Файл: Лебедев А.А. Динамика полета беспилотных летательных аппаратов учеб. пособие.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 09.04.2024

Просмотров: 245

Скачиваний: 16

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

шем оси начальной стартовой системы не изменяют своего пер­ воначального направления относительно инерциального про­ странства, а оси стартовой системы, жестко связанные с Зем­ лей, поворачиваются за время t на угол о)3 t вокруг оси враще­

ния Земли. Начальная стартовая система координат является инерциальной системой координат.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

/

Г е о ц е н т р и ч е с к а я с и с т е м а к о о р д и н а т

Эта система координат с началом в центре Земли и с осями,

связанными

с Землей, уже использовалась выше при

изучении

поля земного тяготения. Опорны­

 

 

 

 

ми плоскостями

в рассматривае­

 

 

 

 

мой системе

координат

служат

 

 

 

 

плоскости экватора

и начального

 

 

 

 

меридиана.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Положение центра масс лета­

 

 

 

 

тельного

аппарата

при этом

мо­

 

 

 

 

жет определяться

или тремя

де­

 

 

 

 

картовыми координатами х, у, z,

 

 

 

 

или, что более удобно, тремя сфе­

 

 

 

 

рическими координатами к, срц, г.

 

 

 

 

Долгота к и геоцентрическая ши­

 

 

 

 

рота фц отсчитываются, как было

 

 

 

 

показано

выше,

на рис. 1.3. Ко­

 

 

 

 

ордината

г

 

представляет

собой

 

 

 

 

расстояние

 

от

центра

Земли

Рис. 2.6.

Местная географиче­

до центра масс летательного ап­

ская система координат

парата.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

М е с т н а я г е о г р а ф и ч е с к а я с и с т е м а

к о о р д и н а т

Начало

этой системы

координат

OxTyTzT (рис.

2.6)

совпада­

ет с центром

масс

летательного аппарата;

ось Охг

проведена

параллельно касательной к меридиану места в северном направ­ лении; ось Оуг направлена по радиусу-вектору г; ось Oz^ парал­ лельна плоскости экватора.

С к о р о с т н а я и п о л у с к о р о с т н а я с и с т е м ы

ко о р д и н а т

Внекоторых задачах динамики уравнения движения центра масс летательного аппарата удобно записывать в проекциях на оси координат, связанные с вектором скорости центра масс V. Начало координат О такой системы располагается в _центре масс аппарата; ось Ох направлена по вектору скорости V, т. е. по касательной к траектории в сторону полета; оси Оу и Oz ле­ жат в плоскости, нормальной к траектории полета. При этом в

93

динамике полета ось Оу выбирают как в плоскости симметрии летательного аппарата Охірі, так и в вертикальной плоскости. Первую систему координат будем называть скоростной Oxyzr вторую — полускоростной Oxy^z*.

Матрицы направляющих косинусов

К о с и н у с ы у г л о в м е ж д у о с я м и с в я з а н н о й и н а ч а л ь н о й с т а р т о в о й с и с т е м к о о р д и н а т

Ориентация летательного аппарата относительно начальной стартовой системы координат определяется тремя углами между

 

 

 

связанной

OxiyiZi

и началь­

 

 

 

ной стартовой

ОхоУо%о систе­

 

 

 

мами

координат

(рис. 2.7):

 

 

 

углом рыскания g — меж­

 

 

 

ду

проекцией

продольной

 

 

 

оси

летательного

аппарата

 

 

 

Ох1

на

плоскость

Ox0z0

и

 

 

 

осью

Охо;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

углом тангажа фт — меж­

 

 

 

ду продольной осью аппара­

 

 

 

та

ОхI

и плоскостью OxoZ0;

 

 

 

углом

крена т) — между

 

 

 

поперечной

осью

 

Оу\

и

 

 

 

плоскостью,

проходящей че­

 

 

 

рез оси

ОхI

и

Оу0.

между

 

 

 

 

Косинусы

 

углов

Рис. 2.7. Ориентация

связанных

осей

осями связанной

и

началь­

относительно начальных

стартовых

осей

ной

стартовой

систем коор­

динат приводятся в табл. 2.1. Найдем косинусы углов между осями начальной стартовой и связанной систем координат. Для этого через центр масс лета­ тельного аппарата — начало связанной системы координат, про­ ведем оси OxoyoZo, параллельные осям начальной стартовой си­ стемы координат. Повернем эту систему на угол \ вокруг оси Оу0 так, чтобы плоскость Ох'у' прошла через ось Ох,. Обозна­

чим полученную систему через Ox'y'z'.

Формулы преобразования координат удобно записывать в. матричной форме. Обозначая матрицу-столбец с элементами x', y', z' через [x'], т. е.

