ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 09.04.2024
Просмотров: 259
Скачиваний: 0
углами. |
. . . |
− − |
^ |
_ |
При рассмотрении |
направленных |
углов допускают также |
||
«нулевые углы» и «развернутые углы». |
|
|
||
А |
В С |
С |
А |
В |
|
LBAC |
|
LBAC |
|
В этом курсе направленные углы не используются, потому что в элементарной геометрии они не нужны. Например, углы треуголь ника никогда не являются нулевыми или развернутыми и не су ществует разумного способа, позволяющего решить, каково их направление, т. е. какая из сторон /_АВС является начальной, а
какая —конечной. Направление углов нам пришлось бы приписы вать им случайно, и это не принесло бы нам никакой пользы, по тому что случайно выраженные направления не имели бы никакого отношения к тем задачам, которыми мы занимаемся.
§ 3. УГЛОВАЯ МЕРА
Точно так же, как отрезки мы измеряли масштабной линейкой, так углы мы измеряем транспортиром:
Число градусов, содержащееся в данном угле, называется его мерой. Если PQR содержит г градусов, то мы пишем
т L PQR = г.
89
Наблюдая деления транспортира, мы видим, чтб
|
т А CAD = 30, |
т А CAF = 90, |
|
|
т А САЕ = 45, |
т А С Л 0 = 100 |
|
и т. д. |
|
|
|
|
Заметим, что мы не пользуемся значком градуса, когда пишем |
||
30, |
45 и т. д. , потому |
что это |
подразумевает само употребление |
буквы т: величина т А |
PQR есть число градусов в угле А PQ.R- |
||
|
Точно так же, как мы, пользуясь масштабной линейкой, нахо |
||
дили расстояния, путем |
вычитания, мы можем путем вычитания |
||
находить и меры углов. Например, мы должны иметь т ADAE — 15, |
|||
так |
как |
|
|
|
15= 45 —30 = т А САЕ — т А CAD. |
||
Тот же прием дает нам
т А GAD — 100 — 30 — 70.
Заметим, что число 180 не является мерой ни одного угла на нашем рисунке. (Символ А ВАС не имеет смысла, поскольку лучи
AB и АС коллинеарны.) Мы можем тем не менее, пользуясь вычи
танием из 180, получить
т А 0 Л / = 180— 150 = 30,
т А В А Н = т — т = Ь 0
ит. д.
Вследующих аксиомах просуммированы те факты, на которых
базируется использование транспортира. На рисунках, иллюстри рующих содержание этих аксиом, мы пишем r°, s° и т. д., чтобы напомнить, что эти числа являются градусной мерой соответст вующих углов.
Аксиома 11 (аксиома измерения углов)
Каждому углу А ВАС соответствует некоторое действительное число, заключенное между 0 и 180.
90
Определение
Число, |
фигурирующее в аксиоме измерения углов, называется |
м е р о й |
/_ ВАС и записывается так: т /_ ВАС. |
АВ
Угол, имеющий любую меру от 0 до |
180, |
мы можем построить |
|
всюду, где только захотим. Ясно также, |
что исходя из некоторого |
||
луча на плоскости и числа г, мы сможем построить наш угол |
по |
||
каждую сторону от прямой, содержащей |
этот |
луч. Отсюда возни |
|
кает |
|
|
|
Аксиома 12 (аксиома построения углов) |
|
|
|
Пусть AB — луч, принадлежащий |
ребру |
полуплоскости |
Н. |
Тогда для каждого действительного числа г, |
заключенного между |
||
0 и 180, существует ровно один такой луч АР, что точка Р при надлежит полуплоскости Н и т РА В — г.
Пользуясь следующей аксиомой, мы можем вычислить меру углов с помощью сложения и вычитания:
Аксиома 13 (аксиома сложения углов)
Если точка D лежит внутри угла /_ ВАС, то
т /_ ВАС — т /_ B A D + т /_ DAC.
