Файл: Лебедев А.А. Динамика полета беспилотных летательных аппаратов учеб. пособие.pdf

ми: к, X, |л. Кинематическое уравнение вращательного движения

аппарата связывает угловые скорости и, Я, ц с угловой ско­ ростью аппарата ю:

При практических исследованиях векторные уравнения дви­ жения летательного аппарата заменяют скалярными, проекти­ руя каждое векторное уравнение на какие-либо три оси коор­ динат.

В задачах динамики летательного аппарата могут использо­ ваться различные системы координат. Во многих случаях удач­ ный выбор системы координат значительно упрощает исследо­ вание. Для изучения полета обычно применяются декартовы прямоугольные правые системы координат и соответствующие им сферические системы координат. *

3.4. УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ЛЕТАТЕЛЬНОГО АППАРАТА В ПРОЕКЦИЯХ НА ВРАЩАЮЩИЕСЯ ОСИ КООРДИНАТ

Исследование полета летательного аппарата может быть значительно упрощено за счет удачного выбора системы коор­ динат. Практически всегда оказывается наиболее целесообраз­ ным получать уравнения вращательного движения аппарата проектированием соответствующего векторного уравнения на связанные с аппаратом оси. Однако выбор системы координат для составления скалярных уравнений движения центра масс аппарата во многом зависит от рассматриваемой задачи.

Спроектируем уравнение (2.39) на произвольные прямо­ угольные оси координат, имеющие начало О в центре масс ле­

тательного аппарата. Пусть Q — угловая скорость вращения этих осей относительно неподвижных. Как известно из механики (см., например [17], § 178), проекции уравнения (2.39) на ука-" занные подвижные оси будут иметь следующий вид:

на подвижные оси;

89

~EFX, ~ZFy, ~ZFz — проекции всех сил, действующих на лета­ тельный аппарат, на подвижные оси.

Для составления уравнений вращения летательного аппара­ та относительно центра масс воспользуемся векторным уравне­

В момент затвердевания t твердое тело 5 и реактивный ле­ тательный аппарат имеют одинаковое распределение масс, сле­ довательно, у них совпадают центры масс, направления глав­ ных центральных осей инерции и значения h(t), h(t), h(t) мо­ ментов инерции относительно этих осей.

Поскольку движение тела 5 совпадает с движением корпуса летательного аппарата, они будут иметь одну и ту же угловую

скорость вращения со относительно инерциальной системы коор­ динат и в момент времени t равные проекции этой скорости на главные центральные оси инерции (соі, озг, шз).

_ Согласно принципу затвердевания проекции производной dK/dt в момент времени t следует вычислять по Обычным пра­ вилам механики, как для твердого тела с постоянными момен­ тами инерции. Поэтому, приняв за координатные оси главные центральные оси тела и воспользовавшись известными резуль­ татами динамики твердого тела (см., например [17], § 178), мо­ жем написать уравнения вращательного движения в форме Эйлера:

где 'ZMx, EMS, 2Л43 — суммы проекций моментов сил на главные центральные оси инерции.

Уравнения (2.46) записаны для произвольного, но фиксиро­ ванного момента времени t. Меняя момент затвердевания t, бу­ дем получать твердые тела 5 с различными моментами инерции и направлениями главных центральных осей инерции. Следова­ тельно, уравнения (2.46) в различные моменты времени t пред­ ставляют собой проекции уравнения (2.42) на различные оси ко­ ординат. Чтобы уравнения вращательного движения (2.46) записать в одной системе координат, необходимо учесть враще­ ние главных центральных осей инерции относительно корпуса летательного аппарата.

В дальнейшем будем пользоваться уравнениями (2.46), пред­ полагая, что направления главных центральных осей инерции

90

остаются неизменными относительно корпуса летательного ап­ парата во все время горения топлива. Такое предположение является вполне допустимым, так как учет вращения главных

§4. ОСИ КООРДИНАТ, ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ

ИКИНЕМАТИЧЕСКИЕ СООТНОШЕНИЯ

4.1. ОСИ КООРДИНАТ

Для исследования движения летательного аппарата приме­ няются прямоугольные правые системы координат: земная, свя­ занная, скоростная, полусвязанная, полускоростная и др.

З е м н а я с и с т е м а о с е й к о о р д и н а т

Оси этой системы Охз уз z 3 (рис. 2.3) неподвижно связаны с Землей и участвуют в ее суточном вращении. Сокращенно их называют земными осями.

Рис. 2.3. Земная система осей координат:

тельная к местному меридиану в точке М; ф — азимут запуска

Начало земных осей выбирается где-либо на поверхности Земли, например, в точке старта летательного аппарата. Ось Оуз направлена по радиусу-вектору, проведенному из центра общего земного эллипсоида через точку старта; ось Охз ,— го­ ризонтально в каком-либо произвольном направлении; н’апри-

91

мер, ось О хз удобно направить так, чтобы плоскость полета совпадала с плоскостью Охзуз', ось Охз образует с плоскостью местного меридиана угол г|з, называемый азимутом запуска-, ось ÖZ3 направляется так, чтобы система координат была правой.

С т а р т о в а я с и с т е м а к о о р д и н а т

Стартовая система координат Oxcyczc (рис. 2.4) также свя­ зана с Землей и вращается вместе с ней. Начало координат рас­ положено в точке старта; ось Оус направлена вверх по линии отвеса, т. е. противоположно направлению силы тяжести; ось Охс образует с плоскостью местного меридиана угол азиму­ та запуска г|г, ось Огс соответствует правой системе координат.

На старте связанные оси баллистической ракеты ориентиру­ ются по осям стартовой системы (рис. 2.5). Продольная ось ра­ кеты Ох 1 совмещается в осью Оус\ поперечная ось Оу\ направ­ ляется в сторону, противоположную оси Охс\ ось Ozi направ­ ляется по оси Ozc.

Н а ч а л ь н а я с т а р т о в а я с и с т е м а о с е й к о о р д и н а т

Оси начальной стартовой системы координат Ox0yoZo в мо­ мент пуска совпадают с осями стартовой системы. В дальней­

92