Файл: Лебедев А.А. Динамика полета беспилотных летательных аппаратов учеб. пособие.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 09.04.2024
Просмотров: 252
Скачиваний: 16
Аэродинамические силы, действующие на летательный аппа рат, обычно задают либо в скоростной, либо в полусвязанной системе координат. Будем считать, что они заданы проекциями X, У, Z на скоростные оси координат *. Чтобы найти теперь проекции аэродинамических сил на полускоростные оси, обра тимся к табл. 2.2. Пользуясь этой таблицей и учитывая, что ло бовое сопротивление X направлено противоположно скорости полета, получим
R x= - X - , |
|
|
R Vil = Y cos Yc — |
Z sin Y c; |
(2.96) |
Rzt— Y sin Yc + |
-Zcos Yc. |
|
Для определения проекций на полускоростные оси равнодей ствующей силы тяги Р и сил, создаваемых двигателями управ ления Т, разложим сначала эти силы по связанным осям, а за тем, пользуясь матрицей косинусов углов между осями связан ной и полускоростной систем координат, найдем искомые проек ции сил.
Направление силы тяги будем считать совпадающим с осью двигателя, а силу, перпендикулярную этой оси и возникающую вследствие поворота струи воздуха при входе в канал воздуш но-реактивного двигателя, будем относить к аэродинамическим силам У и Z.
Если ось двигателя параллельна продольной оси Охь то про екции силы тяги на полускоростные оси будут соответственно
Рх ~ Р cos а cos ß; |
|
Pyt = P (sin а cos Yc + cos а sin ß sin Yc); |
(2.97) |
Pgt — P (sin а sin Yc — cos а sin ß cos Yc). |
|
Если же ось двигателя составляет некоторый угол срдв с про дольной осью Ох1 (см. рис. 2.15), то в эти выражения следует всюду вместо а подставить а+ ф дв. _
Проекции равнодействующей N силы тяги, аэродинамиче ских сил и сил, создаваемых органами управления, на полуско-
* При исследованиях в аэродинамических Трубах аэродинамические силы измеряют непосредственно в полусвязанных осях. Если летательный аппарат обладает симметрией относительно своей продольной оси или относительно двухвзаимно перпендикулярных плоскостей, проходящих через эту ось, то удобнее задавать аэродинамические силы в скоростных осях.
При составлении уравнений движения самолета аэродинамические силы часто задают проекциями на полусвязанные оси [22].
ИЗ
ростны е оси им ею т вид:
N х — |
( ^ i + |
T’.vi) Tin + Т у{гіп 4- Т 2ІгІЯІ — X; |
|
|
Ny* = |
(Px i + |
Tx l ) rll2 -j- Ty l r l22 4- Tг1т)32+ ^ cos Yc — Z sin Yc; |
(2.98) |
|
N z * = |
(Pjci + |
Т яі) -rll3 + |
^ г/1Т|2з4-7"г17 ]з з 4 -К S in Y C 4 - Z C 0S Y C - |
|
где r\ij — элементы |
матрицы косинусов углов между связанны |
|||
ми и полускоростными осями. |
|
|||
Рис. 2.15. Пример установки стартового двигателя под углом к оси летательного аппарата
5.3. СИСТЕМА УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ
Спроектируем уравнение (2.39) на полускоростные оси ко ординат. Предварительно силы F + P—mje, действующие на ле тательный аппарат, представим в виде
|
|
- m j e + F-\-P = N + Q. |
(2.99) |
||
Здесь F±=R + Gr •— результирующая |
полной |
аэродинамической |
|||
|
_ |
силы и силы притяжения; |
|
||
|
Р — результирующая сил тяги основных двигате |
||||
|
_ |
лей, выхлопных |
патрубков, турбонасосного |
||
_ |
агрегата (ТНА) |
и управляющих двигателей; |
|||
_ G — сила тяжести; |
полной |
аэродинамической |
|||
N = R + P — результирующая |
|||||
|
|
силы и сил тяги. |
|
|
|
Проекции всех членов векторного уравнения движения цент |
|||||
ра масс аппарата |
(2.39) |
на полускоростные |
оси определяются |
||
формулами |
(2.87), |
(2.92), |
(2.95) и (2.98). |
|
|
Динамические уравнения движения центра масс аппарата в проекциях на полускоростные оси имеют вид:
114
V |
m |
|
g r sin Ѳ — g u (cos % cos T' cos Ѳ -)- sin срц sin Ѳ); |
||||||||
|
|
|
|
|
|
- ( — COS <рц cos Ф sin Ѳ -j- |
|
||||
|
N |
|
„ |
cos Ѳ — |
gqy |
|
|||||
è = |
——----- — |
|
|||||||||
m V |
|
V |
|
|
V |
|
|||||
|
|
-f-sin срцСОЭ Ѳ)-|- |
V |
|
cos Ѳ — 2o)3 cos срц sin ЧГ; |
|
|||||
»F = |
|
N , |
g ,0 |
COS <Рц |
sin ¥ |
V tg срц sin W |
COS |
Ѳ |
|||
|
|
cos Ѳ |
|||||||||
|
m V |
V |
|
Ѳfc> |
r |
|
|||||
|
|
|
cos |
|
|
|
|||||
-f-2ci)3 (cos срц cos W tg Ѳ — sin <pj.