В
91
Отсюда также вытекает: |
|
|
|
т /_ CAD = m / САВ — т / |
DAB. |
Два |
угла называются смежными, если |
они выглядят, как |
на этом |
рисунке: |
|
Точнее: имеем следующее
Определение |
|
|
Если AB |
и AD — противоположные лучи, |
а АС — некоторый |
другой луч, |
то / В А С и /.CAD называются |
с м е жн ы м и . |
В следующем определении речь идет исключительно о м е р е углов, в нем ничего не говорится о р а с п о л о ж е н и и углов, столь существенном для определения смежных углов.
Определение |
|
Если сумма мер двух углов |
равна 180, то эти углы называ |
ются п о п о л н и т е л ь н ы м и , |
а каждый из них называется по- |
п о л н е н и е м другого. |
|
Углы могут оказаться смежными, и в этом случае они в с е г д а являются пополнительными:
Аксиома 14 (аксиома пополнения)
Если два угла являются смежными, то они пополнительны.
Эти аксиомы можно для краткости обозначить буквами АИУ, АПУ, АСУ и АП, возникающими в результате сокращения названий: аксиома измерения углов, аксиома построения углов, аксиома сложения углов и аксиома пополнения.
Вы помните, что при обсуждении вопроса об измерении рас стояний мы пришли к выводу, что можем выбрать любую еди ницу измерения, какую нам будет угодно избрать. При этом
92
если мы решим изменить единицу измерения расстояний, то нам нужно будет лишь умножить все расстояния на некоторое число,
и все относящиеся к расстояниям |
аксиомы |
при этом останутся |
в силе. Но для меры углов это |
не верно, |
потому что аксиома |
пополнения определяет единицу измерения углов. При нашем
определении |
пополнительных углов аксиома |
14 утверждает, что |
||||||||
сумма |
мер двух |
смежных углов равна |
180. |
Если |
мы удвоим |
|||||
меру каждого угла |
или же разделим меру |
каждого |
угла на 2, |
|||||||
то эта аксиома перестанет выполняться. |
|
|
|
|
||||||
Задачи к § 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
1. |
Если |
m Z Л = |
63 |
и /п Z ß = 117, то |
А А и A B . . . |
углы. |
|
|||
2. |
Чему |
равна |
мера |
т А MPS, если |
на нашем |
рисунке |
слева т А QPS ==41 |
|||
|
и т А QPM — 37? К акая аксиома |
подкрепляет ваше |
заклйэчение? |
|||||||
3. Точки Y, Р и W на |
рисунке справа коллинеарны |
и т А XPY — т А ZPY. |
||||||||
|
a) Назовите две пары смежных углов. |
|
|
|
|
|||||
|
B ) Назовите три |
пары пополнительных углов. |
|
|
|
|
||||
4. Дано, что A — K — F и точка |
D |
не принадлежат прямой AF. |
|||||
a) |
А AKD и А FKD являются . . . . |
|
|
|
|||
B ) |
т А A K D + m А F K D — |
|
. |
. |
. |
. |
|
Какая аксиома |
существенна для |
вашего ответа?5 |
|
||||
5. Прямые йН и |
PQ на этом |
рисунке |
пересекаются, образуя четыре угла. |
||||
a) |
Чему |
равна а, если Ь = 52? |
|
B ) |
Чему |
равны Ь, с и сі, |
если а — 110? |
6. Исходя |
из следующего |
рисунка подсчитайте каждую из названных ниже |
|
величин: |
Ь) т А E P D ; |
с) т. А G РА; |
||
а) |
т А А В С ; |
|||
d) т |
А D P В; |
е) т А F P S ; |
і) т А А Р В - г - т А В Р Е ; |
|
g ) т |
А F P A + m А F P S ; |
h) |
т А А Р С + т АСРН\ |
|
і) |
т А F P A — m А D P A i |
]) т A F P H — tn A FPG . |
||
93
н |
р |
А |
7. С помощью транспортира найдите каждую из следующих величин:
а) т L R P S |
b) m L V P R ; |
с) т Z V PS |
d) m L T P R -, |
е) т L X P R |
f) m L X P Y ; |
g) т L W P S |
h) m L X P W; |
i ) m Z X P S |
j ) m L T P R + m Z .SPW . |
8. После некоторой тренировки вы будете в состоянии довольно точно оцени вать величину углов и без помощи транспортира. Не пользуясь транспор тиром,. определите, какие из изображенных на этих рисунках углов имеют меру в указанны х границах (подберите для изображенных внизу углов подходящие границы в левом столбце):
a) 8 0 < х < 9 5 ; -
B ) 55 < X < 70;
c) 40 < X < 60;
d) 90 < л: < 105;
e)20 < X < 4 5 ;
f)1 1 0 < * < 125.
