Файл: Моиз Э.Э. Геометрия.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 09.04.2024

Просмотров: 234

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Переходя к математическим примерам, мы видим, что мно­ жество всех четных чисел состоит из элементов

2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, ... ,

а множество всех чисел, делящихся на 3, —из элементов

3, 6, 9, 12, 15, 18, ...

Пересечением этих двух множеств является множество, со­ стоящее из чисел

6, 12, 18, ...

(т. е. множество всех чисел, делящихся на 6).

На рисунке справа каждый из двух прямоугольников, состоя­ щих из четырех отрезков, является некоторым множеством точек; пересечение этих прямоуголь­ ников состоит из двух точек.

Точно так же некоторым мно­ жеством точек является и каж­ дая из изображенных на этом рисунке прямоугольных обла­ стей, пересечением которых яв­ ляется маленькая прямоуголь­ ная область в середине рисунка.

На следующем рисунке каж­ дая из двух прямых является множеством точек; их пересе­ чение состоит из одной един­ ственной точки.

В этой книге точки, прямые и плоскости будут рассматри­ ваться как некоторые множе­ ства точек. (Если хотите, мо­ жете считать это нашей первой аксиомой.) В действительности, все геометрические фигуры мы будем рассматривать как мно­ жества точек. На следующем ри­ сунке мы видим два множества точек, каждое из которых пред­ ставляет собой некоторую пря­ моугольную область, принадле­ жащую своей плоскости, при этом плоскости двух прямо­ угольников различны. Пересе­ чением прямоугольников слу­ жит отрезок прямой.

28

Объединение двух множеств есть множество, состоящее из всех объектов, принадлежащих какому-либо одному из этих множеств, а также всех объектов, принадлежащих другому.

Например, на рисунке снизу мы видим большую прямоуголь­ ную область R, являющуюся объединением двух меньших прямо­ угольных областей А и В. Пересечением А и В служит верти­ кальный отрезок почти в середине рисунка. Точки этого отрезка входят в объединение А н В сразу по двум причинам: как при­ надлежащие А и как принадлежащие В.

Пересечение и объединение трех или большего числа мно­ жеств определяются аналогично. Таким образом, треугольник яв­

ляется

объединением

трех отрезков, а прямоугольник —объеди­

нением

четырех отрезков.

 

 

 

Иногда бывает удобно пользоваться понятием пустого множе­

ства.

Так называется

множество, вообще

не содержащее

н и к а ­

к и х

элементов. Идея

рассматривать такое множество на первый

взгляд может показаться несколько странной,

но в действитель­

ности она не более странная, чем идея о числе нуль.

Пустое

множество и число нуль —родственники;

так,

следующие три

высказывания имеют в точности один и тот же смысл:

 

1°. В Чикаго нет белых слонов.

 

 

 

2°. Число белых слонов в Чикаго равно нулю.

 

3°. Множество всех

белых слонов в Чикаго

пусто.

 

Поскольку введено пустое множество, мы можем теперь говорить о пересечении л ю б ы х двух множеств, допуская и возможность того, что это пересечение пусто. Например, пусто пересечение множества всех нечетных чисел и множества всех четных чисел. Пересечение

29

изображенных

на предыдущем

рисунке треугольника

и прямо­

угольника также является пустым множеством.

 

Пустое множество обозначается символом ф.

 

П р е д о с т е р е ж е н и е . Если

сравнить определения

терминов

«пересекаются»

и «пересечение»,

то легко заметить одну тонкость,

связанную с их употреблением. Когда мы говорим о пересечении двух множеств, мы допускаем и возможность того, что это пересечение пусто; однако когда мы говорим, что два множества пересекаются, то всегда подразумеваем, что их пересечение содержит по крайней

мере один .элемент. Таким образом, равносильны

следующие два

утверждения:

 

 

1°. Множества А и В

пересекаются.

 

2°. Пересечение А и

В непусто.

 

Е щ е о д н о п р е д о

с т е р е ж е н и е . Нуль и

пустое множе­

ство—родственники, быть может, близкие, однако это вовсе не одно понятие, а два разных. Например, уравнение

х + 3 —3

имеет своим единственным решением число 0, и потому множество его решений непусто: оно состоит из одного элемента, а именно из числа 0. С другой стороны, уравнение

х + 1 —х-\-2

вообще не имеет решений. Следовательно, множество его реше­ ний есть ф .

