Файл: Лебедев А.А. Динамика полета беспилотных летательных аппаратов учеб. пособие.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 09.04.2024

Просмотров: 247

Скачиваний: 16

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Векторы ф, Ф и у выразим через проекции на связанные оси,

используя табл. 2.4 и заменяя формально углы <р, т] на ф, ф, у соответственно:

ф=ф (JCJsin 0 -)- уі cos & cos у — z\ cos 9- sin y);

|

9 = 9 (г/} sin Y + ^i cos y);

1(2.63)

y = y x i .

I

Таким образом, проекции вектора со на связанные оси опреде­ ляются следующими выражениями:

tö_r= ^ s in 9-}-у -f Л (cosфцcosфcos 9-j-sin ®usin 9)-|-

\

-j-tp„ sin ^cos 9;

 

v>y= cos 9 cos у 4- 9 sin у -f Л ( — cos уц cos i sin 9 cos у -j-

 

-(- cos срц sin ф sin у + sin <рц cos 9 cos у) —

(2.64)

— срц (cos ф sin Y -f- sin ф sin 9 cos y);

 

mz = — ’ф cos 9 sin у -j-9 cos Y+ A (cos срцсоа ф sin 9 sin y-J-

-f cos Уц sin ф cos у — sin срц cos 9 sin y) —

—срц (cos ф cos у — sin ф sin 9 sin y).

Движение относительно плоской Земли

При полете на сравнительно небольшие дальности, когда Землю можно считать плоской, местные географические оси пе­ ремещаются поступательно относительно земных осей. В этом случае понятие о местных географических осях ничего не дает исследователю. Для изучения полета летательного аппарата относительно плоской Земли достаточно использовать земные оси. При этом ориентация связанных осей относительно земных определяется углами ф, О, у, а ориентация вектора скорости V относительно земных осей — углами Д- и Ѳ. Уравнения враща­ тельного движения летательного аппарата относительно плоской

Земли получим, положив в уравнениях (2.64) ш3 = 0 и і=крц = 0.

Тогда проекции угловой скорости летательного аппарата на свя­ занные оси будут равны

102

 

J Ü .+

J ? i sin »;

 

'

 

dt

dt

 

 

 

(o,, =

d<b

n

.

afft

(2.64a)

—-cos ft cosy 4------ sin v;

y

dt

 

1

dt

 

CJ)z

dfy

 

л .

, rfft

Y-

— — COS

ü Sin Y 4

 

 

----------COS

 

 

dt

 

 

dt

 

Отсюда легко получить уравнения, связывающие производ­ ные углов і|і, ■&и у с проекциями угловой скорости летательного аппарата на связанные оси:

dij

---- — К

C0S Y —шг sin Y);

7 і

cos ft

*

 

dft

^z cos Y;

(2.65)

dt

coy sin Y +

>X— tg & К COS Y — S in

 

dt

Y).

Так как углы ip, ■0, у и

®> Yc введены

одинаковым обра­

зом (и те и другие являются эйлеровыми углами), то все сказан­ ное выше можно распространить и на случай вращения скоро­ стных осей. Так, например, в табл. 2.4 следует вместо £, срт, подставить соответственно Т, Ѳ, ус-

Если через сож', ю /, ю/ обозначить проекции на скоростные

оси вектора со' угловой скорости вращения скоростной системы координат относительно земной, то вместо (2.64а) и (2.65) бу­ дем иметь аналогичные соотношения, например:

 

dТс

dW

sin

 

 

 

 

dt

dt

 

 

 

w =

dW

гл

,

d& .

 

(2.661

----- cos Ѳ cos у. 4--------- sin у.;

у

dt

 

сП

dt

c

 

со’ z

dW

dѲ

dt COS 0sin Yc

dt COS Yc*

Пусть со* — угловая скорость вращения полускоростной сис­ темы координат относительно земной. Обозначим через со**, coy**, coz** проекции этой угловой скорости на полускоростные оси Ох, Оу*, Oz*. Тогда, положив в (2.66) ус = 0, получим

*

dW

 

 

О)X

dt

sin Ѳ;

 

M*

d'V

cos Ѳ;

(2.66a)

у*

dt

 

 

со

ne

 

 

dt

 

 

. 103

4.4. КИНЕМАТИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ЦЕНТРА МАСС ЛЕТАТЕЛЬНОГО АППАРАТА

Оси координат, в которых изучается движение центра масс летательного аппарата, выбираются в зависимости от условий рассматриваемой задачи и, в частности, типа системы управле­ ния. В одних случаях удобно рассматривать движение лета­ тельного аппарата относительно выбранных осей координат, в других — движение цели относительно летательного аппарата.

При изучении движения летательного аппарата положение его центра масс О в векторной форме определяется радиусомвектором

г = АО — АР,

(2.67)

проведенным из начала Р рассматриваемой системы осей коор­ динат (рис. 2.11). Вектор г будем называть вектором дальности„ а прямую РО, проходящую через начало координат и центр масс летательного аппарата, — линией визирования летатель­ ного аппарата.

