ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 09.04.2024
Просмотров: 235
Скачиваний: 0
гические доказательства. Утверждения, которые мы будем до казывать, называются теоремами.
Хотя почти все наши утверждения-будут доказаны как теоремы, будут и некоторые исключения. Простейшие и наиболее фун даментальные из наших утверждений не будут доказываться. Они называются аксиомами. Точно так же и простейшими и
наиболее |
фундаментальными понятиями геометрии мы будем |
||||
свободно |
пользоваться, |
вовсе не пытаясь их определять. |
Эти |
||
понятия называются неопределяемыми понятиями. |
|
|
|||
На первый взгляд может показаться, что лучше |
определить |
||||
к а ж д о е |
понятие, которым мы пользуемся, и доказать к а ж д о е |
||||
из высказываемых |
нами утверждений. Но совсем легко убедиться, |
||||
что этого |
сделать |
нельзя. |
|
|
|
Рассмотрим сначала |
вопрос о теоремах. Обычно, |
когда |
мы |
доказываем какую-нибудь теорему, мы показываем, что она ло гически следует из теорем, которые нами уже были доказаны раньше. Но всегда проводить доказательства таким образом
нельзя. В частности, п е р в о |
е доказательство, которое нам встре |
||
тится, так проведено быть |
не может, потому что в этом случае |
||
вообще нет теорем, которые |
были бы уже доказаны |
до этого. |
|
Но с чего-нибудь начать |
необходимо. Это значит, что |
некоторые |
|
утверждения мы обязаны |
принять без доказательства. |
Такие не |
доказанные утверждения и являются аксиомами.
Тот же принцип применим и к определениям. По большей части, когда мы вводим новое понятие, мы определяем его, поль зуясь понятиями, которые уже были определены раньше. Но всегда так поступать невозможно. В частности, п е р в о е из наших
определений сформулировать таким |
образом нельзя, потому что |
в этом случае вообще нет понятий, |
которые были бы определены |
ранее. Это значит, что некоторые геометрические понятия мы обязаны ввести, не давая им никакого определения. Именно по тому мы будем пользоваться простейшими и наиболее фундамен тальными геометрическими понятиями, не предпринимая попытки их определитьТакими фундаментальными неопределяемыми по нятиями будут понятия: точка, прямая и плоскость.
Аксиомы, конечно, выбираются отнюдь не произвольно. (В про тивном случае ни один разумный человек не стал бы обращать на них никакого внимания.) Аксиомы описывают основные свой ства пространства. Точно так же и идеи точки, прямой и плос кости подсказываются некоторыми физическими объектами. Если мы нанесем карандашом точку на листе бумаги, то получим вполне удовлетворительное изображение геометрической точки. Чем острее карандаш, тем лучше это изображение. Такое изо бражение всегда будет только приближенным, потому что точка, нарисованная карандашом, всегда занимает некоторую площадь,
в то время как геометрическая точка площади не имеет. Но |
если |
вы вообразите, как все более и более острые карандаши |
нано |
20
сят все меньшие и меньшие точечки, то вы получите хорошее представление о том, что мы понимаем в геометрии под словом «точка».
Под «прямой» мы всегда будем понимать прямую линию. Пря мая линия бесконечно простирается в обоих направлениях. Обычно мы указываем это на наших рисунках, пририсовывая в концах изображенной части прямой стрелки.
Эти стрелки должны напоминать нам, что прямая не кончается там, где обрывается чертеж.
Для фигуры вроде изображенной ниже мы будем пользоваться другим термином — «отрезок». Хорошее представление об отрезке дает туго натянутая веревка. Еще точнее изображает отрезок сильно натянутая тонкая струна рояля и т. д.
Если вы вообразите совершенно ровную поверхность, бесконечно простирающуюся в каждом направлении, то вы получите хорошее представление о том, какой должна быть плоскость.
Следует иметь в виду, что все вышесказанное —это не опреде ления. Это только объяснение тех идей, которыми люди руководст вовались, когда выбирали аксиомы. Когда мы приступим к дока зательству теорем, единственной информацией о точках, прямых и плоскостях, которой мы сможем пользоваться, будет информация, даваемая аксиомами.
В заключение сделаем два предостережения.
Во-первых, существуют пределы того, что логика может для нас сделать. Логика позволяет проверять наши догадки. Но прежде такие догадки должны возникнуть, и тут от логики большой по мощи ждать нельзя. При изучении математики вы никогда не до стигнете той ступени, когда можно будет продвигаться без изобре тательности или не руководствуясь своей интуицией.
Во-вторых, первые несколько теорем, которые мы докажем, не произведут сильного впечатления: вас может удивить, почему мы просто не объявили их аксиомами, после чего их вообще не при шлось бы доказывать. Но эта первая часть, во всяком случае, бу дет легкой; наберитесь терпения, прочтите текст и переходите к за дачам.
