ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 09.04.2024
Просмотров: 232
Скачиваний: 0
Задачи |
к |
§ |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
1. Насколько хорошо вы оцениваете |
на глаз? Проделайте следующий экспери |
||||||||||||||||||||||||||||
|
мент. Возьмите |
кусок |
веревки длиной приблизительно в |
полтора |
метра и |
||||||||||||||||||||||||
|
положите |
его |
на |
|
пол |
в |
виде петли со свободными концами. -Затем по |
||||||||||||||||||||||
|
тяните |
за |
концы |
веревки, |
постепенно уменьшая петлю, и остановитесь |
||||||||||||||||||||||||
|
в тот |
момент, |
когда вам покажется, что петля по размеру равна вашей |
||||||||||||||||||||||||||
|
талии. |
Пометьте |
|
веревку |
в |
точках |
ее |
самопересечения |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
и проверьте, |
правильно |
ли |
вы |
угадали, |
обтянув ее во |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
круг |
талии. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
После |
того |
как вы |
произведете |
эту |
|
проверку, |
прочитай |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
те |
замечание |
к |
задаче 1 на |
стр. |
18. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
2. Вот еще одна задача на |
оценку |
на |
глаз. |
Газетный |
лист |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
довольно |
тонок |
— около |
0,08 |
мм; пачку газет вам |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
приходилось видеть довольно часто. Представьте |
себе, |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
что вы расстелили один газетный |
лист |
|
на |
полу. |
Затем |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
вы |
|
кладете |
на |
него |
другой |
лист, затем еще два, затем |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
четыре |
и т. д., |
так |
что |
пачка газет |
все |
время |
увеличивается. |
Каждый |
раз |
|||||||||||||||||||
|
вы |
|
добавляете |
к |
|
пачке |
столько газет, сколько в ней уже было раньше. |
||||||||||||||||||||||
|
После десятикратного повторения этой операции |
высота пачки |
достигнет |
||||||||||||||||||||||||||
|
примерно |
8 см. |
Какую |
высоту |
имела |
бы |
пачка, |
если |
бы вы были в |
со |
|||||||||||||||||||
|
стоянии |
|
повторить |
эту |
операцию 50 |
раз? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
Один |
из ответов |
|
а) |
— |
d), |
приведенных |
|
ниже, является |
правильным; |
вам |
||||||||||||||||||
|
нужно |
только |
оценить (или подсчитать), какой именно. |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
a) |
Примерно такую |
же, |
как |
ваша |
классная |
комната. |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
B ) Примерно такую же, |
как |
четырехэтажное |
здание. |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
c) |
Примерно такую |
же, |
как |
Импайр Стейт |
Билдинг 1). |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
d) Более чем в два раза превышающую высоту Импайр Стейт Билдинг. |
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
После того |
как |
вы |
произведете |
свой |
выбор, |
прочитайте замечание |
к задаче |
|||||||||||||||||||||
|
2 на |
стр. |
19. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
3. |
На |
|
первый |
из двух |
приведенных ниже |
вопросов можно ответить |
на |
основа |
|||||||||||||||||||||
|
нии «здравого |
смысла». Дайте только ответ. Ответ на второй вопрос требу |
|||||||||||||||||||||||||||
|
ет небольших |
арифметических или |
алгебраических |
вычислений. |
|
Покажите, |
|||||||||||||||||||||||
|
как |
вы |
их |
проделаете. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
a) |
|
Чему |
равна |
одна |
шестая |
от |
12? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
B ) |
|
Чему |
равна |
одна |
шестая |
от 5 255 622? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
4. Поступите, как в задаче 3: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
a) |
|
Третья |
часть |
|
расстояния |
между двумя городами |
равна |
10 км . Чему равно |
||||||||||||||||||||
|
|
|
все |
расстояние? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
B ) |
|
Расстояние |
между |
двумя |
городами на 10 км больше, чем треть расстоя |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
ния |
между |
ними. Чему равно расстояние между |
этими городами? |
|
||||||||||||||||||||||
5 * . Поступите, |
как |
|
в |
задаче |
3: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
a) |
Если пятнадцатисантиметровый кусок проволоки разрезать на |
две части |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
