Файл: Лебедев А.А. Динамика полета беспилотных летательных аппаратов учеб. пособие.pdf

получать за счет выбора коэффициента k траектории со свой­ ствами, промежуточными между свойствами кривых погони и свойствами траекторий параллельного сближения. В частности, по мере увеличения коэффициента пропорциональности k линия визирования цели вращается медленнее и при k = oo она переме­ щается параллельно самой себе при любых начальных услови­ ях. Соответственно с увеличением коэффициента k траектории наведения все менее и менее отличаются от прямолинейных, а потребные нормальные перегрузки уменьшаются.

Аналитическое исследование траекторий пропорционального сближения может быть проведено только для £ = 2. Мы имеем следующую сиетему кине­ матических уравнений с неизвестными г, ф, тр

где go — постоянная интегрирования, определяемая начальными условиями:

Из уравнения (9.70) следует, что прямое попадание в цель (г=0) воз­ можно, если р > 1. При этом в момент встречи с целью угол упреждения т]*

405

где ф;, и г)ь — значения углов в момент встречи с целью.

Это значит, что при встрече с целью угол упреждения г)ft имеет значение, которое обеспечивает прямолинейный полет с г]= г|л для начального значения

фО= фАУгловую скорость касательной к траектории найдем, используя (9.60),

(9.64), (9.68) и (9.70):

Можно показать [18], что ©-»-const при р cos 8о+1 = 0.

Таким образом, нормальная перегрузка при сближении с целью остается

что соответствует примерно атаке в задней полусфере. Для выполнения ус­ ловия (9.74), в том случае, когда 90°<е0<270°, отношение скоростей р необ­ ходимо ограничивать сверху:

С помощью выражения (9.73) можно установить важные свойства траекторий пропорционального сближения.

Пусть начальное значение угла упреждения выбрано так, что он равен значению, определяющему прямолинейную траекто­ рию:

нейная траектория пропорционального сближения касается пря­ мой. ф=]фй, поскольку ф—>0 при г->0. Следовательно, вблизи

406

цели траектории пропорционального сближения приближаются к прямолинейным траекториям.

При пропорциональном сближении начальный угол упреж­ дения цо может быть выбран таким образом, чтобы направление линии визирования цели мало изменялось в процессе наведения. Как следует из выражения (9.65), при k = 2 изменение угла ср за время полета равно по величине изменению угла упреждения:

угла ф. С увеличением коэффициента k изменение угла ф стано­ вится еще меньше [см. (9.62)].

При пропорциональном сближении также существуют устой­ чивые и неустойчивые прямолинейные траектории. Все другие (криволинейные) траектории располагаются в секторах, заклю­ ченных между устойчивыми и неустойчивыми прямолинейными траекториями, причем эти траектории стремятся отойти от не­ устойчивых траекторий и слиться с устойчивыми. По существу, здесь наблюдается та же качественная картина, как и при наве­ дении по кривым погони с той лишь разницей, что угол между соседними устойчивой и неустойчивой прямолинейными траек­ ториями здесь меньше, чем в случае наведения по кривым пого­ ни. Этот угол тем меньше, чем больше коэффициент пропорцио­ нальности k в уравнении связи. Поэтому траектории при про­ порциональном наведении имеют меньшую кривизну по сравне­ нию с кривыми погони.

Все эти утверждения легко проверить [14]. Действительно, в нашем случае

условие прямолинейности траектории Ѳ=0 в соответствии с уравнением свя­ зи (9.59) эквивалентно условию

V sin т) — Ѵц sin (if — Ѳц) = 0.

Учитывая уравнение связи для метода пропорционального сближения

■Ц= + (1 — к) (<р — То),

где г]о и фо отвечают некоторому начальному моменту движения, получим условие прямолинейности траектории в виде

V sin ho + ( l — £)<f — (1 — k)<f0\ — Ѵц sin (ip— Ѳц) = 0 .

Для упрощения анализа положим, как и прежде, что скорости летатель­ ного аппарата и цели постоянны и цель не маневрирует. Если начальное зна­ чение угла т|о определить из соотношения

V sin т)0 — Ѵц sin (tpo — Ѳцо) = 0,

то получим устойчивую прямолинейную, траекторию при условии, что коэф­ фициент k достаточно велик [см. (9.55)].

Представим теперь, что при неизменном начальном значении угла упреж­ дения Цо (соответствующем данному начальному значению ф0) наведение летательного аппарата начинается с некоторого другого значения угла ф°, не

407

равного фо. Для каждого значения угла ф° получим свою траекторию. Среди семейства всех возможных траекторий, отвечающих различным значениям Ф°, получим и несколько прямолинейных траекторий ф= фі° = сопз1:. Действи­ тельно, уравнение

имеет несколько решений относительно величины ф°, среди которых будет и исходное начальное значение ф0.

Эти решения можно определить, например, графически. Так, на рис. 9.20

чивые. Действительно, легко убедиться в том, что при отклонении от фг° в

сторону увеличения угла получим ф< 0 и появившееся отклонение будет стре­ миться исчезнуть. При отклонении от углов ф°і и ф°з получается обратная

т

На рис. 9.21 приведена схема траекторий пропорционального сближения, соответствующая рис. 9.20. На рис. 9.21 неустойчивые прямолинейные траек­ тории обозначены пунктирными прямыми.

нейных траекторий. При целом k половина этих траекторий будет устойчи­ выми, другая половина — неустойчивыми. При увеличении k секторы между устойчивыми и неустойчивыми траекториями будут сужаться, сами траекто­ рии будут спрямляться и в пределе при переходе к методу параллельного сближения (&->-оо) получим одни прямолинейные траектории (если V и Ѵц постоянны).

Таким образом, при пропорциональном сближении, если ко­ эффициент k достаточно велик, в процессе наведения угол мо­ жет изменяться незначительно. Это позволяет исследовать свой­ ства траекторий более детально, воспользовавшись линеариза­

408

цией кинематических уравнений [14]. Будем исходить из естест­ венного предположения о том, что опорной траекторией является прямолинейная устойчивая траектория, при движении по кото­

рой ср = 0.

Линеаризуем теперь кинематическое уравнение

лр= V sin (с р -Ѳ )-1 /ц sin (ср— Ѳц)

относительно этой траектории, параметры которой обозначим ин­ дексом «*». После линеаризации получим

г= H cos (cp* — Ѳ*) (Дер — ДѲ) —

—Иц cos (cp* — ѲцJ (Дер— ДѲЦ).

Учитывая, что

?* = 0

Здесь, как и выше, рассмотрен для простоты случай, когда V и Ѵц постоянны. Так как для опорной траектории ф,, Ѳ* и Ѳц* — известные постоянные величины, то и V и Ѵц будут известными постоянными величинами. В этом случае расстояние г линейно

Соместное решение этих двух уравнений позволяет исследо­ вать основные качественные свойства траекторий пропорциональ­ ного сближения. Для решения к уравнениям необходимо доба­

409