Используя передаточную функцию (12.111), запишем соответ ствующее ей дифференциальное уравнение
Т * х - \ - Ъ Т х - \ - х = КЪ. |
(12.112) |
Это уравнение неоднородное. Общее решение его состоит из об щего решения однородного уравнения
|
Тгх + (2ХГх-\-х = Ъ |
(12.113) |
и частного решения неоднородного уравнения |
(12.112). |
Так как |
возмущающая |
функция 6 = const, частное решение |
уравнения |
(12.112) будет |
|
|
|
|
JC= /C8. |
(12.114) |
Это решение соответствует |
установившемуся |
значению х = хуй^, |
которое наступает по прекращении переходного процесса, т, е. когда і = 0 и х = 0.
Вид общего решения однородного уравнения (12.113) и харак тер переходного процесса определяются корнями характеристи ческого уравнения
|
П а4 -2 5 П + 1 = 0 , |
(12.115) |
равными |
|
|
|
, |
- е ± К г2 - 1 |
(12.116) |
|
Л1,2 —'-------------------- |
|
|
т |
|
|
Пусть корни Хі и А-2 различны, т. е. |
Тогда общее реше |
ние однородного уравнения будет суммой |
двух составляющих |
С |
и Сгв*2', а общее |
решение уравнения |
(12.112) запишется |
в виде |
|
|
|
- ^ = С 1еМ + с аех>'+ АГ, |
(12.117) |
где Сі и Сг — произвольные постоянные, определяемые из на чальных условий (в нашем случае начальные ус ловия нулевые, т. е. при ^ = 0 х = 0 и і = 0).
Для определения постоянных С\ и Сг имеем систему .из двух алгебраических уравнений. Первое получаем из (12.117) под становкой х = 0 при ^ = 0:
0 = С і-(-С24-АГ. |
(12.118) |
Второе уравнение получим, продифференцировав (12.117) и по ложив х — 0 при /= 0:
0 = С 1Х 4-С2Х2. |
* |
(12.119) |
Из (12.118) и (12.119) найдем
СХ= К — ^ — ; C2= K - ~ h . |
(12.120) |
При анализе переходного процесса необходимо различать три случая: £<1, |= 1 и £>1 (см. табл. 12.3).
Колебательный переходный процесс
Колебательный переходный процесс является обычным для летательных аппаратов. Он имеет место, когда |< 1 , т. е. когда'
( « и + а п |
|
+ а 42)2 |
( 12. 121) |
^ ' п У > |
^ |
’ ^ 11^ 42' |
Как видно, колебательный переходный процесс наблюдается, когда статическая устойчивость летательного аппарата доста точно велика по сравнению с демпфированием.
Подставив выражение
в (12.117) и (12.120) и заменив с помощью формул Эйлера комп лексные величины вещественными, получимпереходную функцию
= 1 — е ^^cosurf-l— У- sin arfj |
(12.122) |
или
- |
|
(|2Л23) |
где |
|
|
1g?i = — = |
- |
(12.124) |
V i — & |
|
|
Вещественная часть пары сопряженных корней характеристи ческого уравнения при £<1 у любого летательного аппарата яв ляется отрицательной:
а \ \ + а 12 + а 42
т2
так как всегда йц, ап и ап положительны. Поэтому рассматри ваемый колебательный переходный процесс летательного аппара та оказывается всегда затухающим.
Коэффициент
аи + ÖJ2 + Й42
12.125)
называют коэффициентом демпфирования (или затухания) *. Чем больше этот коэффициент, тем быстрее затухают свободные колебания летательного аппарата.
Коэффициент демпфирования выражается формулой
£1 М' я + К
которую можно переписать в виде
|
|
■57,3с;- |
|
pVS |
|
|
42.127) |
|
Т |
'Л |
4m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Как и |
прочие |
динамические коэффициенты, |
коэффициент |
|
|
|
|
демпфирования |
|
зави |
|
|
|
|
сит от высоты и скоро |
|
|
|
|
сти полета. На рис. 12.9 |
|
|
|
|
приведен |
пример |
изме |
|
|
|
|
нения |
коэффициента |
|
|
|
|
демпфирования |
снаря |
|
|
|
|
да «Эрликон». |
|
сте |
|
|
|
|
Заметим, |
что |
|
|
|
|
пень статической устой |
|
|
|
|
чивости |
не |
влияет на |
|
|
|
|
затухание |
свободных |
|
|
|
|
колебаний летательно |
|
|
|
|
го аппарата. |
|
|
|
|
|
|
|
Углов'ая |
|
частота |
Рис. 12.9. |
Изменение |
собственной |
частоты |
свободных |
колебаний |
и коэффициента демпфирования |
снаряда |
(при наличии |
демпфи |
«Эрликон» в течение полета |
|
рования) |
будет |
|
|
Ѵ і - р |
^ 1 2 + яп«42— |
(яи + |
аіа + а:«)2 рад/с. |
(12.128) |
|
На частоту свободных колебаний летательного аппарата вли яет главным образом коэффициент статической устойчивости а12. С увеличением этого коэффициента частота колебаний возрас тает.
* Относительный коэффициент демпфирования | представляет собой коэффициент демпфирования |/Г, отнесенный к частоте колебаний 1 /Т.
При отсутствии демпфирования (ап + а'и + а 42 = 0) |
угловая |
частота колебаний в переходном процессе равнялась бы |
|
wc = V |
(12. 129) |
Частоту сое свободных колебаний при отсутствии демпфирования будем называть собственной угловой частотой колебаний.
Частота собственных колебаний в Гц определится формулой
Период собственных колебаний будет соответственно равен
Тсоб = - ^ — = 2яТ. |
(12.131) |
“ с |
|
Собственная частота является важной динамической харак теристикой летательного аппарата. Влияние конструктивных па раметров аппарата, а также параметров движения на собствен ную частоту легко проследить с помощью формулы (12.93). Оче видно, что собственная частота
|
Ѵ а 12 _ |
1 |
л [ |
- 5 7 ,3 mazqSbA |
(12.132) |
|
'2л |
_ |
2л У |
І г |
|
|
Как и постоянная времени Г, собственная частота летательного аппарата зависит главным образом от момента инерции, степени статической устойчивости и скоростного напора.
С изменением скорости и высоты полета, а также центровки
летательного аппарата собственная частота может изменяться |
в несколько раз. Так, например, у снаряда |
«Эрликон» собствен |
ная частота 1 /Г меняется более чем в 7 раз |
(см. рис. 12.9). |
Апериодический переходный процесс |
Когда относительный коэффициент |
демпфирования |= 1 , |
корни характеристического уравнения являются равными и отри цательными Хі = %2 ——1 IT. Общее решение однородного уравне ния (12.113) при этом имеет вид
|
|
= |
С2ех^ + |
|
(12.133) |
|
Определив произвольные постоянные из начальных условий, |
|
общее решение уравнения |
(12.112) |
получим в следующем виде: |
|
X |
1 - |
Ле |
(12.134) |
|
К8 |
|
|
|
|
|