(2. 100)
)
Эти уравнения следует дополнить кинематическими уравнени ями движения центра масс аппарата в геоцентрической сфери ческой системе координат:
• |
|
V |
|
|
1 |
|
срц= |
— cos'}' cos Ѳ; |
|
|
|||
|
|
г |
sin ¥ cos |
|
_ ! |
(2.101) |
< |
_ |
r |
Ѳ |
|||
|
V |
coseРц |
) |
|
||
|
|
|
|
’ |
|
|
г= V sin Ѳ
иформулой для определения высоты полета Н, от которой зави сят аэродинамические силы:
Н = г —а |
1—е2 |
(2.102) |
|
1 — е2 cos <рц |
|||
|
’ |
где а и е — большая полуось и эксцентриситет земного. эллип соида соответственно.
Уравнения вращательного движения летательного аппарата вокруг центра масс (2.42) спроектируем на связанные-с аппара том оси координат, вращающиеся относительно земных осей с уг
ловой скоростью ев. Пусть (ох, ay, ft)z — проекции угловой скоро
сти аппарата со на связанные оси. Будем полагать, что связанные оси координат совпадают с главными центральными осями инер ции. Такое предположение нужно для того, чтобы проекции век тора кинетического момента К на эти оси были соответственно
р а В Н Ы |
Іх^хі |
Iz^z* |
с аппара |
Тогда, проектируя выражение (2.42) на связанные |
|||
том оси, получим так называемые динамические |
уравнения |
||
Эйлера: |
|
|
|
115
(2.103)
Моменты инерции летательного аппарата будем считать из вестными функциями массы: /ж(т ), I y(m), Iz(m).
Соотношения между проекциями угловой скорости летатель
ного аппарата на связанные оси координат со*, щ , coz и углами ф, #, у, определяющими ориентацию аппарата относительно мест ных географических осей, определяются кинематическими урав нениями (2.64):
sin ft—(-у -t- Л (cos фцcos Д cos 0 -j- sin ®цsin 9)4-
J-cp.jSin 'iicos 9;
о; —фсоз 9 cos уф- 9 siny ф Л (— cos cpuCOS |
sin 9 cos y-(- |
-f-COS грц sin 4» sin V -f-sin <рц cos 9 cos V’)— |
|
|
(2.104) |
— Фц (cos Фsin Y -f- sin <]>sin 9 cos y); |
|
wz = — ф cos ö sin y-(- 9cos y-f-Л (cos <pucos |
sin 9 sin у -4 |
-{- cos Фц sin ф cos у —- sin фц cos 9 sin y) —
— уц (cos Фcos y —sin ф sin 9 sin y).
Если изменение массы летательного аппарата вследствие вы горания топлива неизвестно, то к записанным выше уравнениям движения необходимо добавить еще одно дифференциальное уравнение:
dm |
— m, |
(2.105) |
|
dt |
|||
|
|
||
где игсек— секундный массовый расход |
топлива, зависящий от |
||
типа двигателя, режима его работы, скорости и вы соты полета.
Режим работы двигателя характеризуется обычно различны ми параметрами: числом оборотов в случае ТРД, соотношением расходов топлива и воздуха в случае ПВРД и секундным расхо дом топлива т Сек в случае ракетного двигателя. В общих рас суждениях режим работы двигателя будем характеризовать па раметром к, представляющим собой отношение тяги двигателя Р(Ѵ, Н) к тяге Рном(Е, Н), развиваемой двигателем при работе
116
с ном инальной интенсивностью :
■— Р(У, Н) ЛюмОЛЯ) ’
или углом бдр отклонения дроссельной заслонки, служащей для регулирования тяги двигателя.
