но
Da= V aT;
D — V 0T-\-V ,
поэтому
t/ц sin <p — V Qsin Y j= _ — sin 7].
Если рассматривать время T как текущее время, оставшееся до момента встречи с целью, то в этом случае величина скорости характеризует текущее, «мгновенное» значение скорости ракеты. Поэтому, воспользовавшись уравнением
V sin 7] — 1/ц sin ср = лр;
получим
гср-|— — sin7] = 0. |
(9.105) |
Таким образом, при равноускоренном движении ракеты и точ ном соблюдении соотношения (9.105) в течение всего времени на ведения траектория ракеты будет прямолинейной.
Для реализации метода необходимо измерять г, ф, V, т|, вы числять Т и в соответствии с соотношением (9.105) назначать, например, угол упреждения. Из примера видно, что реализация метода представляет значительные технические трудности. Мож но упростить метод наведения, если, например, допуская погреш ность, предположить, что Г » —г/г. Тогда уравнение метода на ведения может быть записано в такой форме:
В отличие от метода параллельного сближения здесь требуется равенство нулю не угловой скорости ср (т. е. постоянство угла ф),
а суммы ф и некоторой величины, пропорциональной продольно му ускорению летательного аппарата.
Аналогично можно составить уравнение метода наведения, если задаться, например, гипотезой о равномерном маневре цели, определив положение точки встречи исходя из предпоположения,
что V — const, 1/ц = const, Ѳц=Ѳц0 + Ѳ ц^, где Ѳц= const.
В этом случае получаются очень громоздкие соотношения, для использования которых на борту летательного аппарата потре буется иметь, кроме измерительных элементов, специальное вы-
числительное устройство. Кроме того, следует иметь в виду, что
непосредственно измерять угол Ѳц и Ѳц невозможно. Можно только вычислить эти значения по результатам измерения других
величин, таких как г, г, ф, ф, ф, V, Ѳ и т. д. В частности, для вычисления Ѳц понадобится измерять или вычислять вторую производную ф, что практически невозможно, так как исходный
сигнал ф или ф обычно засорен шумами.
Из приведенного краткого обзора следует, что существует много методов наведения, обеспечивающих непрерывное сближе ние летательного аппарата с целью, и еще большее число их мож но разработать. Однако, как это уже было указано выше, в разд. 2.1, нецелесообразно формировать метод наведения, исходя только из стремления обеспечить прямолинейность траекторий полета без учета анализа динамической точности наведения, т. е. использовать только кинематический подход. Кроме того, при вы боре метода наведения для проектируемой системы приходится решать сложные вопросы, связанные с практической реализаци ей метода.
ГЛАВА X
РАСЧЕТ ТРАЕКТОРИЙ ПОЛЕТА
§ 1. НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ О МЕТОДАХ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИИ ДВИЖЕНИЯ
Уравнения (2.111), а также упрощенные уравнения (2.125), описывающие движение центра масс летательного аппарата, представляют собой нелинейные системы обыкновенных диффе ренциальных уравнений. Как известно, в общем случае не удает ся найти решения таких уравнений в элементарных функциях или квадратурах.
Поэтому для определения траектории летательного аппарата и изучения его летных качеств приходится упрощать исходные уравнения движения и применять различные приближенные ме тоды интегрирования дифференциальных уравнений.
При исследовании отдельных частных задач динамики поле та иногда оказывается возможным упрощать исходные уравне ния, что позволяет затем найти общее аналитическое решение полученных приближенных уравнений. Однако такие задачи встречаются довольно редко. Поэтому обычно для определения движения летательного аппарата приходится пользоваться при ближенными методами интегрирования уравнений.
Известно много методов приближенного интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений и, в частности, уравнений движения летательного аппарата (см., например [22]). Из них наибольшее применение в технике получили методы гра фо-аналитического и численного интегрирования. Это объясняет ся прежде всего тем, что различные функции, входящие в диф ференциальные уравнения, как правило, бывают заданы табли цами или графиками. Так, в уравнениях движения летательного аппарата зависимости сил и моментов от параметров движения определяются графиками или таблицами, полученными на осно вании эксперимента (например, зависимость коэффициента ло бового сопротивления сх от угла атаки и числа М). Кроме того, в большинстве случаев и не требуется общее аналитическое реше ние. Оказывается достаточным для ограниченного промежутка времени найти частное решение в форме таблицы или графика, удовлетворяющее заданным начальным условиям.
Обычно графо-аналитические методы приспособлены для ре шения частных задач. Численное же интегрирование применимо для любых движений летательного аппарата в пространстве при произвольных зависимостях сил и моментов от параметров дви жения и времени. Численным интегрированием можно найти лю бое интересующее нас частное решение. Одним из достоинств численного интегрирования является наглядность получаемых ре зультатов: решение уравнений движения летательного аппарата дает картину последовательного изменения параметров движе ния. Недостаток всех методов численного интегрирования состо ит в их сравнительно большой трудоемкости при ручных вычис лениях.
Среди ряда известных методов численного интегрирования дифференциальных уравнений наиболее простым является метод Эйлера. Однако решение уравнений движения центра масс ле тательного аппарата методом Эйлера может привести к замет ному накоплению ошибок. Точность расчета можно повысить уменьшением шага интегрирования, но это приводит к значи тельному возрастанию трудоемкости вычислений.
Поэтому получили большое применение и другие методы чис ленного интегрирования, представляющие собой развитие мето да Эйлера. Эти методы позволяют при ручных вычислениях полу чить требуемую степень точности с меньшей затратой труда и времени. Например, точное вычисление траекторий артиллерий ских снарядов проще всего может быть выполнено методом Адамса — Штермера.
В последние годы при проведении больших по объему и слож ных вычислительных работ широко используются во всех облас тях науки и техники быстродействующие электронные вычисли тельные машины.
Как известно, вычислительные машины делятся на два ос новных типа (в зависимости от способа изображения величин):
а) моделирующие устройства (машины непрерывного дей ствия) ;
б) цифровые машины (машины дискретного действия).
В моделирующих устройствах переменные величины пред ставляются в виде непрерывных значений каких-либо физических величин, например напряжений электрического тока. При этом точность представления величин ограничена достижимой точ ностью изготовления вычислительных устройств. Кроме того, тип и сложность задач, которые могут быть решены, определяются составом имеющихся в модели вычислительных устройств. Поэ тому моделирующие устройства обычно являются более или ме нее специализированными.
Моделирующие устройства возникли в результате развития методов моделирования, основанных на теории подобия физиче ских явлений. Как известно, различные физические процессы мо гут описываться одними и теми же дифференциальными уравне-
ниями. Это позволяет исследуемые физические процессы заме нять их аналогами (моделями) из другой области явлений. Наи более удобными для воспроизведения, измерений и исследований являются электрические явления, поэтому наибольшее развитие получили электронные моделирующие устройства (электронные модели).
Значение электронных моделирующих устройств в решении задач динамики летательных аппаратов весьма велико. Электрон ные модели позволяют наиболее просто и эффективно исследо вать сложные системы обыкновенных дифференциальных уравне ний, описывающих полет аппарата и процессы в системе управ ления. При этом имеется широкая возможность изменять началь ные условия, параметры летательного аппарата и системы управ ления, условия полета, что очень важно для решения задач про ектирования.
Хотя точность электронных моделей сравнительно невысокая, она вполне достаточна для решения большого круга инженерных задач. Высокое быстродействие электронных моделей позволяет исследовать процессы в натуральном масштабе времени, благо даря чему возможно исследование реальной аппаратуры системы управления совместно с электрической моделью летательного ап парата, т. е. в условиях, близких к действительным.
Основные , сведения о принципах построения и устройстве электронных моделей и о'методике моделирования можно найти
влитературе.
Вцифровых машинах переменные величины представляются
ввиде ряда отдельных чисел, изображаемых цифрами; решение задачи состоит из отдельных последовательно выполняемых арифметических операций. Поэтому цифровые машины иногда называют машинами дискретного действия.
Вотличие от моделирующих устройств в цифровых машинах принципиально может быть достигнута любая точность вычис лений за счет увеличения количества разрядов в изображении чисел. Для этого следует лишь увеличить количество элементов, изображающих числа. При этом требования к точности изготов ления элементов и к точности их работы не повышаются.
Помимо высокой точности вычислений, цифровые машины имеют еще одно важное преимущество перед моделирующими устройствами — универсальность. Так как численное решение
всякой задачи можно свести к выполнению четырех арифметиче ских действий, то с помощью цифровых машин можно решать в принципе любые математические задачи.
Благодаря использованию быстродействующих электронных устройств и высокой степени автоматизации управления работой машины современные цифровые машины способны выполнять де сятки и сотни тысяч арифметических действий в секунду.
Численное интегрирование дифференциальных уравнений движения летательного аппарата с помощью электронных циф