так, |
чтобы |
одна часть была в четыре раза длиннее другой, то чему будет |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
равна |
длина |
большей |
части? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
B ) |
Если пятнадцатисантиметровый кусок проволоки разрезать на две части |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
так, |
чтобы |
площадь |
квадрата, образуемого |
сгибанием |
одной |
части, была |
||||||||||||||||||||
|
|
|
в четыре раза больше площади квадрата, образуемого сгибанием другой, |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
то |
чему будет |
равна |
длина большей |
части? |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
6. Если два ученика добросовестно и независимо друг от |
друга |
будут изме |
|||||||||||||||||||||||||||
|
рять |
ширину |
классной комнаты линейками, один слева направо, а другой |
||||||||||||||||||||||||||
|
справа налево, то, по всей вероятности, они получат различные результаты. |
||||||||||||||||||||||||||||
|
Проверьте это! Какое из следующих соображений является правдоподобной |
||||||||||||||||||||||||||||
|
причиной такого |
|
различия? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
!) |
Импайр |
Стейт |
Билдинг — самый |
высокий |
в |
мире дом (475 м, 102 |
этажа) в |
||||||||||||||||||||||
|
момент |
написания |
этой |
книги. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
16
a) Линейки |
имеют разные длины. |
B ) Вещи удлиняются (или укорачиваются), когда их измеряют не слева |
|
направо, |
а справа налево. |
c)Расхождения, являющиеся результатом изменения положения линейки, накапливаются, и сложение этих маленьких ошибок приводит к замет
ному |
различию. |
|
|
|
|
|
|
|
d) Один |
из |
двух учеников сбился |
со счета. |
|
|
|||
7. Покажите, |
что равенство |
п2— 2я + |
2 = |
я |
верно |
при п — 1. |
Верно ли оно |
|
при п = |
2? |
Верно ли оно |
всегда, т. |
е. |
при |
любом |
значении |
я? |
8. Важной составной частью изучения математики является овладение умением подмечать детали, наталкивающие на некоторые общие умозаключения.
Взгляните, например, |
на |
соотношения |
|
3 + 5 = |
8, |
9 + 5 = 1 4 , |
11 + 17 = 28. |
По ним нетрудно догадаться, что сумма двух нечетных чисел есть число четное. Можете ли вы придумать два нечетных числа, суммой которых явля ется нечетное число? Доказывает ли ваш ответ, что такие два нечетных числа не существуют?
9. Рассмотрите соотношения
12= 1, 32 = 9, 52= 25, 72= 49.
a) Постарайтесь извлечь |
из них какое-либо заключение |
относительно нечет |
|
|
ных чисел. Запишите |
утверждение, обобщающее ваше наблюдение. |
|
B) Докажите, что это обобщение верно. |
|
||
10. Разделите каждое из чисел З2, 52 и 72 на 4. |
|
||
a) |
Чему в каждом из этих случаев равен остаток? |
|
|
B ) |
Какой здесь напрашивается вывод? |
|
|
c) |
Сколько нечетных чисел нужно было бы возвести в |
квадрат и разделить |
|
|
на 4, чтобы гарантировать, что остаток всегда будет |
один и тот же? |
|
11. Рассмотрите следующие фигуры и вывод, на который они наталкивают:
О
Число соединяемых точек: 2
Число образуемых областей: 2
a)Замените вопросительный знак под цифрой 6 числом, которое, по вашему мнению, должно здесь стоять.
B ) Нарисуйте окружность и соедините любые шесть ее точек всевозможными отрезками. Подсчитайте число образованных при этом областей. Согла суется ли этот результат с вашим ответом на вопрос а)?
c)Что показывает эта задача: всегда ли верно напрашивающееся обобщение наблюдений или это не так?
12.Следующие рисунки, в которых мы встречаемся с обманами зрения, пока
зывают, что |
не |
всегда можно верить своим глазам. |
|
а) Является |
ли |
отрезок |
CD продолжением отрезка А В 7 Возьмите линейку |
и проверьте, |
правы ли |
вы. |
|
17
b) |
Одинаковы ли по длине отрезки |
Х У и Y Z? Возьмите масштабную линейку |
|
или циркуль и проверьте, правы ли вы. |
|
.с) |
M N и PQ — прямолинейные это |
отрезки или нет? |
У
d) Какая из прямых справа от прямоугольника является продолжением прямой слева?
e) Какой из отрезков длиннее, A B или CD?
13. Рассмотрим выражение п2— п + 1 1 . |
При |
п = 1 оно равно 11. При п = 2 оно |
|
равно 13. |
При п = 3 оно дает 17. |
Числа 11, 13 и 17 являются простыми. |
|
(Простым |
числом называется целое |
число, |
большее единицы, которое делится |
только на себя и на единицу.) Если подставлять вместо п любые натураль ные числа, то всегда ли мы будем получать простые числа?
14*+. а) Покажите, что выражение
га2— п - \-k,
когда k равно 3 или 5, ведет себя так же, как и выражение п2— п + 1 1
(см. задачу 13).
