В рассматриваемом случае переходный процесс служит границей колебательных переходных процессов. Свободное движение с те чением времени затухает.
Когда относительный коэффициент демпфирования £>1, оба корня характеристического уравнения являются вещественными.
Решение уравнения (12.112) в этом случае принимает вид
л: _j Х2еХі< — Х1еХа<
(12.135)
Свободное движение летательного аппарата состоит из двух апериодически затухающих движений, накладывающихся одно на другое. В этом случае изменение коэффициента статической устойчивости уже влияет на затухание собственного движения. При уменьшении статической устойчивости затухание одной из составляющих собственного движения увеличивается, а другой уменьшается.
Время переходного процесса
Нетрудно заметить, что в решенцях (12.123), (12.134) и (12.135) уравнения (12.112) собственная частота сос= 1/Г стоит множителем при независимой переменной t.
Рис. |
12.10. |
Характер переходного процесса Ѳ(/), |
nv (t) |
и a(t) |
в зависимости от относительного коэф |
|
|
фициента демпфирования |
Поэтому можно изменить масштаб, времени и ввести безраз мерное время i = t/T. Тогда уравнение (12.112) запишется в виде
Из этого уравнения следует, что характер переходного процесса определяется только относительным коэффициентом демпфиро вания I, а собственная частота юс определяет масштаб процесса по оси времени. На рис. 12.10 даны графики переходных процес сов для различных значений |, построенные по этому уравнению.
Рассматривая кривые |
обнаруживаем, что наи |
более короткий (в безразмерном |
времени) переходный процесс |
получается при |~ 0 ,8 (точнее при | = 0,75). В |
этом случае дли |
тельность переходного процесса равна г^ ^ З Г |
= ----- . |
^ (1>с При данном значении £, время переходного процесса обратно
пропорционально собственной частоте колебаний со0, или други ми словами, прямо пропорционально постоянной времени Т.
Максимальные отклонения и величина перерегулирования
Воспользуемся полученными выше выводами для определе ния максимальных значений параметров Ѳ, а, пу после ступенча
того отклонения органов уп |
|
|
|
равления (рис. 12.11). Как |
|
|
|
было показано выше, харак |
|
|
|
тер переходного |
процесса |
|
|
|
определяется только |
относи |
|
|
|
тельным |
коэффициентом |
|
|
|
демпфирования £. При | ^ 1 |
|
|
|
максимальное |
отклонение |
|
|
|
параметра |
движения х рав |
|
|
|
но установившемуся его зна |
|
|
|
чению: |
|
|
Рис. 12.11. Максимальное отклонение в |
■^mах==■Х'уст =г |
|
(12.137) |
переходном |
процессе |
|
|
|
|
|
Рассмотрим поэтому случай, когда |< 1 . Используя |
(12.122), |
запишем |
|
|
COS ud |
|
|
|
|
х-= Xуст |
S in |
w t |
(12* 138) |
Максимальное значение х в переходном процессе будет достигнутав момент времени, определяемый условием х = 0:
т. е. через половину периода после начала переходного процес са, и будет) равно
о 2-140)
Увеличение параметра движения (перегрузки, угла атаки и др.) по сравнению с его установившимся значением обычно на зывают забросом
хэа6 = хтах~ Луст- |
(12.141) |
Относительный заброс* равен отношению заброса к установив шемуся значению параметра:
-* *т а х |
- ^ у с т |
(12.142) |
о |
|
•^уСТ
Максимальное значение определится через о и хуст выражением
(12.143)
Очевидно, что при ступенчатом отклонении руля |
|
£ |
it |
|
а е Т |
со = е Ѵ\ — £2 |
(12.144) |
Как видно, относительный заброс о при ступенчатом отклоне нии органов управления зависит только от относительного коэф фициента демпфирования |. У беспилотных летательных аппара тов обычно I мало и относительный заброс о может оказаться весьма большим, особенно при полете на больших высотах, если не предусмотрена система автоматической стабилизации.
Вообще говоря, величина относительного заброса с зависит от динамических свойств системы стабилизации, включающей в себя аппаратуру управления и летательный аппарат.
При проектировании летательного аппарата и системы стаби лизации желательно как можно больше уменьшать величину заброса перегрузки, чтобы снизить величину перегрузки, на ко торую производится расчет летательного аппарата на прочность.
Изменение угла наклона траектории летательного аппарата с закрепленными крыльями
При ступенчатом отклонении руля высоты изменение угла на клона траектории при £<1 описывается соотношением, которое
* «Перерегулирование», по терминологии теории автоматического регу' лирования.
