ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 09.04.2024
Просмотров: 260
Скачиваний: 0
Теорема 4 .7 (теорема о вертикальны х углах)
Вертикальные углы конгруэнт ны.
Д о к а з а т е л ь с т в о . Нам дано, |
что /_ \ и Z 2 — вертикаль |
||||
ные |
углы, т. е. |
|
|
|
|
. |
1°. АС и АЕ — противоположные |
лучи; AB и A D — противопо |
|||
|
|
ложные лучи. |
|
|
|
Следовательно, |
углы |
и / 2 |
и Z 3 —также смеж |
||
|
2°. /_ \ и Z 3 —смежные |
||||
ные углы. |
|
|
|
||
3°. |
Z 3 £* Z 3. |
пополнениями |
конгруэнтных углов. |
||
4°. |
Z 1 и Z 2 являются |
||||
Всилу теоремы 4.5 отсюда следует, что 5°. Z 1 ££ Z 2.
Теорема 4 .8 |
|
|
|
|
|
Если две пересекающиеся прямые образуют |
один прямой угол, |
||||
то они образуют четыре прямых угла. |
|
|
|
|
|
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
Маленький квадратик |
около |
вершины |
||
Z 1 на этом рисунке указывает, что Z |
1—прямой |
угол. Это |
|||
дано. Нам нужно доказать, что также и Z 2, |
Z 3 и Z 4 —пря |
||||
мые. Вот главные этапы |
доказательства. |
(Вы |
|
должны суметь |
|
аргументировать каждый |
этап!) |
|
|
|
|
1°. Z 3—прямой угол. |
|
|
|
|
|
2°. Z 2 и Z 1 —пополнительны. |
|
|
|
|
|
3°. т Z 2 + 90= 180. |
|
|
|
|
|
4°. Z 2 —прямой угол. |
|
|
|
|
|
5°. Z 4 —прямой угол. |
|
|
2 |
1 |
|
|
|
|
3 |
4 |
|
Существует теорема, на использовании которой основаны на ши шаги 1° и 5°. Основанием для шага 2° послужила одна аксиома, а шаги 3° и 4° основывались на определениях.
102
ДЖОРДЖ ДЭВИД БИРКГОФ (1884-1944)
Д. Д. Биркгоф был од ним из самых разносто ронних и продуктивных математиков своего по коления. За время своей жизни он написал сто девяносто научных ста тей, относящихся к раз личным областям чистой и прикладной матема тики. Собрание его тру дов занимает три боль ших тома. Кроме того, он написал несколько книг по математике и по теории относительности.
Система аксиом гео метрии, принятая в этой книге, является видоиз менением предложенной Д. Д. Биркгофом систе мы аксиом. В течение нескольких столетий идея измерения отрезков
и углов была центральной идеей геометрии. Аксиомы Биркгофа вводят эту идею с самого начала; они описывают методы, кото рыми фактически пользуется каждый. Таким образом, хотя аксиомы Биркгофа не принадлежали к числу его самых больших вкладов в науку, они тем не менее многое сделали более ясным.
Задачи к § 4 (часть 2)
1. |
Дано, |
что Z A B C ^ |
Z D E H и что Z А В С и Z D E H пополнительны. Какое |
|||||
|
заключение отсюда следует? |
К акая |
аксиома, какое определение |
или какая |
||||
|
теорема |
подкрепляют это заключение? |
|
|
||||
2. |
Если Z М и Z |
Л пополнительны, z Р и Z Q пополнительны, а |
Z |
Z М |
||||
|
то что |
можно |
сказать |
об |
Z К и |
Z Р? Какое утверждение |
подкрепляет |
|
|
ваше заключение? |
|
|
|
|
|
||
ІОЗ
4а) Если две прямые пересекаются, то сколько пар вертикальных углов они образуют?
B ) Если мера одного из углов задачи а) равна 62, то чему равны меры остальных углов?
c) Если |
все четыре угла задачи а) конгруэнтны, то чему равна мера каж |
дого из |
них? |
5. Три прямые на этом рисунке пересекаются в одной точке. Дано, что о = 85 и е = 30. Най дите Ь, с, d и /.