В начале следующей главы мы дадим краткий очерк идеи мно жества и краткий обзор свойств действительных чисел. Этим ма
21
териалом мы будем пользоваться на протяжении всего курса. |
Мы |
||||
будем, однако, относиться к нему, |
как к орудиям, |
которыми |
мы |
||
строим здание геометрии, а не как |
к |
тому, что |
мы |
строим. |
Мы |
не станем формулировать специальных |
аксиом и |
теорем для |
этих |
понятий, а будем считать, что они имеются в нашем распоряжении
с самого начала. В некоторых |
из наших аксиом будут фигуриро |
||||
вать действительные |
числа, а |
алгеброй мы будем |
пользоваться |
||
в доказательствах. |
На |
самом |
деле, |
геометрия и алгебра очень |
|
тесно связаны, и обе эти |
науки |
легче |
изучать, если |
начать с ус |
|
тановления связи между |
ними. |
|
|
|
ЕВКЛИД (третий век до нашей эры)
Евклид, пожалуй, имел самый большой успех из всех когда-
либо живших авторов научных сочинений. |
Его |
знаменитая |
книга |
||||||
«Начала» является учебником геометрии |
и |
теории |
чисел. |
За |
две |
||||
с лишним тысячи лет каждый, кто изучал геометрию, учил |
ее |
по |
|||||||
Евклиду. И за все это время «Начала» служили для |
всех |
образ |
|||||||
цом логического рассуждения. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Никто сегодня не знает, какая часть изложенного в «Началах» |
|||||||||
принадлежит самому Евклиду. Коечто |
могло опираться |
на |
более |
||||||
|
ранние |
работы, |
и |
предпо |
|||||
|
лагается, что |
некоторые из |
|||||||
|
наиболее важных |
геометри |
|||||||
|
ческих |
идей |
в |
«Началах» |
|||||
' |
восходят к Евдоксу, |
кото- |
|||||||
рый жил примерно в то же |
|||||||||
|
время, что и Евклид. Во |
||||||||
|
всяком |
случае, |
из |
книг, |
|||||
|
дошедших |
до |
нас, |
«Нача |
|||||
|
ла» |
являются |
первой кни |
||||||
|
гой, |
в |
которой |
изложение |
|||||
|
геометрии |
проведено |
в ор |
||||||
|
ганизованной логичной фор |
||||||||
|
ме, отправляясь от несколь |
||||||||
|
ких |
простых |
положений и |
||||||
|
вырастая из них с помощью |
||||||||
|
логических |
рассуждений. |
|||||||
|
С тех пор этот метод |
||||||||
|
стал основным в математи |
||||||||
|
ке. |
Замечательно, |
что |
он |
|||||
|
был |
открыт |
так |
рано |
и |
||||
|
был применен так хорошо. |
||||||||
|
Логика в математике игра |
||||||||
|
ет ту же роль, что |
экспе |
|||||||
|
римент в физике. |
И |
в ма- |
22
тематике и в физике у вас может возникнуть идея, которая ка жется вам правдоподобной. Но в физике лучший способ убедиться в ее правильности - пойти в лабораторию и попытаться ее про верить, а в математике —еще немного поразмышлять и попытаться
еедоказать.
Вто время как общий метод Евклида сохраняет силу, его аксиомы и основанная на них теория сегодня уже являются мало
употребительными. Благодаря развитию алгебры использование чисел для измерения геометрических величин приобрело фунда ментальное значение. Этот метод в «Началах» не встречался, потому что ‘во времена Евклида алгебра еще почти не была известна.
Задачи к § 2
1.Ученик, желающий узнать значение слова «измерение», обращается к толко вому словарю. В словаре в качестве его синонима указано слово «размер». Затем ученик в свою очередь находит синонимы этого слова. Он составляет следующую таблицу:
—величина
— протяженность — или
-длина — наибольшее измерение
измерение — размер — |
или |
-измерение
-величина — или
— размер
a)Выделите из этой таблицы «круговой (или циклический) список», состоя щий из трех терминов, каждый из которых имеет в качестве синонима следующий за ним. (В «круговом списке» первый термин считается сле дующим за последним.)
B ) Составьте «круговой список», состоящий из четырех терминов. |
|
|||||||||
2+ . Составьте |
таблицу, |
аналогичную таблице |
задачи |
1, |
начав с какого-либо |
|||||
другого слова в |
словаре. |
|
|
|
|
|
|
|||
3. Что, по вашему |
мнению, неправильно |
в |
следующих |
непригодных |
«опре |
|||||
делениях»? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a) Квадрат есть |
нечто |
некруглое. |
|
|
|
|
|
|
||
B ) Окружность есть нечто круглое. |
|
|
|
|
|
|
||||
c) Прямоугольный треугольник есть треугольник, |
углы |
которого — прямые. |
||||||||
d) К равностороннему |
треугольнику мы |
приходим, |
если |
треугольник имеет |
||||||
три стороны одной |
и той же длины. |
|
|
|
|
|
|
|||
e) Диаметр окружности есть прямая, проходящая |
через |
центр этой |
окруж |
|||||||
ности. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4. Ответьте |
на тот |
же |
вопрос, что и в задаче |
3. |
|
|
|
|
a)Периметр прямоугольника получится, если образовать сумму длин его сторон.