ГX'

ИУ

z'

94

Таблица 2.1

Косинусы углов между осями связанной и начальной стартовой систем координат

Оси

Ох і

Оу і

O z \

О х а

O y a

cos £ cos <рт

sin <pT

— cos £ sin <pTcos 7j +

COS <pr COST]

+ Sin £ Sin Yj

 

cos £ sin y T sin Y] +

— COS <pTSin Yj

+ sin £ cos Yj

 

O z 0

— sin £ cos <pT

 

cos

£ sin 1) +

+

sin

£ sin <pT cos Y)

 

cos

£ cos Yj —

—

sin

£ sin <pT sin T]

а с элементами х0, уо, z0 через |хо], получим следующую форму­ лу перехода от системы Ox0yoZo к системе Ox'y'z':

[*']= Г е[х0],

(2.47)

где матрица Tg перехода от системы координат Ox0yoZo к систе­ ме Ox'y'z' имеет вид

cos £ 0 — sin £

*

0

1

0

(2.48)

sin t

0

COS £

 

 

 

Повернем систему Ox'y'z' вокруг оси Oz' на угол фт так, чтобы ось Ох" совпала с осью Оху, полученную систему обозна­ чим через Ox"y"z". Соответствующая формула преобразования координат при повороте осей на угол <рт будет иметь вид

[■*"]= ГЛ*'],

 

(2.49)

где

 

 

 

cos <+>T

sin <pT

0

 

sin <PT

COS cpT

0

(2.50)

0

0

1

 

Поворотом вокруг оси Ох" на угол т] совместим оси Оу"' и Oz'" с осями Оу 1 и Oz\. Переход от системы Ox"y"z" к системе OxiyiZi осуществится посредством формулы

[•*і]= Г, [-*"],

(2.51)

95

где

1

0

0

 

0

COS 7j

sin Tj

(2.52)

0

— Sin 7)

COS Tj

 

Подставляя выражения (2.47) и (2.49) в зависимость (2.51), получим матричное уравнение перехода от начальных старто­ вых осей к связанным:

[а:1]= Г Т(Г9Г?[ л:0]= Г [ л:0],

(2.53)

в котором матрица Г представляет собой таблицу направляю­ щих косинусов, т. е. косинусов углов между осями начальной стартовой и связанной систем координат (см. табл. 2.1):

cos 5 cos <pr1

sin 9

T

 

— sin 5 cos f T

sin, 5 sin

 

) —

COS yT COS

У)

COS$Sinr;-|-

— cos£ sin<f>TcosT)

 

+ sin£,,sin <fT cos T,

Sin 5

COS

Y

+

— cos<pT

simrj

cos 5 cos г; —

+ cos£ sintf.r sin-fj

— sin$ sin<pTsinij

К о с и н у с ы у г л о в м е ж д у о с я м и с в я з а н н о й и м е с т н о й г е о г р а ф и ч е с к о й с и с т е м к о о р д и н а т

Ориентация

летательного аппарата

относительно местных

географических осей определяется тремя

углами ф, ■0', у, анало­

гичными углам

фт, т).

 

Углом рысканья ф называют угол между местной географи­ ческой осью ОхГ и проекцией продольной оси Oxj на горизон­ тальную плоскость.

Таблица 2.1а

Косинусы углов между связанными и местными географическими осями

Оси

O x i

O y i

O z 1

 

0*г

 

O yT

 

—

0 z r

cos ф cos ft

 

sin ft

 

sin ф cos ft

— cos ф sin

 

ft cos 7 +

cos ft cos Y

cos Ф sin Y +

+

sin

 

ф sin Y

— cos ft sin Y

+

sin

ф sin ft cos Y

cos ф sin ft sin

Y +

 

cos

4

cos Y —

+

sin

4

cos

Y

 

—

sin

ф sin ft sin Y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

96

Углом тангажа ■й называют угол между продольной осью Охі и горизонтальной плоскостью.

Углом крена у называют угол между осью Оу\ и вертикаль­ ной плоскостью, проходящей через продольную ось Ох\.

Углы ф, & и у показаны на рис. 2.8. Направляющие косину­ сы углов между связанными и местными географическими ося­ ми координат приведены в табл. 2.1а.

К о с и н у с ы у г л о в м е ж д у о с я м и п о л у с к о р о с т н о й и м е с т н о й г е о г р а ф и ч е с к о й с и с т е м к о о р д и н а т

В полускоростной системе координат ось Оу* находится всегда в вертикальной плоскости, а ось Oz* всегда горизонталь­ на. Поэтому положение полускоростной системы координат от­ носительно местной географической определяется только на­ правлением оси Ох, т. е. следующими двумя углами (рис. 2.9):

Рис.

2.8. Ориентация

связанных

Рис. 2.9. Переход от местной

осей

относительно местных гео­

географической системы

коор­

 

графических

осей

динат к

полускоростной

систе­

 

 

 

 

ме координат

 

1) углом Ч1-2между проекцией

вектора скорости V на гори­

зонтальную плоскость и осью Охти

_

 

2)

углом Ѳ между вектором

скорости

V и горизонтальной

плоскостью.

Угол Ѳ обычно называют углом наклона траектории к гори­ зонту, угол 4я будем называть углом поворота траектории.

■ Произведем последовательные повороты

местной

географи­

ческой системы координат ОхГуГгГ на углы ¥

и Ѳ до совпадения

направления ее осей с полускоростной системой

координат

Oxy*z* (см. рис. 2.9). В результате получаем:

 

 

4-3422

97

Смотрите также файлы