ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 09.04.2024
Просмотров: 245
Скачиваний: 0
4.А , В и С —три точки некоторой прямой. Координаты точек А и В соот ветственно равны — 2 и 8. Какую координату имеет точка С, делящая от
|
резок A B пополам? |
|
|
||
5 . |
Точка |
В, |
являющаяся |
серединой отрезка А С , имеет координату |
5. Какие |
|
координаты имеют точки А и С, если дано, что координата точки А больше |
||||
|
координаты |
точки С и что В С = 9? |
|
||
6. Можете |
ли |
вы определить, что такое середина прямой? |
|
||
7. |
а) Пусть точка М делит пополам отрезок PQ. Какую координату |
имеет М, |
|||
|
если координаты точек |
Р и Q соответственно равны 4 и 10? |
|
Ь) Какое слово (или какие слова) нужно вставить в следующее предложение:
Если |
М — середина |
отрезка PQ, то координата точки М равна ... коорди |
|||||||||||
нат точек Р и Q? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
8*~. Почему |
следующее |
предложение |
нельзя |
считать |
определением |
середины |
|||||||
отрезка: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Точка |
В |
называется |
серединой |
отрезка АС, если А В = ВС? |
|
|
|||||||
9 f *. а) В |
каком |
отношении |
находятся три |
различные точки А, В |
и С, |
если |
|||||||
A B |
|
В С = АС? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Ь) Пусть |
А, |
В |
и С — три |
различные точки. Может ли случиться, |
что |
будет |
|||||||
выполняться |
неравенство A |
B |
ВС > АС? |
Если |
нет, то почему? Если да, |
||||||||
то какая связь существует |
между точками |
А, В |
и С? |
|
|
§7. ЗАМЕНА ЕДИНИЦЫ ДЛИНЫ
В§ 4 мы объяснили, что при решении геометрических задач можно выбирать какую угодно единицу длины при условии, что пока мы решаем данную конкретную задачу, мы все время должны сохранять одну и ту же единицу. С другой стороны, в любой момент, как только мы того пожелаем, мы вправе начать все снова, перейдя к другой единице длины.
Допустим, например, что задаваемые аксиомой расстояния, длины измеряются в метрах, так что для любых двух точек Р и Q число PQ есть число метров между Р и Q. Если мы решим, что
удобнее пользоваться |
дециметрами, нам нужно |
будет умножить |
|
все расстояние |
на 10. |
Иными словами, если (PQ)' (произносится |
|
«PQ штрих» или |
«PQ прим») — новое расстояние |
между Р и Q, то |
{PQY = 10PQ.
Новое расстояние ничуть не хуже старого; аксиома масштабной линейки столь же справедлива для новых расстояний, как и для стаоых.
- |
1 - |
- 1- |
- - 1 |
Р |
- I 1- |
Q |
I- - - - - |
- |
- |
- - - 1 - -—1 -I- ■ - |
1—- |
||||||||
|
- 3 - 2 - 1 |
0 x 1 |
2 |
у |
3 |
|
|
||
|
1 |
1 |
1 |
Р |
1 1 р |
|
|
||
|
1---- І-т-Ч---------- |
|
|
||||||
|
- 3 0 |
- 2 0 |
- 10 |
0 X 10 |
20 у 30 |
|
|
На каждой прямой I существует система координат, в которой
PQ = \y —x\.
Все, что нам нужно сделать, чтобы получить систему координат, пригодную для измерения новых расстояний, — это умножить каж
Е6
дую старую координату на 10. Таким образом, на нашем рисунке X' = 10A;, у' = 10р и, следовательно,
I у' - х' : = I 10у - 10х ; = 10 \у - х ; = 10PQ = (PQY,
как и должно было быть.
