Файл: Моиз Э.Э. Геометрия.pdf

если

от Z А В С + т L D ß C = 1 8 0 и от Z M A S + m Z AM S = 180?

§ 4. ПРЯМЫЕ УГЛЫ , ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТЬ, КОНГРУЭНТНЫЕ УГЛЫ

Определение

Если два смежных угла имеют одну и ту же меру, то каж­

В этом случае в силу аксиомы пополнения г-\ -г— 180. Поэтому с таким же основанием мы можем дать и следующее

Определение

Ä B ± A C .

Тем же термином и теми же обозначениями мы пользуемся и

96

в случае замены лучей прямыми или отрезками. Таким образом, если Д ВАС — прямой угол, то

и т. д. для любых комбинаций прямых, лучей и отрезков.

Определения

Если сумма мер двух углов равна 90, то эти углы называются д о п о л н и т е л ь н ы м и , а каждый из них называется д о п о л н е ­

Определение

Два угла, имеющие одну и ту же меру, называются к о н г р у э н т н ы м и .

В

Таким образом, Д АВС и Д DEF кон­ груэнтны, если

т/_ АВС —т Д DEF.

Вэтом случае мы пишем

L A B C ^ L DEF. -

означают в точности одно и то же. Любую из них мы можем сво­ бодно заменить другой.

Задачи к § 4 (часть 1)

Прямолинейные отрезки в этой задаче считаются перпендикулярными, если они такими каж утся. Отберите на этом рисунке пары перпендикулярных отрезков. Если вы полагаете, что какая-либо пара отрезков не перпендику­ лярна, то объясните почему.

Углы на рисунке имеют указанные меры.

a) Назовите пару дополнительных углов.

B) К акая аксиома позволяет утверждать, что

т А D A G = 1 0 5 ? 34

B ) Назовите пару дополнительных углов, если они здесь есть.

c)Назовите пару конгруэнтных углов, если они'здесь есть.

d)Назовите пару пополнительных углов, если они здесь есть.

4. Точка А служит общим началом двух перпен­

дикулярных лучей АѢ и Â C . Точка D лежит внутри А ВА С, а точка Е —

вне этого угла; при этом Â B ± АЕ.

98

6.Если мера некоторого угла в 2 раза больше меры его дополнения, то чему равны меры каждого из этих углов?

Если вы не забыли, что означают слова, встречающиеся в сле­ дующих теоремах, то легко сообразите, что эти теоремы верны.

Теорема 4.1

Если два угла дополнительны, то оба они —острые.

Теорема 4 .2

Каждый угол конгруэнтен самому себе.

(Ясно, что всегда т £. А = т Z. Л.)

Теорема 4 ,3

Любые два прямых угла конгруэнтны.

Теорема 4 .4

же меру г; покажите, что г должно быть равно 90.)

Теорема 4 .5

Пополнения конгруэнтных углов конгруэнтны.

99

Д р у г а я ф о р м у л и р о в к а . Если

1°. £ A Q É £ B ,

2°. /_ А и /_ С пополнительны, 3°. /_ В и /_ D пополнительны, то 4°. /_ С ^ /_ D.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть г —т / _ А , как указано на ри­ сунке вверху. Запишем остальную часть доказательства так, чтобы вы могли воспользоваться этой записью как образцом, которым можно руководствоваться при самостоятельном доказательстве теорем:

У такого «двухстолбцового способа» записи доказательств есть свои достоинства. Пользуясь им, легче организовать работу и легче запомнить, что каждый раз, как только в ходе доказа­ тельства сделано какое-либо утверждение, нужно сразу же ука­ зать и аргументы, которые его обосновывают.

Заметим также, что прежде чем мы приступили к доказатель­ ству этой теоремы, мы сформулировали ее по-другому. Этот прием часто будет нам полезен впоследствии. Всякий раз, когда это возможно, мы будем формулировать теоремы чисто словесно, почти не пользуясь математическими обозначениями или даже совсем обходясь без них. Тогда теоремы будет легче прочесть и легче запомнить. Приводя другую формулировку, мы вводим обозначе­ ния, которые будут использованы в доказательстве.

На рисунке, приведенном в связи с разобранным доказатель­ ством, изображен лишь один весьма частный случай: два угла могут оказаться пополнительными и не будучи расположенными так, что их пополнительность сразу заметна глазу. Пополнитель­ ные углы могут выглядеть и так:

С

100

Теорема 4 .6

Дополнения конгруэнтных углов конгруэнтны.

составляют две пары противоположных лучей.

Рассматривая наш рисунок, можно заметить, что вертикальные углы конгруэнтны. Это и в самом деле всегда так, как показывает следующая

101