Файл: Моиз Э.Э. Геометрия.pdf

§t. ВВЕДЕНИЕ

Впредыдущей главе мы говорили только о прямых и об из­ мерении расстояний. Фактически мы всегда рассматривали един­ ственную прямую, и поэтому никакие обсуждения отношений между разными прямыми нам не были нужны. Теперь мы при­ ступим к изучению прямых и плоскостей в пространстве. Напом­ ним, что нашими основными неопределяемыми понятиями являются точка, прямая и плоскость, причем прямые и плоскости являются определенными множествами точек.

Определение

Множество всех точек называется п р о с т р а н с т в о м .

В следующем параграфе мы объясним некоторые термины, которыми мы будем пользоваться при изучении прямых и пло­ скостей, и сформулируем некоторые из самых элементарных

доказать, опираясь на аксиомы. Но сейчас их доказательств мы

точками, прямыми и плоскостями в пространстве часто хорошим подспорьем могут оказаться куски картона как заменители плоскости и карандаши как заменители прямых.)

1.Вытяните руку перед собой. Рассмотрите точку А, совпадающую с кончиком вашего указательного пальца, и точку В, совпадающую с правым верхним

передним углом вашей комнаты. Сколько прямых одновременно содержат

4.Пусть какой-нибудь угол вашего письменного стола представляет точку Р , выключатель на стене — точку Q и один из углов комнаты — точку R . Суще­ ствует ли плоскость, содержащая точки Р, Q и R?

5.Какое минимальное число точек необходимо для определения плоскости? Всегда ли три точки полностью определяют некоторую плоскость?

63

6. Какие прямолинейные отрезки на этом рисунке, изображающем маленькую палатку, вам нужно вообразить, чтобы дополнить контуры палатки? Что представляет собой пересечение двух плоскостей, содержащих два ската палатки?

§ 2. ПРЯМЫЕ И ПЛОСКОСТИ; ЧЕРТЕЖИ

Левая фигура на следующем рисунке изображает треуголъ- , ную пирамиду. Отрезки AB, АС, ÄD, ВС, BD и CD называются

ее ребрами. (Заметьте, что ребро BD изображено пунктиром, поскольку, если бы пирамида была сплошным телом, его нельзя было бы видеть. Если ту же фигуру нарисовать, как показано на рисунке, то она выглядела бы похожей на некоторое мно­ жество точек, принадлежащее плоскости чертежа.)

А

В

С

64

Все пять точек А, Е, В, С и F принадлежат одной плоско­ сти, а именно плоскости, содержащей переднюю левую грань пирамиды. Точки, принадлежащие одной плоскости, называются компланарными. Конечно, точки А, В, С и D не компланарны.

Три точки А, В я Е принадлежат одной прямой, а именно

прямой AB. Обладающие этим свойством точки называются коллинеарными. Конечно, точки А, В и С не коллинеарны. Точно так же А, F и С коллинеарны, а точки А, F и G—нет.

Теперь мы определим эти термины более формально.

Определение

Точки, образующие некоторое (точечное) множество, колли­ неарны, если существует прямая, содержащая все эти точки.

Определение

Точки, образующие некоторое (точечное) множество, компла­ нарны, если существует плоскость, содержащая все эти точки.

(Вопрос. Точки Е, F и G на предыдущем рисунке не при­ надлежат ни одной из граней пирамиды. Следует ли из этого, что точки Е, F и G не компланарны?)

Чтобы построить геометрию по схеме, описанной в гл. 1, нам нужны аксиомы, которые передавали бы реальный смысл наших неопределяемых понятий: точки, прямой и плоскости. Для пря­ мых мы такие аксиомы уже ввели. Аксиома линейки хорошо опи­ сывает, как выглядит прямая, когда вы рассматриваете ее изоли­ рованно от всех других точек плоскости или пространства. Мы упоминали также, что любые две точки определяют некоторую прямую (см. аксиому 4 на стр. 49):

Аксиома 4 (аксиома прямой)

Для каждых двух точек существует одна и только одна пря­ мая, содержащая обе точки.

Теперь мы хотим выписать аксиомы, выражающие свойства плоскостей и пространства. Первой будет аксиома, утверждающая, что фигуры того типа, которые мы рисовали в начале этого параг­ рафа, в нашей геометрии действительно встречаются.

Аксиома 5

а) Каждая плоскость содержит по крайней мере три неколлинеарные точки.

в) Пространство содержит по крайней мере четыре некомпла­ нарные точки.