Фактически мы можем выбрать любые две точки А и В и опре делить «новое» расстояние так, чтобы было {AB)' = 1. Для этого нам нужно только разделить все старые расстояния на AB, т. е. положить
Тогда мы будем иметь
ив)'=4 !=і,
что нам и требовалось. Система |
координат на |
прямой, |
пригодная |
||||||||||||
для измерения новых расстояний (PQ)', получается, если |
мы раз |
||||||||||||||
делим все старые |
координаты на |
AB, |
т. е. |
положим |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
, |
X |
, |
у |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Х = |
А В ’ |
У = |
A B ■ |
|
|
|
|
|
|
Следовательно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
IУ - X |
|
_У |
X |
\у— х\ |
|
PQ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
АВ |
A B |
А В |
~ А В ~ (PQY, |
|
|
|
||||
что нам и требовалось. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Задачи к |
§ |
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
А |
В |
С |
О |
|
Е |
|
F 12 |
|
|
|
|
1. |
Если |
на |
этом рисунке |
А В = 3 и |
Л 0 = |
BC==CD = D E = E F, |
то |
AF = |
15. |
||||||
|
Чему |
будет |
равно |
расстояние |
(A F )', |
если |
за |
новую |
единицу |
принято |
А В |
||||
|
(т. е, |
если |
(Д 0 )' = |
1)? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2. |
Пусть |
в |
задаче 1 |
за новую единицу принято |
АС |
(т. е. (ЛС)' = |
1). Чему |
||||||||
|
тогда |
равно |
расстояние |
(Л £ )'? |
расстояние |
(AF )’? расстояние (Л £і)'? |
|
8.Рассмотрите два выписанных ниже утверждения и для каждого из них от ветьте на следующий вопрос: зависит ли справедливость этого утверждения от специального выбора единицы длины?
а) |
Если |
А, |
В, |
С, |
D, |
Е, F — различные точки некоторой |
прямой, |
такие, |
что |
|
|
|
|
|
|
A B — B C = CD = D E — E F, |
|
|
|
то |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
AC — BD = CE=^DF . |
|
|
|
b) |
Если |
А, |
В, |
С, |
D, |
Е„ F — различные точки некоторой |
прямой, |
такие, |
что |
|
|
|
|
|
|
A B — BC — C D == D E = E F, |
|
|
|
то |
AF делится |
на |
5 |
(т. е. A F ß — целое число). |
|
|
|
57
Какое из этих утверждений выраж ает более «применимый» факт?
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
3 |
J |
1 |
|
1 |
3 |
|
7 |
|
? |
.9 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
20 |
|
Ю |
ТО |
|
ч |
10 |
|
Го |
|
I |
ТО |
1 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
I |
__ I_____ I_____ I__ |
I |
I |
|
I |
|
1 |
1 |
1 |
|
|
|
|||||||
4. |
Система |
координат, |
указанная |
|
на |
этом |
рисунке, |
исходит |
из расстояния, |
||||||||||||||||
|
измеряемого |
в дециметрах. Перерисуйте |
этот |
чертеж в ваш у тетрадь и снизу |
|||||||||||||||||||||
|
от прямой выпишите числа, указывающие координаты для |
расстояний, |
из |
||||||||||||||||||||||
|
меряемых в сантиметрах. Сделайте то же |
для |
расстояний, |
единицей |
кото |
||||||||||||||||||||
|
рых |
служ ат |
5 см; |
|
1м. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
в |
|
м - |
|
|
|
— |
N |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1АВ |
|
2AB |
|
ЗАВ |
|
UAB |
|
5АВ |
6АВ |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
О |
|
|
|
|
1MN |
|
|
2MN |
|
|
|
3MN |
|
UMN |
|
|
|
|||
5. |
На |
этом |
|
рисунке |
на |
прямую нанесены |
две |
шкалы. В |
верхней шкале |
в |
ка |
||||||||||||||
|
честве единицы используется длина отрезка |
A B , |
а в |
нижней — длина |
отрезка |
||||||||||||||||||||
|
M N . Заметим, |
что |
6 А В = 4 M N . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
a) |
Чему |
|
равно отношение A B |
к M N ? |
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
||||||||||
|
b) Чему |
|
равно |
отношение M N |
к AB? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
c) Скольким AB равно 3 M N ? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
d) Скольким |
M N |
равно |
4AB? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
e) Заполните |
таблицу: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 А В = |
.. . M N |
|
1MN = |
. . A B ; |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2А В = .. . M N |
|
2 M N = . . A B ; |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3А В = |
.. . M N |