B ) Длина окружности получится, если вы умножите диаметр на л .
c)Плоская фигура, имёющая четыре стороны, являтся прямоугольником, если ее противоположные стороны имеют одну и ту же длину.
23
d) Равносторонний треугольник есть треугольник, |
который |
имеет три |
|||||
стороны и три |
угла и все |
стороны которого имеют одну и ту |
же длину, |
||||
а все углы — одну |
и ту |
же |
величину. |
|
|
||
e) Треугольник |
образуется |
тремя прямыми, которые |
попарно |
пересекают |
|||
друг |
друга. |
|
|
|
|
|
|
5+ . После |
того как |
вы |
прочитали § 2, вы должны быть |
в состоянии решить, |
|||
верно или ошибочно |
каждое из следующих утверждений: |
|
a)Каждое понятие геометрии можно определить с помощью более простых геометрических понятий.
B ) Теоремы доказывают только на основании определений и неопределяемых понятий.
c)Строгое геометрическое рассуждение приводит к геометрическим истинам, которые могут быть выведены из измерений.
d)Лучший способ научиться доказывать теоремы состоит в том, чтобы вни мательно разобрать ряд примеров их доказательства.
e)Если захотеть описать все необходимые шаги, то каждую теорему можно
доказать |
исходя |
из |
аксиом |
и неопределяемых понятий, |
|
не ссылаясь ни |
|||||||
на какие |
другие теоремы. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
f) Любое |
|
утверждение, |
которое |
кажется |
истинным, можно |
было бы |
взять |
||||||
в качестве аксиомы. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
6+ . Допустим, |
|
что |
вы |
в |
состоянии плотно обтянуть стальной лентой |
очень |
|||||||
большую |
сферу,, |
скажем поверхность Земли по |
ее экватору. |
Длина |
ленты |
||||||||
должна |
быть приблизительно равна 40 000 км. |
Допустим, |
что |
в эту |
ленту |
||||||||
вставлена |
добавочная |
стальная |
полоска |
длиной |
2 м так, |
что |
новая |
лента |
больше уже плотно |
не прилегает к |
сфере. |
Удлиненная лента будет отходить |
||
от сферы, |
и ее радиус будет чуть-чуть |
больше радиуса |
первоначальной |
||
ленты. На |
сколько |
будет отходить |
от сферы удлиненная |
стальная лента? |
|
(Если вам потребуется радиус Земли, то можете считать его |
равным 6400 км .) |
МНОЖЕСТВА, ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА И ПРЯМЫЕ
§ 1. МНОЖЕСТВА
Может случиться, что слово «множество» вы в математике не встречали, но соответствующая идея вам, наверное, хорошо знакома. Ваша семья есть множество людей, состоящее из вас, ваших родителей и ваших братьев и сестер (если они имеются). Эти люди являются элементами данного множества. Ваш класс в школе также есть некоторое множество людей. Про любой эле мент множества говорят, что он принадлежит этому множеству. Например, вы принадлежите вашей семье и вашему классу. Про множество говорят, что оно содержит свои элементы или что оно состоит из своих элементов. Например, и ваша семья и ваш класс содержат вас. Если одно множество содержит каждый эле мент некоторого другого множества, то мы говорим, что второе множество является подмножеством первого. Например, ваш класс является подмножеством множества всех учеников вашей школы, а это последнее множество включает ваш класс. (Мы говорим,
что |
подмножество |
включено в то |
множество, частью которого |
оно |
является.) |
при определении |
подмножества мы не исклю |
Заметим, что |
чили возможности совпадения подмножества со всем множеством. Таким образом, каждое множество является также своим соб ственным подмножеством.
Когда мы говорим, что два множества равны, или пишем ра
венство А = В, |
связывающее два |
множества |
А и В, мы |
имеем |
|
в виду только |
то, что эти два множества имеют в точности одни |
||||
и те же элементы. Предположим, |
например, |
что А есть |
множе |
||
ство всех целых чисел, заключенных между 9 -j и 14-—, |
а |
В — |
|||
множество всех целых чисел, заключенных |
между 9-^ |
и 14-|-. |
|||
Тогда А — В, |
ибо каждое из множеств А и В состоит из |
чисел |
10, 11, 12, 13 и 14. Фактически почти всегда одно и то же мно жество можно описать несколькими разными способами. Поэтому из того, что описания выглядят различно, вовсе еще не следует, что различаются и сами множества. С тем же самым мы сталки ваемся и в алгебре. Выражения 3-17 и 39+12 выглядят раз лично, но они описывают одно и то же число; именно это мы и имеем в виду, когда пишем 3-17 = 39+12.
Два множества пересекаются, если существует хотя бы один элемент, принадлежащий каждому из них. Например, ваша семья и ваш (школьный) класс пересекаются, поскольку вы являетесь элементом и своей семьи и своего класса. (Вернее всего, вы яв ляетесь единственным общим элементом этих двух множеств.) Пе ресечение двух множеств есть множество всех объектов, принад лежащих обоим этим множествам.
27