Рис. 2.11. К выводу кинематиче-

Рис. 2.12. К выводу ки-

ских уравнений движения центра

нематических уравнений

масс летательного аппарата

относительного

движе­

 

ния летательного

аппа­

 

рата и цели

Дифференцируя (2.67), получим кинематическое уравнение движения летательного аппарата в векторной форме:

- ^ = Ѵ - Ѵ Н,

(2.68)

dt

 

где V — вектор скорости летательного аппарата;

Ѵн — вектор скорости начала координат

(носителя).

104

’• При неподвижном начале координат уравнение

(2.68) при­

нимает вид

 

Л — = Ѵ.

(2.69)

dt

 

При изучении относительного движения летательного аппа­ рата и цели в качестве вектора дальности г, определяющего взаимное положение летательного аппарата и цели, целесооб­ разно выбирать вектор, проведенный из центра масс аппарата О в центр масс цели С (рис. 2.12):

r ^ J C - Ä Ö .

(2.70)

Такой выбор вектора г объясняется тем, что для управления летательным аппаратом при самонаведении используются коор­ динаты цели относительно осей, связанных с аппаратом. Пря­ мую ОС, проходящую через центры масс летательного аппара­ та и цели, будем называть линией визирования цели, а вектор г,

как и прежде, вектором дальности.

Дифференцируя (2.70), получим векторное кинематическое уравнение, описывающее движение цели относительно летатель­ ного аппарата:,

- ^ - = Ѵа- Ѵ ,

(2.71)

dt

 

где Ѵц — вектор скорости цели.

Каждому векторному уравнению соответствуют три скаляр­ ных, конкретный вид которых зависит от выбранных осей ко­ ординат.

Рассмотрим, например, движение летательного аппарата от­

носительно плоской Земли.

табл. 2.3 уравнение

(2.69) на

Так,

проектируя

с помощью

земные

декартовы

оси,

получим

следующие скалярные урав­

нения:

 

 

 

 

 

 

 

—

= V cos Ѳ cos Ф";

 

 

 

dt

 

 

 

 

 

^M -= V sin Ѳ;

(2.72)

 

 

dt

 

 

 

— = - l / c o s 0 sin ¥ . dt

В ряде задач, например, при изучении движения телеуправ­ ляемого летательного аппарата, удобнее использовать сфериче­ скую систему земных осей координат.

Как видно из рис. 2.13, положение в пространстве какой-ли­ бо точки О относительно земных осей определяется следующими сферическими координатами:

105

1) наклонной дальностью г; 2 ) углом места ср между радиусом-вектором г и горизонталь­

ной плоскостью; 3) азимутом х> т. е. углом между проекцией вектора даль­

ности г на

горизонтальную

плоскость Рх з 23

и

земной

осью

Р х з.

рис.

2.13 показаны

координатные линии

(г)., (ф), (х) и

На

координатные оси [г], [ф], [%] в

данной

точке

О.

Линией

(г) и

 

 

 

 

 

 

осью [г]

служит

прямая,

 

 

 

 

 

 

выходящая

из

начала

 

 

 

 

 

 

координат

Р

и проходя­

 

 

 

 

 

 

щая через

взятую

точку;

 

 

 

 

 

 

линией

(ф) — окружность

 

 

 

 

 

 

большого

 

круга,

 

осью

 

 

 

 

 

 

[ф] — касательная

к этой

 

 

 

 

 

 

окружности

в

сторону

 

 

 

 

 

 

возрастания угла ф и, на­

 

 

 

 

 

 

конец,

линией

(х)

будет

 

 

 

 

 

 

окружность параллельно­

 

 

 

 

 

 

го круга

радиуса

 

гсоэ'ф,

 

 

 

 

 

 

а осью [х] — касательная к

 

 

 

 

 

 

ней в сторону возрастания

 

 

 

 

 

 

угла X-

 

 

теперь ска­

 

 

 

 

 

 

Составим

Рис. 2.13. Сферическая система

земных

лярные

кинематические

 

 

осей координат

 

 

 

уравнения,

 

проектируя*

 

 

 

 

 

 

(2.69)

на

сферические ко­

ординатные оси в точке О. Как известно из механики

(см, напри­

мер [16], § 79), проекции вектора dr/dt в сферической

системе

координат будут

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

К

dr

' .

1

 

 

 

 

 

 

 

 

dt

’

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

v 9=

 

dy

 

 

 

 

 

 

(2.73)

 

 

 

dt

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Vx = r cos cp dl

)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dt

 

 

 

 

 

 

Чтобы спроектировать на сферические координатные оси

вектор

скорости V, нужно

знать косинусы углов

между

 

векто­

ром V и этими осями.

