Файл: Моиз Э.Э. Геометрия.pdf

Это только другой способ выражения того факта, что плоско­ сти являются «широкими» (а не «узенькими»), или «одномерными» как прямая, а пространство не является «плоским».

Наконец, заметим, что в аксиоме прямой содержится некото­ рая информация о том, как пересекают друг друга различные прямые.

Теорема 3.1

Если две (различные) прямые пересекаются, то их пересечение

говорить о двух точках, или о двух прямых, или о двух плоскостях, мы будем подразумевать, что эти точки, прямые или плоскости различны . Иными сло­ вами, говоря о двух объектах, мы всегда будем подразумевать, что имеются именно два отдельных объекта, а не один объект; в соответствии с этим в фор­ мулировке аксиом 1 и 4 мы далее будем опускать прилагательное «различные». (Но если мы просто говорим, что Р и Q — точки, то мы не исключаем и ту воз­ можность, что P = Q . )

Задачи к § 2

1, Выясните, посмотрев на этот рисунок, изображающий некоторую простран­ ственную фигуру, являются ли точки следующих множеств 1°. коллинеарными; 2°. не коллинеарными, но компланарными;

Р3°. не компланарными:

66

§ 3. ПРЯМЫЕ И ПЛОСКОСТИ; ЧЕРТЕЖИ (ОКОНЧАНИЕ)

Следующая аксиома выражает тот факт, что плоскости не иск­ ривляются.

Аксиома 6

Если две точки какой-либо прямой принадлежат некоторой плоскости, то и вся эта прямая принадлежит той же плоскости.

Следующая теорема описывает, каким образом прямые и плос­ кости пересекаются друг с другом.

Теорема 3.2

Если какая-либо прямая пересекает не содержащую ее плос­ кость, то их пересечение содержит только одну точку.

(Позднее мы увидим, что теорема 3.2 не доставляет нам новой информации; она следует из аксиомы 6 точно так же, как теорема

рисовываем стрелки, указывающие, что прямая на этом не конча­

дит как параллелограмм. Подобным же образом окружность, рас­ сматриваемая в перспективе, выглядит как эллипс, изображенный на нижнем рисунке слева. Если бы наши глаза находились в плос­

Аксиома 4 утверждала, что прямую определяют две ее точки. Для определения плоскости требуются три неколлинеарные точки;

Аксиома 7 (аксиома плоскости)

Любые три точки принадлежат по крайней мере одной плос­ кости; любые три неколлинеарные точки принадлежат только одной плоскости.

Другими словами: любые три точки компланарны, и если они при этом неколлинеарны, то эти точки о д н о з н а ч н о определяют проходящую через них плоскость.

Теорема 3.3

Если даны прямая и не при­ надлежащая ей точка, то сущест­ вует одна и только одна плоско­ сть, содержащая эту прямую и эту точку.

и только одна плоскость, содер­ жащая обе эти прямые.

В заключение сформулируем следующую аксиому

Аксиома 8 (аксиома пересечения плоскостей)

Если две плоскости пересекаются, то их пересечение есть пря­ мая.

Может показаться, что мы собираемся продолжать и дальше выписывать бесконечную серию аксиом, выражающих наши осно­ ванные на здравом смысле представления о пространстве. Однако оказывается, что в этом нет необходимости. В этой книге мы будем изучать геометрию пространства на базе всего лишь двад­

68

цати четырех основных утверждений. Все остальные можно из них вывести, если знать, как это делать. Вы будете здесь этому учиться.

Двадцать четыре не следует считать «большим» числом. В дей­ ствительности оно столь мало, что делает геометрию совершенно не похожей на такие науки, как, например, биология. Всю био­ логию или даже любую содержательную ее часть невозможно бази­ ровать на двадцати четырех фактах, обнаруженных с помощью наблюдений. Чтобы получить тысячи других фактов, которые нам необходимо знать, нам пришлось бы продолжать экспериментиро­ вать, исследуя в лаборатории те или иные растения или живот­ ные. Лаборатория же геометра —это его голова, в которой выс­ траиваются логические цепи, исходным пунктом для которых слу­ жит очень небольшое число основных фактов.

Задачи к § 3

1. Сколько плоскостей могут содержать одну данную точку? две данные точки?

три данные точки?

2. Стол с четырьмя ножками, стоящий на ровном полу, иногда качается,

а стол с тремя ножками всегда стоит устойчиво. Объясните причину этого.

3.Какую аксиому иллюстрирует этот ри­ сунок?

4. Дополните следующее утверждение:

две различные прямые могут пересе­

каться лишь в . . . . а две различные

плоскости могут пересекаться лишь

по . . . .

5. Плоскость Е содержит точки R и Т.

Что можно сказать о прямой R T ? К а­

кие аксиомы или теоремы подкрепляют ваш ответ? Сделайте рисунок, ил­ люстрирующий эту задачу.

6. Нарисуйте плоскость Е , изобразив для этого некоторый параллелограмм. Нарисуйте прямолинейный отрезок, лежащий в плоскости Е . Нарисуйте прямолинейный отрезок, пересекающий плоскость Е в единственной точке, и не пересекающийся с первым отрезком.

8.Прямую можно обозначить, указав какие-либо две ее точки. Сколько точек нужно назвать, чтобы получить обозначение плоскости?

69

И . Внимательно изучите этот рисунок, изобра­ жающий некоторое прямоугольное тело, до тех пор, пока не поймете, каким образом он выполнен так, что кажется похожим на про­ странственную фигуру. Затем закройте книгу и сделайте по памяти рисунок, похожий.ша этот. Попрактикуйтесь до тех пор, пока не будете довольны своими результатами.

13+. Ф игура, являющаяся объединением всех отрезков, имеющих своими концами четыре данные не компланарные точки, называется

треугольной пирамидой, или т ет р а э д р о м ѵ .

Рассматриваемые четыре точки называются вершинами тетраэдра.

a) Дайте определения ребра тетраэдра.

B ) Сколько ребер имеет тетраэдр? Перечислите их.

c)Существуют ли у тетраэдра пары непересекающихся ребер?

d)Грань тетраэдра есть треугольная область, определяемая любыми тремя вершинами. Перечислите четыре грани тетраэдра. Существуют ли у него пары непересекающихся граней?

14+, Эта фигура есть четырехугольная пирами­ да с квадратным основанием. (Подразуме­ вается, что ее (квадратное) основание распо­ ложено ближе всего к вам,) Перечислите все плоскости, определяемые вершинами пирами­ ды. (Всего имеется семь таких плоскостей.)

70