При преобразованиях выражений (13.14) было принято во внимание, что на основании зависимости (13.9) текущее значение s = s^".
Взаимодействие нити с вращающимися дисками. На рис. 13.8, а представлена схема передачи с гибкой упругой нитью. К ведущему
Рис. 13.8
диску / приложен движущий момент М д в , к ведомому диску 2 — момент сопротивления Мс. Отношение угловых скоростей СОХ И СО2 дисков 1 и 2 — постоянное. Ведомый диск приводится в движение силами трения, передаваемыми от упругой нити.
Для лучшего понимания, как осуществляется передача сил, рассмотрим модель, изображенную на рис. 13.8, б в виде диска 2,
охваченного упругой нитью 3. Диск должен быть приведен во вра щение вокруг О2 упругой нитью, к концам которой приложены усилия sx и s2 (|s2 | > I Si I); к диску приложен момент сопротив ления Мс . Представим сначала, что к концам нити приложены равные по величине усилия sx. Так как нить упругая, усилия sx приведут к растяжению нити. Относительное удлинение нити
|
8 1 = - Йг . |
' |
1(13.15) |
где Е — модуль упругости ленты; F — площадь поперечного се |
чения. |
|
|
|
Рассматривая условия равновесия бесконечно малого элемента |
нити, приходим к выводу, что при s2 |
= sx силы трения |
между |
нитью и диском равны нулю. |
|
|
Пусть |
затем к концу А ' ветви А А ' |
прикладывается |
усилие |
s2 >> sv |
Нить получит дополнительное |
по отношению к первона |
чальному растяжение и начнет скользить по диску 2. Скольжение начнется в точке Л, а затем распространится на некоторой дуге АС, определяемой углом 6 2 - < а 2 . При скольжении нити появятся силы трения скольжения, которые для диска 2 будут движущими силами. Угол В 2 должен быть такой величины, чтобы силы трения, развиваемые на дуге АС, могли создать момент, равный моменту сопротивления. После этого диск 2 будет приведен во вращение.
Обозначим через da( 3 2 ) перемещение нити по диску, возникающее при возрастании натяжения нижней ветви нити от sx до s2. Силы трения скольжения, приложенные к нити, противоположны по
направлению |
da<32>, т. е. |
|
|
|
|
|
sign(ciF<3>) = —sign (da<32>). |
(13.16) |
Диску 2 от нити 3 будут сообщены силы трения dF<2 ) , совпадаю |
щие по направлению |
с |
da( 3 2 ) |
|
|
|
|
sign(dF<2>) = |
sign (cfa<32>). |
(13.17) |
Арифметическая сумма сил трения, развиваемая на |
дуге АС, |
определяется |
выражением, аналогичным (13.11). Следовательно, |
S |
dFm = |
S |
dFm |
= sx |
(в"»' - 1) = s2 - si. |
(13.18) |
Очевидно, |
что при |
(о2 |
— const |
|
|
|
|
|
E d F |
( 2 ) |
= i k . |
(13.19) |
Диск 2 может быть приведен нитью в движение лишь в том слу чае, если В2 <; а 2 , г д е а 2 — угол охвата. На основании выражений (13.18) и (13.19) получим
« . > b = f [ l n ( - £ + 1 ) ] - |
< 1 3 - 2 0 > |
Если зависимость (13.20) не соблюдается, это означает, что скольжение нити распространяется на всю дугу охвата и от нити
невозможно привести |
во вращение |
диск |
2. Под действием усилий |
sx и s2 нить будет скользить по диску |
2, |
остающемуся при |
этом |
неподвижным. Хотя |
скольжением |
будет |
охвачена вся дуга |
АВ, |
момент от сил трения, передаваемый диску, окажется меньше мо мента сопротивления.
Обратимся к схеме (рис. 13.8, в), иллюстрирующей взаимодей ствие нити с диском в предположении, что диск — ведущее звено, а нить — ведомое. В отличие от предыдущего случая силы трения 2 Л 1 ) , передаваемые диску / от нити 3, являются не движущими силами, а силами сопротивления; диск приводится в движение
приложенным к нему моментом М д в . |
нити 3 приложены |
|
Представим сначала, что к концам |
равные |
по величине усилия s2 . Под действием |
этих усилий нить |
растя |
гивается, и ее относительное |
удлинение первоначально составит |
e8 |
= - g r . |
|
(13.21) |
Пусть затем натяжение в ветви ЕЕ' уменьшается до значения sx . Вследствие уменьшения натяжения ветвь ЕЕ' начнет укорачи ваться и нить начнет скользить по диску в направлении da( 3 1 ) . Диску / от нити 3 будут сообщены силы трения скольжения d F ( 1 ) , направление которых совпадает с направлением da< 3 2 ) . Арифмети ческая сумма сил трения dF(l) должна быть такой величины, чтобы
|
|
%dFW |
= - ^ 2 - = |
s1 (e«« — 1). |
|
(13.22) |
При записи выражений (13.19) и (13.21) не были учтены потери |
на трение в опорах 0 2 и |
Ог. |
|
что скольжение |
Диск 1 увлечет с собой нить, если окажется, |
нити распространится на дуге ЕК <С ED, где ED — дуга охвата. |
В противном случае |
(р\ = a t ) вращение диска будет |
сопровож |
даться буксованием |
нити. Во избежание этого необходимо, чтобы |
|
|
a 1 > p 1 |
= - i - [ l n ( - 4 k - + l ) ] . |
|
(13.23) |
Перейдем теперь к рассмотрению сил в самой передаче, для |
чего |
обратимся |
к |
рис. |
13.8, г, |
построенному |
на |
основании |
рис. 13.8, б, в. Эпюры нормальных давлений qn можно |
рассматри |
вать и как эпюры натяжений s нити, повернутых |
на 90°; при этом |
s = |
q(n3)rkb (k = |
1, 2). Из эпюры s (рис. 13.8, г) очевидно, что одни |
и те же участки |
нити, пробегая над ведущим и ведомым дисками, |
попеременно удлиняются и укорачиваются. При прохождении элементом нити участка ЕВС относительное удлинение ех оста нется постоянным, затем при прохождении дуги СА относительное
удлинение увеличивается (нить удлиняется), возрастая |
в точке А |
до значения |
е 2 . После этого относительное удлинение |
останется |
неизменным |
пока элемент нити не переместится в точку К- При |
прохождении дуги КЕ относительное удлинение уменьшится (нить укоротится), достигнув значения гх в точке Е. Из этого ясно, что в передаче с гибкой нитью трение нити сопровождается пере менными деформациями. Скольжение на дугах с углами р \ и Р 2 можно назвать упругим, так как после прохождения этих участков меняется направление деформации гибкой нити.