Косинусы углов между осями сферической и декартовой си­ стем координат можно получить, пользуясь табл. 2.1. При этом

надо

учесть, что углы х и Ф введены так же, как и углы ф и # ;

крен

у сферических осей отсутствует, так как ось [ф] лежит в

вертикальной плоскости, и, кроме того, ось [х] направлена в сто­ рону, противоположную оси Oz\. В результате получим табл. 2.5.

106

Таблица 2.5

Косинусы углов между осями сферической и декартовой систем координат

Ос и Ох з Оуз O z 3

 

И

cos 9 cos у

 

 

sin 9'

— cos 9 sin

X

 

[срі

—

sin 9 cos X

 

 

cos 9

sin 9 sin

X

 

[X]

 

— sin X

 

 

0

— co s X

 

 

 

 

 

 

Направление V относительно земных осей определяется на­

правляющими косинусами

(см., например, табл. 2.3)

 

 

 

cos Ѳ cos ¥ ,

sin Ѳ,

— cos Ѳ sin W.

 

 

Учитывая

(2.73) и составляя

сумму произведений соответ­

ствующих направляющих косинусов, получим

 

d

r

.

'I' COS cp COS X

+ sin Ѳ sin cp -f-

 

^

---- = V (cos Ѳ COS

 

 

 

 

-f cos Ѳ sin ¥

cos cp sin x);

 

 

r

- ^ - = V (— cos Ѳ cos ¥ sin cp cos x-f-sin Ѳ coscp —

(2.74)

 

dt

 

 

 

 

 

 

 

 

 

— cos Ѳ sin ¥

sin cp sin x);

 

 

r cos cp-^L=H ( — cos Ѳ cos ¥ sin x + cos Ѳ sin ¥ cos x)

)

 

dt

 

 

 

 

 

 

или

 

 

 

 

 

 

 

 

----= ]/ co s0 co s(¥ — x) coscp-j- І / sin

Ѳ sin cp;

 

 

dt

 

 

 

 

 

 

 

 

r

— — V cos Ѳ cos (¥ — x) sin cp-J-K sin Ѳ cos cp;

•(2.75)

 

dt

 

 

 

 

 

 

 

 

r cos cp -Q- = V cos Ѳ sin (Ѳ —x).

 

 

 

 

dt

 

 

 

 

 

 

 

Аналогичным

путем

получаем кинематические уравнения

для случая, когда начало координат Р движется в пространстве со скоростью Ѵн■Проектируя (2.68) на сферические координат­ ные оси в точке О, найдем

107

dr

V cos Ѳ cos (Ф — /_) cos у -f- V sin Ѳ sin у —

 

dt

 

 

 

 

— VHcos Ѳн cos (Фң — у) cos у —l/Hsin Ѳн sin у;

 

r

= — V cos Ѳ cos (Ф — y) sin у -j- V sin Ѳ cos у -f-

(2.76)

dt

 

 

 

-f- 1/Hcos Ѳнcos (Фн —x) sin.у — V Hsin Ѳн cos y;

 

r cos y - ^ - = l/ cos Ѳ sin (Ф — x) — VHcos sin (Фн —/.)•

I

 

dt

)

Кинематические уравнения, описывающие относительное движение летательного аппарата и цели, получаются проекти­

рованием (2.71) на сферические координатные оси в

центре

масс цели С:

 

---- = V ucos Ѳц cos (Фц — у) cos у -f- Кц sin Ѳц sin у —

 

 

dt

 

г

— V cos Ѳ cos (Ф — x )cos ? — V sin Ѳ sin y;

J ( 2 . 7

—l/„cos e 4 cos(Wu —x ) s in y + l/u sin e ucosy-|-

-j- V cos Ѳ cos (Ф — x) sin у — V sin Ѳ cos y;

r cos у dt — l/„cos Ѳц sin (Фц —x) —К cos Ѳ sin (Ф — '/)•

§5. УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ЛЕТАТЕЛЬНОГО АППАРАТА

СУЧЕТОМ ФОРМЫ И ВРАЩЕНИЯ ЗЕМЛИ

Полученные выше векторные уравнения движения в принци­ пе могут быть использованы для решения любых технических задач.

Выбирая оси координат для проектирования этих уравне­ ний, всегда целесообразно добиваться упрощения получаемых. скалярных уравнений. По этой причине часто оказывается удоб­ ным при исследовании динамики летательного аппарата исполь­ зовать уравнения движения центра масс аппарата в проекциях на полускоростные оси.

5.1. ПРОЕКЦИИ ОТНОСИТЕЛЬНОГО УСКОРЕНИЯ

Для вывода скалярных уравнений движения центра масс ле­ тательного аппарата спроектируем векторное уравнение (2.39) на оси полускоростной системы координат Oxy*z*. При этом положение центра масс будем определять в геоцентрической сферической системе координат геоцентрической широтой tpH>

108

Смотрите также файлы