B ) На какое общее утверждение наталкивает а)? Верно оно или нет?
c)Какое наименьшее число, большее чем 11, годится здесь в качестве к?
Годится ли здесь число 41? |
|
|
|
||
15' . Пилот реактивного |
самолета собирается |
покрыть |
1500-километровый путь |
||
со средней |
скоростью |
1500 км/час. Первые |
1200 км |
он прошел |
со скоростью |
1200 км/час. |
С какой |
скоростью должен он пройти |
оставшийся |
путь? |
|
16+. Проверьте с помощью линейки, что размеры на рисунке указаны верно. Если они правильны, то, вычислив площади частей, на которые разбит пря моугольник, покажите, что сумма всех этих площадей больше, чем площадь
всего прямоугольника. Странно, |
не правда ли? Можете ли вы это объяснить? |
З а м е ч а н и е к з а д а ч е 1. |
Почти каждый делает петлю примерно в |
два раза больше, чем нужно. Можно получить вполне удовлетворительный ре зультат, если немножко порассуждать следующим образом. Длина окружности в л раз больше диаметра, а я приблизительно равно 3. Поэтому диаметр состав ляет около одной третьей части длины окружности. Таким образом, если вы знаете, что окружность вашей талии близка, скажем, к 60 см, то петля должна иметь диаметр, приблизительно равный 20 см. Это может показаться неправдо подобно малым, но если вы проанализируете задачу математически, то согласи тесь, что это строго логичное рассуждение вполне надежно.
18
Это один измногих довольно часто встречающихся случаев, когда много выгоднее использовать математический подход к задаче, пусть даже совсем грубый, чем просто гадать на кофейной гуще.
З а м е ч а н и е |
к з а д а ч е |
2. |
Это также одна из многих весьма обычных |
||||||||||||
ситуаций, когда математический анализ помогает |
|
|
|
||||||||||||
открыть поразительные |
факты, которые |
иначе |
об- |
У |
' |
5 |
|||||||||
наружить |
невозможно. |
Аспект |
математики, |
свя |
|
|
|
||||||||
занный не с подтверждением уже открытого, а |
|
|
|
||||||||||||
непосредственно с открытиями, играет огромную |
|
|
|
||||||||||||
роль — и он столь |
же |
важен, |
|
сколь |
и полезен |
при |
|
|
|
||||||
решении |
задач. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Так |
как каждый |
раз, |
|
прибавляя |
газеты к |
|
|
|
|||||||
пачке, вы удваиваете число газетных листов, то |
|
|
|
||||||||||||
после 50 |
таких |
операций вы |
|
получите |
260 |
листов. |
|
|
|
||||||
Таблица степеней |
числа |
2, |
или |
непосредственный |
|
3 |
|
||||||||
подсчет, |
убедит |
вас, |
что |
вы |
будете |
иметь |
|
|
|||||||
1 125 899 906 842 624 |
листа. |
Стоит |
еще |
немножко |
|
|
|
||||||||
посчитать — и |
вы |
убедитесь, |
что |
пачка |
должна |
|
|
|
|||||||
иметь высоту, большую, чем 90 миллионов километров, т. е. большую, чем по ловина расстояния от Земли до Солнца.
Даже если вы решили, что правильным является ответ d), вы скорее всего все же не подозревали, насколько мал этот ответ по сравнению с истинным значением.
§ 2. ЛОГИЧЕСКИ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОЕ ИЗЛОЖЕНИЕ ГЕОМЕТРИИ
Если вы немножко подумаете, то убедитесь, что знаете немало геометрических фактов. Например, вы знаете, как находить пло щадь различных простых фигур. Известно вам и равенство Пифа гора, связывающее стороны прямоугольных треугольников. Неко торые из знакомых вам фактов так очевидны, что вам, пожалуй, никогда не пришло бы в голову формулировать их словами, не говоря уже о том, чтобы задуматься, а почему же они верны. Примером такого рода служит следующее утверждение:
Две прямые не могут пересечься более чем в одной точке.
Но некоторые другие из этих фактов, например равенство Пи-
.фагора, совсем не очевидны. В этой книге мы собираемся изла гать геометрические факты таким образом, чтобы из нескольких простых начальных утверждений получать затем более сложные. Мы увидим, что все геометрические факты можно вывести из небольшого числа простых и очевидных утверждений. Это наводит нас на мысль о том, что все эти факты можно расположить в та ком порядке, что каждое утверждение в нашем списке можно вывести из предыдущих утверждений путем логического рассуж дения.
И действительно, мы собираемся реализовать следующую программу: мы будем определять геометрические понятия с той степенью ясности и полноты, которая покажется нам необхо димой, и устанавливать геометрические факты, приводя их ло
19