Задачи к §

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.

Для каких из следующих множеств А и В множество А равно множеству В :

 

а) А

•множество

всех

целых

чисел,

заключенных

между

3

25

 

 

— и-

 

 

В — множество,

состоящее

из

чисел

2, 3,

4, 5, 6,

7,

8;

 

Z

О

 

 

 

 

 

 

 

B ) А — множество всех

имен

девочек,

начинающихся

 

на

букву

Н;

 

 

В — множество, состоящее

из

имен

Нина, Наташа,

Надя,

Нюра,

Настя,

 

Нелли;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

c) — множество всех

стран Центральной Америки, названия

которых

начи­

 

наются

с буквы

П;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

В — множество всех стран Центральной Америки, которые можно пересечь

морским

путем

(по каналу);

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

d) А — множество всех учеников вашего класса, которым меньше 10 лет;

 

 

В — множество

месяцев в году, начинающихся на

букву

Р ;

 

 

 

e) А — множество

всех

решений

уравнения

* - ( - 7 = 1 2 ;

 

 

 

 

 

 

В — множество

всех

решений

уравнения

х 2= 25;

 

 

 

 

 

 

 

f) А — множество

всех

решений

уравнения

5 * + 8 = 8;

 

 

 

 

 

 

В — множество

всех

решений

уравнения

7 (*2+ 2) — 5 =

9?

 

 

 

2.Пусть

Р = { 2, 5, 7, 10, 14, 17, 19}.

( З а м е ч а н и е .

Эта

запись

читается так: «Р есть множество, состоящее из

элементов 2, 5, 7,

10,

14, 17 и

19».) П усть далее

 

 

<2= 12, 4, 6, 8, 10, 12}.

30

Из

каки х

чисел

состоит

пересечение

множеств

Р

и

Q? Из

каких

чисел

состоит объединение Р и Q?

 

 

 

 

 

 

 

 

3. Рассмотрим следующие множества:

 

 

 

 

 

 

51 — множество

всех

учеников

вашей

школы.

 

 

 

 

 

5 2— множество

всех

мальчиков в вашей школе.

 

 

 

 

 

5 3— множество

всех

девочек

в

вашей

школе.

 

 

 

 

 

5 4— множество

всех

учителей

вашей

школы.

 

 

 

 

 

5 5— множество,

единственным

элементом которого

являетесь

вы — ученик

 

школы.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a)

Какие

из этих множеств

попарно

пересекаются?

 

 

 

 

B )

Какое

множество

является

объединением S 2 и S 3?

 

 

 

c) Какое множество является объединением

и S 5?

 

 

 

d) Опишите объединение S ,

и S 4.

 

 

 

 

 

 

e) Какие из этих множеств

являются

подмножествами

S 4?

 

 

4. Прямые и окружности, изображенные

на следующем рисунке, мы будем

рас­

сматривать как множества точек. Объясните, что представляет

собой в

каж ­

дом из трех случаев

их

пересечение.

 

 

 

 

 

 

5. Что представляет собой

пересечение треугольника А ВС и отрезка АС

(см. рисунок)? А их объединение?

6. Рассмотрим

множество Е

 

всех

поло­

жительных

четных чисел

и

множе­

ство О всех

положительных

нечетных

чисел.

 

 

 

 

a) Опишите объединение Е и О.

B ) Опишите пересечение Е

и О.

 

7.Рассмотрим множество, состоящее из трех мальчиков: {А , В , С }. Любое его

подмножество будем называть комите­ том.

a) Перечислите все возможные комитеты.

B ) Сколько мы можем образовать комитетов с двумя членами?

c)Покажите, что каждые два из фигурирующих комитетов в п. Ь) пере­ секаются.

d)Что означает здесь слово «пересекаются»?

8. Пусть

Л — множество

всех

пар

чисел

(х , у),

удовлетворяющих

уравнению

 

Зх + У — 15;

В — множество

всех

 

пар

чисел (х, у),

удовлетворяющих

урав­

 

нению

2 x - j- jy = l l .

