Файл: Лебедев А.А. Динамика полета беспилотных летательных аппаратов учеб. пособие.pdf

Вычтем равенства (2.1) из (2.2) и (2.2а), разделим на At и перейдем к пределу при Д/—>-0. Тогда получим

где q и к — секундные расходы, количества движения и момента количеств движения через поверхность S в момент времени t:

Соотношения (2.3) имеют кинематический характер й поэ­ тому справедливы как для инерциальной, так и неинерциальной системы координат, а также для любой подвижной и деформи­ рующейся поверхности 5.

Пусть замкнутая поверхность S, ограничивающая систему переменного состава 2, является недеформирующейся. Такую по­ верхность будем называть твердой оболочкой системы 2. В слу­ чае ракеты, например, твердой оболочкой является поверхность,, проходящая через поверхность ракеты и выходное сечение сопла*

Введем систему осей координат Ox\tj\Z\, неизменно связанную с твердой оболочкой 5. Эта система осей в общем случае не яв­ ляется инерциальной, так как движется вместе с оболочкой про­ извольным образом относительно инерциальной системы осей координат Oxyz.

Определим изменение количества движения и момента кот личеств движения относительно системы осей Ox\y\Z\. Индексом «г» отметим все величины в относительном движении, относи­ тельную производную обозначим через б/dt. Тогда соотношения (2.3) примут вид

где qr и kr — относительные секундные расходы количества дви­ жения и момента количеств движения через по­ верхность S в момент времени t.

Для примера вычислим qr. Рассмотрим .элемент dS поверхно­

рvndS — секундный расход массы через элемент dS. Тогда эле­ ментарный относительный секундный расход количества движе­

* Направление внешней нормали к поверхности S принимается положи­ тельным.

74

ния будет равен рvnvrdS. Геометрическая сумма этих элементар­ ных расходов будет

1.2.ТЕОРЕМА О КОЛИЧЕСТВЕ ДВИЖЕНИЯ

Теорему об изменении количества движения, согласно которой производная по времени от количества движения системы равна главному вектору внешних сил, можно применить только к сис­ теме 2*, имеющей постоянную массу.

Пусть F — главный вектор (равнодействующая) внешних сил, действующих в момент времени t на систему переменного соста­ ва 2, а следовательно, и на систему 2*.

Тогда в рассматриваемый фиксированный момент времени t

(2.6)

dt

Теперь надо связать равенства (2.4) с уравнением (2.6). Для этого представим абсолютное движение каждой частицы систе­ мы 2* как сложное. Пусть движение частицы относительно обо­ лочки 5 и осей Ox\y\Z\ будет относительным. Тогда переносным движением частицы будет ее движение вместе с оболочкой 5 и осями Ox\tj\Z\ относительно инерциальной системы координат

Oxyz.

Абсолютную, переносную и относительную скорости частицы обозначим через ѵ і , Ѵів и ѵь-, а ускорения соответственно через ёи äie и йіт. Кориолисово ускорение частицы обозначим äik.

Очевидно, что

75

В спом н и м , что

Следовательно, вектор 2^гг-йг> представляет собой производную количества движения системы 2* в относительном движении:

представляет собой главный вектор кориолисовых сил инерции. Поскольку среда 2 непрерывно меняет свой состав, можно' говорить лишь о движении твердой оболочки S относительна осей Oxyz, т. е. о переносном движении среды 2. В момент вре­ мени t системы 2 и 2* совпадают и имеют одинаковое значение

вектора 2 т гаг-<>.

Таким образом, переносное движение среды 2 в момент вре­ мени t описывается следующим уравнением, которое получим из уравнения (2.6), используя (2.8), (2.9), (2.10) и кинематическое соотношение (2.4):

Все члены правой части этого уравнения имеют размерность силы. Вектор (—qr) можно рассматривать как главный вектор реактивных сил, обусловленных переносом количества движения среды через поверхность 5. Силы, главный вектор которых ра­

никают вследствие нестационарности относительного движения среды и обусловлены изменениями (вариациями) количества движения относительно осей Ox\y\Z\, Если относительное движе­ ние среды стационарное, т. е. в каждой точке, неподвижной от­ носительно осей 0 х\у\2 \, плотность среды и скорость частиц ѵіг не меняются с течением времени, то вариационные силы равны нулю.