Буксование нити по шкивам исключается при соблюдении зави симостей (13.20) и (13.23). Можно показать, что при соблюдении
зависимости |
(13.23) зависимость |
(13.20) будет выполнена. Это сле |
дует из того, что ах < |
а 2 ( а х = |
2я — а 2 ) , a |
- ^ Э - . При про- |
чих равных |
условиях |
опасность буксования |
нити уменьшается |
с увеличением коэффициента трения скольжения нити и ее натя |
жения. |
|
|
|
|
В сбегающей и набегающей на ведомый диск нити натяжения s2
и S j являются различными (рис. 13.8, г). |
При установке |
нити на |
дисках ей должно быть сообщено начальное натяжение s0, |
связан |
ное с натяжением sx и s2 |
зависимостью |
|
|
|
« 1 + |
«2 |
|
(13.24) |
|
|
|
|
Согласно выражению |
(13.22) |
|
|
|
S i ^ - T r 1 |
— — = |
- т |
^ - ~ • |
(13.25) |
Используя зависимость, аналогичную выражению (13.10), по лучим, что
Подставив выражения (13.25) и (13.26) в (13.24), получим
Во избежание буксования нити необходимо, чтобы угол охвата a i > Pi- Поэтому начальное натяжение нити
s o>(4- + 7 ^ r r ) ^ - |
( 1 3 -2 8 ) |
Следует учитывать, что при увеличении натяжения нити воз
растают давления в опорах дисков и увеличиваются |
напряжения |
в нити. Дл я определения давлений в опорах нужно |
воспользо |
ваться выражениями (13.14). |
|
13.4. П Е Р Е Д А Т О Ч Н О Е О Т Н О Ш Е Н И Е
Передача движения гибкой связью сопровождается упругим скольжением нити по дискам. Вследствие этого оказывается, что скорость перемещения нити и окружная скорость диска равны друг другу только на дугах покоя — тех участках дуги охвата, на которых упругое скольжение отсутствует. На других участках дуги охвата скорость перемещения нити в абсолютном движении (по отношению к стойке) не совпадает с окружной скоростью диска.
Ограничимся выводом передаточного отношения при передаче движения посредством двух дисков (рис. 13.8, а ) . Способ вывода можно применить и для других схем передач с гибкой нитью.
Рассмотрим сначала взаимодействие нити с ведущим диском. На дуге покоя DK (рис. 13.8, в, г) упругое скольжение отсутствует и скорость перемещения нити равна окружной скорости диска, т. е.
v(D = - ^ - , |
(13.29) |
где dl — длина дуги бесконечно малого элемента |
нити. |
На дуге КЕ вследствие упругого скольжения скорость v i 3 ) перемещения нити в абсолютном движении (по отношению к стойке) не совпадает с окружной скоростью диска; она определяется урав нением
У < 3 |
) = У < 3 ) + |
У ^ 3 |
1 ) = У ( 1 ) |
+ ^ 3 |
1 ) . |
|
(13.30) |
Здесь v £ 3 ) = v a ) |
— скорость перемещения |
точки |
нити в пере |
носном движении вместе с диском /; v ' 3 1 ) |
— скорость перемещения |
точки нити относительно диска 1. |
Величина v ' 3 |
1 ' |
зависит от поло |
жения точки нити на дуге КЕ, |
направление v £ 3 |
I ) |
противоположно |
направлению v ( 1 ) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Найдем значение і>л31) в точке Е, в которой вследствие измене |
ния натяжения от sa |
до sx |
длина элемента dl изменится на величину |
daw |
= |
(є2 — ex)dl |
= ^jp-dl. |
|
|
|
(13.31) |
Скорость перемещения нити по диску / в точке |
Е составит |
|
(31) _ |
rfa(31) |
_ |
&, — S l |
dl |
|
|
|
/ І Ч Ч 9 \ |
В точке Е скорость абсолютного движения |
нити |
|
|
|
0 ™ |
= 0 * > - ± = ± « . . |
|
|
|
(13.33) |
Учитывая, что |
|
= |
t/W, |
получим |
|
|
|
|
|
|
v(3) = vw |
( l _ |
J ^ £ L |
) . |
|
|
|
(13.34) |