9.Пользуясь линейкой без делений и транспортиром, постройте углы, имею
щие градусную меру, равную 30, 60, 15, 90, 100 и 135.
10, Пользуясь |
только линейкой без делений, |
но не транспортиром, |
нарисуйте |
||
углы, мера |
которых приблизительно равна 10, 30, 45,60, 90, 120, |
135 и 150. |
|||
Затем с помощью транспортира проверьте, на сколько вы ошиблись. |
|
||||
11+ . На ребре |
некоторой полуплоскости возьмите такие точки М , К |
и |
А, что |
||
М — А — К- Проведите луч АТ так, чтобы было т /. ТАК. = |
35. В той же полу |
||||
плоскости |
возьмите луч А Ѵ , для которого |
т L МАѴ = 8 5 . |
Измерьте |
L T A V |
|
транспортиром. Находится ли полученное вами число в согласии с числом, вычисленным по правилам?
94
12.На этом рисунке
a) т Z С А В + т Z D A C = т Z |
; |
|
B ) т z |
EAD-\-tn Z D A C = m Z |
; |
c) tn L |
EAD-\-tn L Ü A B = m Z |
.?. ; |
d) m L |
EAC — m L Ü A C — m Z |
.?. . |
13. |
Определите меру |
пополнения |
угла, |
если |
мера исходного угла равна |
|||||
|
а) |
80; |
Ь) |
48; |
|
с) |
144; |
d) |
25,5; |
|
|
е) |
я; |
f) |
я + й; |
|
g) |
180 — л; |
h) |
90 — n. |
|
14. |
На этом рисунке |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
a) |
т L |
SPR -\-tn L QPO — m L |
.?• |
; |
|
|
|||
|
b) |
m Z |
R S Q -j-m |
Z .?. — m |
z |
R S P ; |
|
|
|
|
|
c) |
m Z |
POQA -m Z PO S = |
.?. |
; |
|
|
|
|
|
|
d) m z |
R S Q ~ m |
z SÄO = |
m z |
.?• |
; |
|
|
||
|
e) m z |
ÄOQ = 180 — /и z |
|
; |
|
|
|
|
||
f)SO-j-OQ — .?. .
15.Чему равна мера каждого из двух пополнительных углов, если эти углы имеют одинаковые меры?
16.Чему равна мера угла, если она в три раза больше меры пополнения этого угла?
17.Мера некоторого угла на 24 больше меры его пополнения. Найдите меры обоих углов.
18*. Удвоенная |
мера |
некоторого |
угла на |
30 меньше меры его |
пополнения, |
|
умноженной на пять. Чему равна мера этого угла? |
|
|||||
19*. Чему |
равна |
мера т Z С А В , |
если т Z |
B A D = 65 и т Z О ЛС = |
32 ( z С А В |
|
и Z B A D принадлежат одной |
плоскости)? |
|
||||
2 0 .Прямые MN |
и PQ на этом рисунке пересекаются в точке А . Какие аксиомы |
|||||
или определения подкрепляют каждое из следующих утверждений? |
||||||
a) Z РАМ и |
Z фЛЛ4 являются смежными, |
|
||||
B ) Z РАМ и |
Z QAM пополнительные, |
|
|
|||
c) т z P A M + m |
Z Q A M = 180, |
|
|
|
||
d ) m Z |
QAM + ш |
Z Q A M = 180. |
|
|
||
21*. Будет |
ли |
т Z AßC + m Z D B C = m Z M AS+m z MAS, |
|
|||
|
|
|
||||
95