Левую часть уравнения (2.11) необходимо привести к обыч­ ному виду. Однако теперь не можем записать равенства, анало­ гичные (2.7), так как между переносными скоростями и ускоре­ ниями имеет место следующая связь *:

где со — угловая скорость вращения системы координат Ox\y\Z\-

* См., например [16], § 74.

76

Поэтому введем фиктивные скорости ViS с помощью соотно­ шения

вать следующим образом. Это количество движения можно по­ лучить, если представить, что в момент времени t система пере­ менного состава 2 затвердела, т. е. прекратилось движение час­ тиц относительно твердой оболочки (гТіг= 0). Тогда переносные ускорения частиц системы 2 будут равны абсолютным ускорени­ ям частиц полученного таким путем фиктивного твердого тела. Обозначим это фиктивное твердое тело через S.

Меняя момент-затвердевания t, получим различные твердые тела 5, которые ограничены одной и той же твердой оболочкой 5 и отличаются друг от друга только величиной своей массы и распределением ее внутри оболочки. Различные тела S можно рассматривать и как одно фиктивное «твердое тело переменной массы», внутри которого с течением времени возникают или исче­ зают материальные частицы, неподвижные относительно твердой оболочки тела. Как видно, движение фиктивного твердого тела S совпадает с движением реальной твердой оболочки S.

’ Для производной по времени от количества движения тела S

Это уравнение представляет собой запись теоремы об изменении количества движения системы переменного состава. Оно показы­ вает, что для определения движения тела 5 и, следовательно, твердой оболочки S к числу внешних сил надо отнести внешние

риолисовы силы Fк и вариационные с и л ы ----- .

1.3. ТЕОРЕМА О МОМЕНТЕ КОЛИЧЕСТВ ДВИЖЕНИЯ

Результат, аналогичный приведенному в разд. 1.2, можно по­ лучить и для теоремы об изменении главного момента количеств движения системы переменного состава.

Рассмотрим твердое тело S, которое получилось бы при за­ твердевании системы переменного состава 2 в некоторый момент времени і. Твердое тело 5 неизменно связано с оболочкой 5 и,

77

начиная с момента времени t, движется вместе с нею. Примем центр масс твердого тела 5 за начало О системы координат Ox\y\Z\. (Центры масс системы 2 и тела 5 совпадают.)

Введем следующие обозначения для моментов относительно точки_0 (индекс «О» будем опускать):

K s— главный момент количеств движения тела S при дви­ жении относительно осей, проходящих через центр масс О и движущихся поступательно;

М — главный момент всех внешних сил, действующих на систему 2 в момент времени t\

—кг — главный момент реактивных сил;

МК— главный момент кориолисовых сил;

8Кг

-------------главный момент вариационных сил.

С помощью рассуждений, аналогичных изложенным в разд. 1.2, получим для момента времени t

Это уравнение описывает вращательное движение твердой обо­ лочки S относительно центра масс О системы переменного сос­ тава 2.

1.4. ПРИНЦИП ЗАТВЕРДЕВАНИЯ

Обобщая теоремы об изменении количества движения и глав­ ного момента количеств движения системы переменного состава, можно сформулировать следующий принцип.

Уравнения движения твердой оболочки системы переменного состава 2 в произвольный момент времени t могут быть записа­ ны в виде уравнений движения твердого тела постоянного соста­ ва, если представить, что в этот момент времени система пере­ менного состава 2 затвердела и что к полученному таким обра­ зом фиктивному твердому телу приложены: 1) внешние силы, действующие на систему 2; 2) реактивные силы; 3) кориолисовы силы и 4) вариационные силы.

§ 2. СИЛА ТЯГИ РЕАКТИВНОГО ДВИГАТЕЛЯ

Принцип затвердевания применим к реактивному летательно­ му аппарату, поскольку последний представляет собой частный случай системы переменного состава с твердой оболочкой. Одна­ ко для летательного аппарата формулировку этого принципа следует видоизменить, так как в инженерной практике использу­ ется определение реактивной силы, несколько отличающееся от принятого в разд. 1.2.

Для определения силы тяги реактивного двигателя восполь­ зуемся уравнением (2.13), описывающим движение твердой обо-

78