|
3 M N = |
. . AB; |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4А В = .. . M N |
|
4 M N — . . A B ; |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 АВ = .. . M N |
|
хМ N = . . A B ; |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6А В = |
.. . M N |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
х А В = |
.. . M N |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
6 * . При |
раскопках |
развалин, |
относящихся |
к |
какой-то |
древней цивилизации, |
|||||||||||||||||||
|
группа археологов нашла куски двух старых линеек, на которых были |
||||||||||||||||||||||||
|
нанесены |
известные |
числовые символы, |
но |
единицы |
измерения на |
йтих |
ли |
|||||||||||||||||
|
нейках были различны. Одну из этих шкал |
археологи |
назвали |
«шкалой |
|||||||||||||||||||||
|
зет» по той причине, что на |
этой |
линейке |
был вырезан |
какой-то |
символ, |
|||||||||||||||||||
|
напоминающий букву г. После нескольких проб они обнаружили, что диа |
||||||||||||||||||||||||
|
гональ квадрата, сторона которого имеет |
один зет длины, равна |
единице |
||||||||||||||||||||||
|
второй |
шкалы. |
Поэтому |
они |
назвали вторую |
шкалу «шкалой диаг». С по |
|||||||||||||||||||
|
мощью равенства Пифагора для прямоугольного треугольника они выяснили, |
||||||||||||||||||||||||
|
что |
1 |
д и а г = ( / 2 |
зета. Вот |
изображение этих двух |
шкал. |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
-J-------- 1-------- 1-------- 1-------- 1 |
- |
5 |
I_________ I |
|
7 |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
ОЗеты 1 |
|
2 |
|
|
3 |
|
4 |
|
|
6 |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
- і ---------------- 1-------------- 1---------------- і____ |
|
< |
|
|
I |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
О Д и а г и 1 |
|
|
2 |
|
|
3 |
|
|
|
4 |
|
|
5 |
|
|
|
||||
|
а) |
Чему |
равна |
длина в |
зетах |
отрезка, |
длина |
которого в |
диагах |
равна |
1? |
||||||||||||||
|
|
2? |
5? |
п? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
58
b) |
Составьте |
таблицу |
для |
перевода |
диагов в |
зеты в пределах от 1 до |
10 |
|||
|
диагов. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c) |
Чему |
равна |
длина |
в |
диагах отрезка, длина |
которого в зетах равна |
1? |
|||
|
4? 5? |
8? п? |
|
|
|
|
|
|
|
|
d) Заполните |
эту таблицу, переводящую зеты в диаги от 1 до 10 зетов |
|
||||||||
|
|
Число |
зетов |
Число |
диагов |
Десятичное приближение |
|
|||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
0,707 |
|
|
|
|
2 |
|
|
Ѵ |
'2 |
|
1,414 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
Обзорные вопросы и задачи к главе 2
1. Пусть |
Л — множество всех месяцев года, название которых |
начинается |
|||
с |
буквы |
И; |
|
|
|
В — множество |
всех |
месяцев года, имеющих ровно 30 дней; |
|
||
С — множество |
всех |
месяцев года, название которых начинается с буквы Ф . |
|||
a) |
Перечислите |
все |
элементы пересечения А я В. |
|
|
B ) |
Перечислите |
все |
элементы объединения А и В. |
|
|
c) |
Перечислите |
все |
элементы пересечения В я С. |
|
|
d) |
Является ли С |
подмножеством .множества Л? множества |
В? множе |
||
|
ства |
С? |
|
|
|
Е
2. |
а) |
Что |
представляет |
собой |
пересечение |
отрезков |
F D и |
B E на |
нашем ри |
|||||
|
|
сунке? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
B ) |
Что |
|
представляет |
собой |
пересечение |
отрезка |
Ä E |
и треугольника F G E ? |
|||||
|
c) |
Что |
|
представляет собой объединение отрезков |
ED и DC? |
|
||||||||
|
d) |
Что |
|
представляет собой объединение |
отрезков |
BG |
я В Ё ? |
|
||||||
|
e) |
Что |
|
представляет собой |
пересечение |
отрезков |
A B |
иEG? |
|
|||||
3. |
а) |
Сколько |
квадратов |
имеет данное положительное число? |
|
|
||||||||
|
B ) |
Чему равен квадрат числа 4? |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
c) |
Сколько существует квадратных корней из |
данного |
положительного |
||||||||||
|
|
числа? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
4. |
d) |
Является ли |
число |
V 4 отрицательным |
или положительным? |
|
||||||||
Выразите |
следующие |
числа, |
не пользуясь |
знаком |
абсолютной |