В общем случае величины к, V и Я неизвестны. Поэтому мас са летательного аппарата может быть найдена лишь при сов местном интегрировании уравнений движения летательного ап парата и уравнения (2.105). В случае ракетных двигателей т сек обычно можно считать известной функцией времени тсек (0 - Тогда уравнение (2.105) можно решить независимо от системы дифференциальных уравнений движения:
|
t |
= |
^ mceK{t)dt, |
|
6 |
где m0— начальная масса летательного аппарата.
Как было выяснено в разд. 4.2, из восьми углов ф, О, у, а, ß, Ч', Ѳ, ус пять являются независимыми, т. е. существуют три'связи между этими углами, которые необходимо добавить к написан ным выше уравнениям:
sin 0 = cos а cos ß sin 4 — (sin а cos ß cos y-f-
|
-f sin Psin y) cos 8 ; |
|
|
sin ¥ cos Ѳ= |
cos а cos ßsin ф cos 8 -f sin а cos 3 X |
I |
|
X (cos ф sin у sin ф sin 8 cos y) — |
|||
(2.106) |
|||
— sin ß (cos ф cos у — sin ф sin 8 sin y); |
|
||
sin yc cos Ѳ = |
cos а sin ß sin 8 — (sin а sin ß cos у — |
|
|
|
— cos ß sin y) cos 8 . |
|
|
Система уравнений (2.100) — (2.106), описывающая простран ственное движение летательного аппарата относительно Земли, должна быть дополнена уравнениями системы управления (см. ниже § 6 и 7).
§ 6. УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ЛЕТАТЕЛЬНОГО АППАРАТА ОТНОСИТЕЛЬНО ПЛОСКОЙ ЗЕМЛИ
В дальнейшем рассматриваются только те случаи полета ле тательных аппаратор в атмосфере Земли, когда центробежными и кориолисовыми силами, вызванными вращением Земли, можно пренебречь по сравнению с другими силами. Будем пренебрегать также кривизнойземной поверхности и считать, что сила тяже-
^117
сти направлена вдоль земной оси Оуз, проведенной из точки пус ка летательного аппарата. (Отклонению вертикали на 1° от оси Оу з соответствует дальность полета вблизи поверхности Земли в 111,1 км.) Вследствие такого предположения координата у и высота Н будут тождественны (г/==Я).
Так как сила тяжести направлена в отрицательную сторону оси Оуз, то ее проекции на полускоростные оси Ох, Оу* и Ог* будут соответственно
Ох= — G sin Ѳ; Оу* — — G cos Ѳ; Oz, = 0. |
(2.107) |
Вычислим проекции относительного ускорения на полуско ростные оси.
В полускоростной системе координат
ѴХ = Ѵ; V у*= 0\ |
= |
(2.108) |
Проекции со*, <о* и* угловой скорости вращения полускорост-
иых осей на эти же оси даны равенствами (2.66а). Используя (2.45), (2.66а) и (2.108), получим ускорения центра масс лета тельного аппарата в проекциях на полускоростные оси:
|
dV |
Jx’ |
\ |
|
|
|
dt |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
V |
de |
JyV |
|
(2.109) |
|
|
dt |
|
|
|
|
— V cos Ѳ dW |
:/z*- |
|
||
|
|
|
dt |
|
|
Запишем теперь уравнения движения центра масс летатель |
|||||
ного аппарата в развернутом виде. |
Пользуясь выражениями |
||||
(2.96), (2.97), (2.107) и (2.109), получим |
|
||||
т dV = Р cos а cos 3 — X — О sin Ѳ; |
|
1 |
|||
|
I |
||||
dt |
|
|
|
|
|
m V ---- = P (sin а cos yc + cos а sin ß sin Yc) + |
|
||||
dt |
|
|
|
|
|
-\-Y cos Yc —Z sin YC— G cos Ѳ; |
(2, 110) |
||||
|
|||||
—mV cos Ѳ dW |
P(sin а sin YC— cos а sin ßcos Yc) + |
|
|||
dt |
|
|
|
|
|
|
-f V sin Yc + |
Z cos Yc- |
|
|
|
Левые части этих уравнений содержат проекции ускорения / центра масс летательного аппарата на полускоростные оси коор динат.
118