легко можно получить, интегрируя выражение (12.123)
|
ѳ |
Т |
|
■р |
|
|
|
|
■ 2 6- |
sin I Ѵ |
і - р t - |
ар, , (12.145) |
|
къ |
т |
|
|
V 1- |
е2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
tg 2срх= |
2£у 1— е2 |
(12.146) |
|
|
|
|
|
1— 2£2 |
|
|
Соответствующий переходный |
процесс |
изображен на |
рис. 12.12. Сравним амплитуды колебаний углов а и Ѳ. Колеба
ния угла атаки описываются |
Ѳ/К8 ,с |
|
|
|
|
формулой |
(12.123), |
в |
кото |
|
|
|
|
рую следует подставить пе |
— |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
редаточный |
коэффициент по |
W |
|
|
|
|
углу |
атаки,. . |
равный |
КТ\. |
|
|
|
|
Сравнивая |
|
(12.123) |
и |
0,75 |
|
|
|
|
(12.145), замечаем, |
что амп |
|
|
|
|
литуда |
колебаний |
угла на |
|
|
|
|
|
клона траектории в T\jT раз |
0,5 |
|
|
|
|
меньше амплитуды |
колеба |
|
|
|
|
|
ний угла атаки. У многих |
о,25 |
|
|
|
|
аппаратов с жестко |
закреп- |
|
|
|
|
|
ленными |
крыльями |
вели- |
|
0,25 0,5 |
0,75 |
1,0 |
t,C |
чина |
|
|
|
|
|
|
|
|
V 0^2 + 011042 |
|
Рис. 12.12. Изменение угла Ѳ в пере |
|
|
|
ходном |
процессе |
летательного |
аппа |
|
|
: |
«42 |
|
|
рата |
с закрепленными |
крыльями |
настолько велика, что колебания продольной оси по существу сводятся к колебаниям угла атаки.
Изменение угла тангажа
Изменение во времени угловой скорости продольной оси ле тательного аппарата при ступенчатом отклонении органов управ ления тангажом определяется соотношением
= 1 — е- Р |
У |
1 - 2 6 - р - + |
X |
|
1 — б2 |
|
|
|
Xcos Ѵі — г2 |
|
(12.147) |
|
где |
|
|
|
|
|
|
|
tg(?i + ?2) |
V 1 - |
£2 |
(12.148) |
|
|
|
|
|
|
Интегрируя (12.147), получим |
|
|
|
Къ |
|
— |
+ |
Т* X |
|
|
Г , |
7 |
7 |
|
|
|
1- 2* |
/ 7 , \2 |
|
У 1— г2 ,, |
|
|
X |
т - + [ - г |
sin 1 -- - - - -г'+ Тг |
(12.149) |
|
і - г 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
где |
|
|
|
|
|
|
*g?2= |
У 1- г2 |
2е |
(12.150) |
|
1-282 + г |
|
|
|
|
Графическое изображение переходных процессов, описываемых соотношениями (12.147) и (12.149), дано на рис. 12.13.
Рис. 1:2.13. Изменение ft
и ■6' в переходном про цессе
4.4.ЧАСТОТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ЛЕТАТЕЛЬНОГО АППАРАТА
Общие сведения
Частотные характеристики летательного аппарата дают пред ставление о способности аппарата следить за отклонением орга-
нов управления. Они служат также исходными материалами для проектирования и исследования системы управления.
Остановимся кратко на физическом смысле частотных харак теристик летательного аппарата. Предположим, что органы уп равления отклоняются по гармоническому закону:
8(£) = 80 sin о)в/,
где бо — амплитуда колебаний органов управления; (ов — угловая частота вынужденных колебаний в град/с.
Возмущенное движение аппарата будет складываться из сво бодного движения, которое может быть как апериодическим, так и колебательным, и вынужденных колебаний, имеющих ту же частоту (Ов, что и колебания органов управления.
Так, например, изменение кинематических параметров Ѳ, пу и а в случае гармонического отклонения органов управления опи сывается уравнением
Г 2— |
\ 2\ Т - ^ - + |
х = К Sosin |
%t, |
(12.151) |
d p 1 |
dt 1 |
u |
B |
|
общее решение которого может быть представлено в виде |
•X= C1ex'<+ C2eX2<-{-.ü80sin («/-(-ер). |
(12.152) |
Величины D и ф определяются известными формулами: |
Р К ) = |
Л_ |
* ..... . |
; |
(12.153) |
|
|
|/(1— о>2Г2)2+ 4520)272 |
|
|
<Р((0в ) = — arctg - 2--"Ѵ— |
• |
(12.154) |
|
|
|
1-<Т2 |
|
|
Как видно из |
(12.154), колебания параметров |
Ѳ, пу и а за |
паздывают по фазе относительно колебаний органов управления.
Например, максимальные по абсолютной |
величине значения Ѳ, |
% и а получаются позже максимальных значений б. |
Если £<1, то корни Яі и Х2 являются |
комплексными сопря |
женными и общее решение уравнения (12.151) может быть пред ставлено в виде
_ 1-1 ____
х = С — 6 - -— cos ( У^— J L t —<pj ) -(-D80 sin К!?+'Р)> (12.155)
Vl - £2 \ T >
• где С и фі — произвольные постоянные, определяемые начальны ми условиями.
В общих решениях (12.152) и (12.155) выражения |
|
л:с= С 1ех«<+ С 2ех*< |
(12.156) |