Опишите

пересечение множеств

І

и fl.

 

 

 

 

9.

П усть

А =

{ (1,12),

(2,9), (3,6),

(4,3),

(5 ,0 )},

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5 =

{

(1,9), (2,7),

(3,5),

(4,3),

(5,1) J-^

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(Заметим, что элементами множеств А и В являются

п а р ы

чисел.)

Какие

 

пары чисел

входят

в

пересечение

А и ß ? В

объединение

Л

и В?

 

 

10.

Пусть

Л — множество

всех

решений

уравнения

5 / - - | - s = ll,

а

В — мно­

 

жество

всех

решений

уравнения

Зг— s = 5.

Из каких

пар

чисел

состоит

 

пересечение

Д и fl?

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

31

11.

Пусть

Л — множество

всех

решений

уравнения

7х — у = 28,

а

В — мно­

 

жество

всех

решений уравнения

Зх +

2 г /= 1 2 . Из

каких

пар чисел

 

состоит

 

пересечение

А

и ß?

 

 

 

 

 

 

2//г-)-/г == 8,

 

 

 

 

12.

П усть

Л — множество

всех

решений

уравнения

а

ß — мно­

 

жество

всех

 

решений уравнения 4 т - | - 2 п = 1 2 . Опишите пересечение

Л

и В .

13*.

Рассмотрим множество всех натуральных чисел, делящихся на 2, и

 

множество всех натуральных

чисел,

делящихся на 3.

 

 

 

 

 

 

 

a)

Опишите

 

пересечение

этих

двух

множеств

и

укажите

какие-либо

 

четыре

его элемента.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B ) Найдите алгебраическое выражение для этого пересечения.

 

 

 

 

 

c)

Опишите

объединение

этих

двух

множеств и укажите какие-либо

шесть

 

 

его

элементов.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

14.

Представим

себе точку Л на доске

или на листе бумаги. Сколько

пря­

 

мых на плоскости доски или листа

бумаги содержат

точку Л? (Прямые,

 

содержащие точку Л, образуют некоторое множество,

элементами

которого

 

они являются. Сколько элементов содержит это множество?)

 

 

 

 

15.

а)

Даны две

различные

 

точки

Л и

В .

В множестве

всех прямых

сколько

 

 

имеется элементов, содержащих одновременно Л

и В?

(Часто

этот

вопрос

 

 

формулируют иначе: сколько прямых можно провести через

две

данные

 

 

точки Л

и

ß?)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b)Даны три точки Л, В и С, не принадлежащие одной прямой. Сколько имеется прямых, содержащих две из этих трех точек?

c)Даны четыре точки Л , В , С и D , никакие три.из которых не принадле­ жат одной прямой. Сколько имеется прямых, содержащих две из этих то­ чек? Сколько было бы таких прямых, если бы были заданы пять точек,

никакие три из которых не принадлежат одной прямой.

d)* В задачах а), Ь) и с)

ставился

один и тот же вопрос, но число заданных

точек было различно.

Ответьте

на тот же вопрос, если задано п точек.

16+ . При перечислении всех подмножеств данного множества в число этих мно­

жеств

включают

само множество и пустое множество. Так, множество {а , Ь}

имеет следующие

подмножества:

 

 

 

{а , Ь }, {а } , {Ь } , ф .

Таким

образом,

множество с двумя элементами имеет четыре подмножества.

a) Перечислите все подмножества множества

{а, Ь, с} .

B ) Сколько подмножеств имеет множество из

четырех элементов?

c)Сколько подмножеств имеет множество из пяти элементов?

d)Сколько подмножеств имеет множество из п элементов?

§ 2. ПОРЯДОК НА ЧИСЛОВОЙ ПРЯМОЙ

Первыми числами, которые вы изучали, были натуральные числа

1, 2, 3, 4, 5, . ..

Эта последовательность натуральных чисел не имеет конца, потому что, как бы далеко мы ни зашли, всегда можно продви­ нуться еще на шаг, прибавив к надлежащему числу 1. Мы мо­ жем себе представить, что натуральные числа расположены на пря­ мой и идут слева направо:1*

0 - О--- О—- О■■

1

2

3

и

5 ■■■

32

Смотрите также файлы