величины: |
||||||||
|
а) | - 6 ! і |
|
|
b) I 5 — 7 і; |
с ) | 5 | - | 7 | ; |
|
|
|
||||||
|
d) |
1— 51 — 7; |
е) |
!« | ; |
|
f) |
|— п ,; |
|
|
|
|
|||
|
g) |
I « |
+ |
( — «)!; |
|
h) |
|
|
|
|
|
|
|
5.Заполните пропуски, указав, будет ли данное число положительно, отрица тельно или равно нулю:
59
a) |
Если |
a < b , |
то а — Ь |
|
B ) |
Если |
а = |
Ь, |
то а — Ь |
c) |
Если |
а > |
Ь, |
то а — Ь |
R О
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Р |
|
|
|
|
|
|
|
S |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6. а) |
Какое |
соотношение определяет |
взаимное |
положение |
точек |
Р, |
М |
и |
Q |
|||||||||||||||||
|
на |
этом |
рисунке? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
Ь) |
При каких условиях точка М |
|
являлась бы серединой отрезка R S ? |
|
|
||||||||||||||||||||
7. |
Четыре |
точки |
А, |
В, |
С |
и D |
принадлежат |
некоторой прямой, |
порядок |
их |
||||||||||||||||
|
расположения |
таков, |
что |
А С > А В и |
BD < |
ВС. Сделайте чертеж, показав, |
||||||||||||||||||||
|
как |
расположены |
эти |
четыре точки. Существует ли только один возможный |
||||||||||||||||||||||
|
их |
порядок? |
Объясните. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
8. |
G — множество |
всех пар целых чисел х |
и у, |
сумма |
которых равна |
21; |
Н — |
|||||||||||||||||||
|
множество |
всех пар чисел х н у , |
|
разность которых равна |
5. |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
a) |
Принадлежит ли пара 15 и 6 множеству G? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
B ) |
Принадлежит ли пара 9 и 4 множеству Ю |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
c) |
Из каких |
пар |
состоит |
пересечение |
множеств |
G и Н? |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
Р |
|
|
Q |
R |
|
S Т |
|
U |
|
|
V |
W |
|
X |
Y |
|
Z*• |
|
|
|
||
|
|
|
-U |
|
- 3 |
- 2 |
- 1 |
0 |
|
1 |
|
|
2 |
3 |
|
и |
5 |
|
6 |
|
|
|
|
|||
9. |
а) |
Какую |
координату |
имеет |
изображенная |
на |
этой |
прямой |
точка |
W ? |
||||||||||||||||
|
|
точка |
S ? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
B ) |
Какая точка имеет координату |
0? |
— 3? 5? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
c) |
Чему |
равно |
R T ; V Z; |
T W ; |
TQ; |
R W ; |
PZ; |
X S ; |
YQ? |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
10. На некоторой прямой задана система |
координат. Точка А имеет коорди |
|||||||||||||||||||||||||
|
нату |
6, |
точка |
В — координату |
— 2, |
точка |
С — координату |
1, |
точка |
D — |
||||||||||||||||
|
координату X |
и точка |
Е — координату |
у. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
а) |
Укажите |
для |
каждой |
из этих |
точек, |
между |
какими двумя |
другими |
она |
||||||||||||||||
|
|
лежит. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
B ) |
Чему |
равно |
A B; ВС; |
AD; |
СЕ; |
B E ; |
D E ? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
c) |
В |
каком |
порядке |
расположены |
наши |
пять точек на |
прямой, |
если |
х — |
||||||||||||||||
|
• — 6 > 0 и у — (— 2) < 0? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
11. На некоторой прямой задана система |
координат. Точка |
Р |
имеет коорди |
|||||||||||||||||||||||
|
нату |
7, |
а |
точка |
Q — координату |
— 12. |
Какую координату |
имеет точка |
М, |
|||||||||||||||||
|
если |
M P — MQ? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
12. |
Укажите, |
верно |
или ошибочно каждое |
из следующих утверждений: |
|
|
||||||||||||||||||||
|
а) |
— 5 — целое |
число; |
|
|
|
|
|
b) |
|
4 |
действительное число; |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
-j— |
|
|
||||||||||||||||||
|
с) 0 — рациональное число; |
|
|
|
d) |
У 8 — рациональное число; |
|
|
||||||||||||||||||
|
е) |
\/Г9 — целое |
число; |
|
|
|
|
|
{) |
— ^— |
рациональное |
число |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
рациональное число; |
|
|
|
h) X — есть |
отрицательное |
число |
для |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
всех |
действительных х; |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
рациональное число; |
j) |
\х\— х. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
60