0 ( ^ - ) .

Здесь ei и е2 — отклонения оценок т%(t) и D% (t) от истинных значений, оц и а 2 — соответствующие доверительные вероятности.

..(Подставляя в (11.4.5) выражения (11.4.3) средних квадрати­ ческих отклонений оценок, получим

“' =2ф(дД0К"Ь “’ =2ф( т р г / т ) ’ (“ -«-б)

В таблицах 11.4.1 и 11.4.2 приведены зависимости требуемого числа испытаний п от заданных доверительных вероятностей а1 и а 2 и относительных отклонений ѵі и ѵ2.

Относительные отклонения ѵ4 и ѵ2 определяют точность полу­ ченных результатов, а доверительные вероятности и а 2 — их надежность.

Из таблиц видно, что с ростом требований к точности и надеж­ ности результатов необходимое число испытаний резко возрастает. При этом повышение требований к надежности ведет к менее

быстрому росту необходимого числа испытаний, чем повышение требований к точности. Поэтому метод статистических испытаний может быть практически использован только в тех случаях, когда требуется получить точность решения порядка 15 -г- 20% . И лишь в единичных случаях, когда требуется получить высокую точность, можно применять этот метод при очень большом числе п.

ТАБЛИЦА 11.4.1

Требуемое число испытаний для определения математического ожидания

Следует отметить, что приведенные формулы и таблицы полу­ чены без учета ошибок самой математической машины и, следова­ тельно, справедливы только в том случае, когда ошибки машины малы по сравнению с искомыми ошибками системы. В случае,

470 Г Л . 11. И СС ЛЕДО ВА Н И Е ТОЧН О СТИ Н Е Л И Н Е Й Н Ы Х СИСТЕМ

если ошибки машины соизмеримы с ошибками исследуемой систе­ мы, для получения надежного результата требуется очень большое число испытаний и применение метода становится нецелесооб­ разным.

Низкая точность результатов является первым недостатком метода статистических испытаний. Вторым его недостатком являет­ ся необходимость генератора случайных функций, имеющих заданные вероятностные характеристики. Создание такого гене­ ратора возможно далеко не для всех случайных функций. Практи­ чески просто создать генератор стационарной случайной функции, спектральная плотность которой постоянна в некотором диапазоне частот, т. е. случайной функции, которую можно приближенно считать белым шумом. Тогда для формирования случайной функ­ ции с заданной корреляционной функцией необходимо иметь устройство, преобразующее белый шум в требуемую случайную функцию,— формирующий фильтр. В § 7.6 мы видели, что для некоторых часто встречающихся случайных функций формирую­ щие фильтры просты и могут быть легко реализованы. В более сложных случаях для формирования случайной функции с задан­ ной корреляционной функцией можно использовать моделирующие устройства в соединении с генератором белого шума. Таким спосо­ бом можно получить нестационарные случайные функции с разно­ образными характеристиками. Для этого достаточно подать выра­ батываемый генератором белый шум на вход модели, описываемой линейным дифференциальным уравнением с переменными коэффи­ циентами. Еще большее многообразие случайных функций можно получить, если использовать модели, описываемые нелинейными дифференциальными уравнениями.

Для образования случайных функций в цифровых машинах необходимо генерировать последовательности случайных чисел. Преобразуя такую последовательность в машине по соответствую­ щей программе, можно получить случайную последовательность с произвольно заданными вероятностными характеристиками. В некоторых задачах оказывается возможным пользоваться вместо случайных чисел последовательностями так называемых псевдо­ случайных чисел (подробнее об этом см. [9]).

Трудность формирования случайных функций в математических машинах и трудоемкость исследований ограничивают примени­ мость метода статистических испытаний.

§ 12.1. Основные задачи теории информации. Каналы связи

Рассматривая в § 1.1 общие задачи управления, мы видели, что для организации процесса управления необходима информация о целях управления, о результатах управления и о всей обстанов­ ке, в которой происходит процесс управления. Эта информация передается от одного элемента системы управления к другому. Естественно, что вопросы, связанные с передачей информации, например вопросы объема передаваемой информации, скорости передачи информации, времени, необходимого для передачи задан­ ного объема информации, имеют первостепенное значение для теории управления, особенно для сложных систем, предназначен­ ных для управления большим количеством объектов и процессов.

Из теории вероятностей известно, что информация есть одна из форм проявления зависимости между разными явлениями. Образно выражаясь, можно сказать, что информация есть след, оставляемый одним явлением на другом. Благодаря этому следу можно по результатам наблюдения одного явления определить некоторые черты другого явления. Эти обстоятельства и лежат в основе всех устройств для передачи информации *). Используя различные физические явления, человек оставляет на них определенные следы в виде сигналов, несущих информацию. Наблюдая эти явления, другие люди или автоматические устройства изучают содержащие­ ся в данном явлении сигналы и таким образом выделяют пере­ даваемую информацию.

Совокупность устройств, с помощью которых некоторое физи­ ческое явление используется для передачи информации, назы­ вается каналом связи (передачи информации) или, короче, просто

каналом. Таким образом, общее понятие канала включает любые физические явления, которые могут быть носителями информации, например: ток, текущий по проводам, радиоволны, световые сигна­ лы, звуковые сигналы и т. п.

*) Если явления независимы, то течение каждого из них не зависит от того, как протекает другое явление; одно из них не оставляет следа на другом. В этом случае ни одно из этих явлений не содержит никакой инфор­ мации о другом. Поэтому для передачи информации можно пользоваться

только зависимыми явлениями.