6. Если один из образованных двумя пересекающимися прямыми углов имеет меру X, то каковы меры трех остальных, образуемых этими прямыми углов?
7. Докажите теорему 4.3.
8. Докажите теорему 4.4.
9+ . Дана прямая |
AB, отделяющая две |
полуплоскости |
и Н2, такая точка Р |
|||||||
полуплоскости |
Н ъ |
что |
т L |
/М Д = |
30. |
Если Q — точка полуплоскости Нг, |
||||
для которой /, QAB ^ |
L Р А В , |
то точка Р лежит ... L |
PAQ и m ^ P A Q — .... |
|||||||
Если луч ÄQ противоположен лучу ÂР, |
то / |
Р А В ... A Q A B и т z. QAB — .... |
||||||||
10*. |
П усть В А и B E — противоположные лучи |
и в |
|
|||||||
полуплоскости Н (см. рисунок) |
L A B G ^ i . K B G |
|
||||||||
и |
/. K B D ^ |
L |
D B E . |
Найдите |
m £. G BD . |
|
||||
( У к а з а н и е . |
Положите |
m |
L A B G |
= x |
и |
|
||||
m. /. D B E — y.) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l t +. Плоскость E на этом рисунке пере
секает плоскость F по прямой AB. Обе
прямые GH и КМ принадлежат плос
кости F и пересекают прямую AB в точке Р.
a) Назовите две пары вертикальных углов
B ) Назовите две пары пополнительных углов.
c) Если GH J . AB, то назовите две пары дополнительных углов.
104
12*+. |
Прямые AB, QR, GH и KM |
|
на |
|||
|
этом |
рисунке пересекаются в |
точ |
|||
|
ке Р. |
|
|
|
|
|
Прямая |
QR принадлежит плоскости Е, |
|||||
а прямые GH и КМ — плоскости F. |
|
|
||||
Прямая |
< |
|
|
|
|
|
A B служит пересечением плос |
||||||
кое гей Е и F. |
|
|
|
|
||
a) |
Какие два |
угла |
пополнительны |
к |
||
|
L A P G ? |
|
|
|
|
|
B ) |
Какие два |
угла |
пополнительны |
к |
||
|
L И Р М ? |
|
|
|
|
|
c) |
Если |
L B P R — L K P G , то какие другие углы должны быть конгруэнтны? |
||||
d) |
Если |
£ R P G — прямой угол, |
то какие другие углы должны быть пря |
|||
|
мыми? |
|
|
|
|
|
§ 5. |
ЗАПИСЬ |
ТЕОРЕМЫ В |
ФОРМЕ «ПРЕДПОЛОЖЕНИЕ — |
|||
ЗАКЛЮЧЕНИЕ» |
|
|
|
|||
Каждая теорема является утверждением о том, что е с л и верно что-либо одно, то верно и нечто другое. Например, теорема 4.8 утверждает, что е с л и две пересекающиеся прямые образуют один прямой угол, то они образуют четыре прямых угла. Часть «если» в условии теоремы называется предположением', в ней говорится, что дано. Часть «то» называется заключением теоремы; в ней говорится, что требуется доказать. Поэтому теорему 4.8 мы мо жем записать следующим образом:
Теорема 4.8 |
|
|
П р е д п о л о ж е н и е . |
Прямые Іг и /2 образуют один |
прямой |
угол. |
|
|
З а к л ю ч е н и е . Прямые Іх и /2 образуют четыре |
прямых |
|
угла. |
|
|
Аналогично, теорему 4.3 можно записать так: |
|
|
Теорема 4.3 |
|
|
П р е д п о л о ж е н и е. |
А и Z. В — прямые углы. |
|
З а к л ю ч е н и е . / _ А ^ / _ В .
Аксиомы похожи на теоремы и отличаются от последних только тем, что они не доказываются. Большую часть аксиом можно высказать в той же форме «если ..., то», что и теоремы. Например, аксиому сложения углов можно записать так:
