Файл: Лебедев А.А. Динамика полета беспилотных летательных аппаратов учеб. пособие.pdf

ровых машин является весьма эффективным методом исследова­ ния полета летательного аппарата. Такие машины в короткие сроки (от нескольких часов до нескольких минут) достаточно точ­ но решают численно весьма сложные дифференциальные уравне­ ния, на что при ручных вычислениях потребовались бы годы ра­ боты. Это позволяет во многих случаях заменять эксперименталь­ ные исследования и летные испытания различных летательных аппаратов вычислениями на машинах, что приводит к значитель­ ной экономии материальных средств и времени. Цифровые ма­ шины можно использовать не только для вычислений, но и для анализа результатов расчетов.

Численное интегрирование методом Эйлера

Метод Эйлера является наиболее простым и потому наименее трудоем­ ким. Он часто используется для определения траекторий летательного аппа­

Пусть искомое частное решение x(t) определяется следующим начальным условием: при t = t 0 должно быть х = х 0. Построим сначала приближенное ча­ стное решение на небольшом промежутке времени + Если вели­ чина At достаточно мала, можно принять, что на этом промежутке времени dx/dt = f (t0, Хо) =const. Тогда для этого промежутка

Х ! = х 0 + f ( t 0, x 0)At.

425

П ол агая, что при t]^.t^.ti + At

d x

f i t I , * 1),

dt

получим для момента времени h=t\ +At приближенное значение x(t2), равное

Промежуток времени Аtu обычно называют «шагом» численного интегри­ рования. Шаг интегрирования может быть выбран как постоянным, так и пе­ ременным. От величины шага, очевидно, зависят точность и трудоемкость вычислений. Относительно точности изложенного метода Эйлер говорит, что чем меньше промежутки между последовательными значениями і, тем точнее определяются все остальные величины; тем не менее, вследствие большого числа -накопление и этих малых погрешностей может достигнуть значительной величины. Погрешность при этом вычислении происходит от того, что на про­ тяжении каждого отдельного промежутка значение функции f(t, х) остается постоянным, поэтому, чем быстрее значение этой функций изменяется при пе­ реходе от одного промежутка к следующему, тем большую можно ожидать погрешность. Это невыгодное обстоятельство имеет место обыкновенно там, где значение f(t, х) или уничтожается, или же становится бесконечным.

Для решения системы дифференциальных уравнений методом Эйлера ее следует привести к системе уравнений первого порядка и записать в нормаль­ ной форме:

функций лгі<л>, .... xn(Ä). Для определения значений этих функций в следующий момент времени Д+і = Д +Д Д вычисляют значения их первых производных в момент времени Д:

п >

426

Затем по значениям производных вычисляют приращения искомых функций

Имея приращения искомых функций, значения самих функций в момент вре­ мени <fc+i определяют по формулам типа

Из многочисленных методов численного интегрирования, представляющих собой развитие метода Эйлера, остановимся на наиболее простом.

Пусть требуется проинтегрировать уравнение (10.1):

dx

- — = f { t , x ) . .

Исходные данные для решения уравнений движения

При расчете траектории летательного аппарата путем чис­ ленного интегрирования уравнений движения центра масс ис­ пользуются следующие исходные данные:

1) зависимость параметров стандартной атмосферы (плотно­ сти воздуха р, скорости звука а и т. д.) от высоты над уровнем моря. (Таблица параметров атмосферы для высот до 200 км при­ ведена в приложении 1);

2) зависимость коэффициентов лобового сопротивления, подъемной и боковой сил летательного аппарата (сх, су, сг) от углов атаки а и скольжения ß и от чисел М и Re. Эти коэффици­ енты определяются для балансировочных значений углов откло­ нения органов управления бв и бн. Как правило, влиянием числа Re на коэффициенты подъемной силы и индуктивного сопротив­ ления пренебергают и учитывают лишь влияние числа Re на ко-

427

эффициент лобового сопротивления при нулевой подъемной сиЛ6 СхОі

3)зависимость силы тяги Р и секундного расхода топлива гпсек от скорости V, высоты полета Н и режима работы двига­ теля х;

4)некоторые конструктивные параметры летательного аппа­ рата: начальный вес, характерные площадь и линейный размер,

ккоторым отнесены аэродинамические коэффициенты;

5)ускорение силы тяжести.

§2. ПОЛЕТ ПО ПРОГРАММЕ

ВВЕРТИКАЛЬНОЙ ПЛОСКОСТИ

Рассмотрим неустановившийся полет по программе и особен­ ности его расчета *. Случаи полета по программе встречаются довольно часто. Полет дальней баллистической ракеты на актив­ ном участке происходит всегда по программе. Траектории многих управляемых снарядов, помимо участка наведения на цель, име­ ют участки полета по программе. В ряде задач с целью их упро­ щения целесообразно вместо наведения рассматривать полет по программе. Так, например, скорость и дальность полета зенит­ ного управляемого снаряда удобно определять для полета по прямой, хотя в действительности его траектория криволинейна.

В большинстве случаев полет пилотируемого самолета можно также рассматривать как полет по программе, задаваемой лет­ чиком в виде определенной зависимости показаний пилотажных приборов. Летчик, управляя самолетом, так отклоняет сектор газа, ручку и педали управления, чтобы осуществить требуемые скорость, высоту полета и пр.

Пусть, например, требуется, чтобы истребитель-перехватчик, совершая полет в вертикальной плоскости, поднялся на задан­ ную высоту за наименьший отрезок времени. Уравнениями основ­ ных связей будут

*1 = Ѵ Л Н ) - Ѵ = 0; 4 = W , - W = 0.

Для наиболее быстрого набора высоты необходимо, чтобы скорость самолета менялась определенным образом в зависимо­ сти от высоты полета: Ѵ=Ѵ*(Н), и, кроме того, чтобы двигатель работал с максимальной интенсивностью, т. е. Р = РЯом. Поэтому

ц = Р т* ( У > Н ) - Р = 0 .

Другой дополнительной связью будет условие полета без крена: кз= ус = 0. Эти четыре связи определяют в конечном счете требуе­ мые положения сектора газа и органов управления. Например, - наблюдая за показаниями указателя скорости и высотомера,

* Методы расчета установившегося полета по программе подробно изло­ жены в книге [22].

428

пилот будет так изменять угол атаки самолета (т. е. так откло­ нять ручку управления), чтобы выполнить условие Ѵ—Ѵ*(Н).

Пусть полет летательного аппарата совершается по програм­ ме в некоторой вертикальной плоскости. Земную ось координат А х з направим таким образом, чтобы она лежала в плоскости по­ лета. Тогда координата 2 центра масс летательного аппарата и угол Чг будут тождественно равными нулю. Предположим, что при полете в вертикальной плоскости Ахзуз плоскость симметрии летательного аппарата Ох\у\ все время совпадает с плоскостью полета. Тогда будут равны нулю угол скольжения ß и угол кре­ на ус *. Схема сил, действующих на летательный аппарат в та­ ком полете, приведена на рис. 2.16. Для этого случая уравнения движения центра масс (2.125) принимают вид:

В этих уравнениях шесть неизвестных величин: V, Ѳ, Н, т, а, я. Криволинейный полет по программе в вертикальной плоскости обычно определяется заданием:

а) направления скорости полета

б) режима работы двигателя

Направление скоростиполетаобыч'но задается либо непосред­ ственно углом наклона траектории Ѳ*(0, либо косвенно посред­ ством задания угла атаки a*(t) или угла тангажа 0*(t), или нормальной перегрузки nyt(t).

Если требуется определить угол тангажа (или если этот угол задан программой), то к написанным выше уравнениям добав­ ляется еще одно:

’f Вообще говоря, возможен полет в вертикальной плоскости с креном и скольжением (см., например, [22]).

429