Файл: Лебедев А.А. Динамика полета беспилотных летательных аппаратов учеб. пособие.pdf

(8.12) и (8.18), получим формулы для определения потребных перегрузок пу и nz:

Рассмотрим теперь решение следующей кинематической за­ дачи [14]. Пусть движение точки О в пространстве задано зако­ ном изменения ее координат по времени. Требуется определить нормальные составляющие полной перегрузки, которую испыты­ вает точка О при движении по произвольной траектории. Реше­ ние будет иметь наиболее простую и компактную форму, если воспользоваться векторной формой записи кинематических урав­ нений. Удобство такой формы записи состоит еще в том, что по­ лученные результаты легко использовать для составления расчет­ ных соотношений при задании движения точки О в любой систе­ ме координат — сферической, цилиндрической прямоугольной и т. д.

Итак, определим положение точки О в пространстве относи­ тельно неподвижной системы координатных осей РхзУз гз а к ­ тором г = гг°, где г°—-орт радиуса-вектора точки О. Последова­ тельно дифференцируя это векторное соотношение, получим

Если ввести орт вектора скорости Ѵ° и обозначить Ѵ=ѴѴ°, то тогда

j= V = VV°-f-VV°.

Сучетом последних соотношений запишем уравнение, опре­ деляющее нормальное ускорение точки О:

—-і-

где ]п — ѴѴ° — нормальное ускорение точки О;

},■■= ѴѴ° — тангенциальное ускорение.

Для анализа полученного соотношения необходимо спроекти­ ровать его на оси какой-либо координатной системы, для чего следует определить компоненты по этим осям единичного векто­ ра г° и его производных через координаты и их производные точ­ ки О. При выводе необходимо учитывать способ измерения ко­

359

ординат цели и летательного аппарата, так как получающиеся кинематические соотношения наиболее удобны для анализа в том случае, когда их форма связана с системой координатных осей, принятой при измерении координат летательного аппарата и цели, а также при формировании команд управления. Так, на­

ной, можно определить проекции векторов 7°, г° и 7° на оси Рх з,

где і\ J; k — орты неподвижных осей Рхз, Руз и Pz3.

Исходя из этих соотношений, нетрудно записать проекции нор­ мального ускорения точки О на неподвижные оси:

ѵ_■Z.

V

При необходимости значения величин V и V можно также выразить через значения координат и их производных (напои-

мер, Ѵ = Ѵ х 2-\- y 2-\-z2‘y однако при анализе различных методо» наведения удобнее иметь дело с величиной скорости V, так как при таком анализе обычно предполагается, что скорости лета­

360

лом места. (Измерение именно этих координат характерно для радиотехнических методов.) Точкой О в нашем случае может быть летательный аппарат или цель. (В нужных случаях к обо­ значениям координат будут добавляться индексы цели).

В том случае, когда в системе управления используются не прямоугольные координаты летательного аппарата или цели, а

Итак, определим проекции векторов г°, г° и г° на оси Рху, PyY и PZy, выразив их через угловые координаты %и ф. Единичный вектор г° в проекциях на подвижные оси можно записать так:

г в= * ' + 0 7 ' + 0 * ' ,

где Г, у', к ' — орты осей PxY, Руѵ и PzY.

Так как модуль этого вектора постоянен, то производная от него определяется соотношением

г°=“Х г°.

где о) — угловая скорость вращения подвижной системы Pxyyyzy относительно неподвижной системы РхзУз%з-

Если учесть, что проекции вектора со на подвижные оси равны

ш= х sin ? І ' + X cos «р/ + <Р*'-

нетрудно найти, что

г ° — со X /■ “ = 0 / ' -J- / — X coscp к'.

Дифференцируя второй раз, следует иметь в виду, что вектор

г° уже не является единичным и его компоненты зависят от вре­ мени.

361

П оэтом у

r°= •“ X r°+ 0 i'+ <p/_— (x cos <P- X sin w) = = — (?2+ X2cos2 ?) i' + (? + X2 sin T cos cp)/ —

—(X cos cp — 2cpx sin cp)

Сучетом полученных соотношений можно записать проекции нормального ускорения движущейся точки О на подвижные оси:

Выражения (8.56) имеют преимущество по сравнению с вы­ ражениями (8.55), составленными выше в декартовых осях. Это преимущество состоит в том, что ускорения выражаются через те координаты летательного аппарата или цели, которые обычно измеряются при использовании радиотехнических средств наве­ дения.

Напомним, что эти выражения определяют нормальное уско­ рение любого тела, положение которого в пространстве описыва­ ется координатами г, %, ср и которое имеет скорость V и летит с

продольным ускорением V.

Если таким телом является управляемая ракета, например зенитная, то очень часто для нее можно рассматривать r(t), r(t),

V (t) и V (t) как заданные, известные функции времени, мало за­ висящие от условий наведения. Во всяком случае, это справед­ ливо, когда влияние силы тяжести несущественно сказывается на движении ракеты, а сила лобового сопротивления слабо за­ висит от углов атаки ракеты (см. ниже гл. X, § 4).

Если эти условия выполняются, то для данной ракеты выра-

времени, которая вычисляется по результатам расчета неболь­ шого числа типовых траекторий. Это, конечно, заметно упрощает исследование выражений (8.56), определяющих нормальные ус­ корения ракеты при различных методах наведения.

В этом случае, когда выражения (8.56) используют для уче­ та движения цели, можно положить равным нулю продольное

ускорение цели Ёц, так как это ускорение обычно невелико. Таким образом, для исследования нормальных ускорений ра­

кеты можно записать две группы выражений, определяющих

362