Так как правые части уравнений (10.3) не зависят от коорди наты X , то эти уравнения могут быть проинтегрированы без уравнения
8) -Ё£—= 1/ cos Ѳ. |
(Ю.Зд) |
dt |
|
Последнее уравнение можно интегрировать либо совместно с си стемой (10.3), либо отдельно после интегрирования этой сис темы.
Если на летательном аппарате установлен ракетный двига тель, то секундный расход топлива обычно известен. Поэтому массу летательного аппарата можно определить заранее:
m {t ) = m 0 — j m №K{i )d t . |
(10.4) |
о
В ряде случаев секундный расход топлива пгсек является постоянным, и масса летательного аппарата изменяется по ли нейному закону:
m {t) = m0 — tnceJ.
Тяга ракетного двигателя зависит только от высоты и опреде
ляется по формуле |
|
|
P = PQ+AP, |
|
(10.5) |
где Р0(t) = m ceK(t)wa+ (р0—Po)Sa — тяга |
у поверхности |
Земли |
(Я = 0); |
|
|
АР=(ро—p)Sa— высотная поправка, |
определяющая |
измене |
ние тяги с высотой; |
|
|
ро — атмосферное давление на уровне моря; |
р — атмосферное давление на рассматриваемой |
|
высоте. |
задается. |
Обычно для расчета траектории величина АР(Н) |
В случае ракетного двигателя четвертое и шестое уравнения |
системы |
(10.3) отпадают. Вместо них имеем известные зависимо |
сти m(t) |
и P(t, Н). |
задавать |
Для |
воздушно-реактивного двигателя необходимо |
связь 64= 0, так как тСек— тСек(Ѵ, Н, к) и Р = Р(Ѵ, Н, к). В рас четах чаще всего встречается случай, когда двигатель развивает номинальную тягу, т. е.
е4 = х— 1= 0 .
Иногда при расчете траектории летательного аппарата с ВРД можно принять секундный расход постоянным и равным среднему значению расхода:
"*ceS~("*ceK)cp —const.
Тогда будет известна зависимость m(t) и поэтому четвертое и шестое уравнения системы (10.3) отпадут.
Общим методом расчета полета в вертикальной плоскости является метод численного интегрирования системы уравнений (10.3).
2.1. ПОЛЕТ С ЗАДАННЫМ УГЛОМ ТАНГАЖА ИЛИ УГЛОМ АТАКИ
Пусть заданы, помимо начальных условий полета, изменение во времени угла тангажа 8і = 'Ѳ'*(^)—0' = 0 и режима работы двигателя еі = х*(/) —%= 0. Тогда в уравнениях
Р — Х
g sin Ѳ;
т
а
57,3 ■ + y
— —cos Ѳ I 57,3:
I
( 10.6)
V sin Ѳ;
■tn.
а ==&— Ѳ
неизвестными будут являться пять величин: V, Ѳ, Н, т, а.
Решение уравнений методом Эйлера сводится к следующим операциям:
1. Зная в некоторый момент времени tx параметры Ѵь, Ѳь, Нх, гпх, ах (и предыдущих вычислений или из начальных условий), а также параметр %х (из программы), вычисляем для этого момента времени правые части первых че
тырех уравнений |
(10.6): |
|
|
|
dV |
|
P k - X k |
■gk sin Ѳ*; |
|
dt |
lx |
mk |
|
|
|
( ~ \ |
J |
mkVk |
gk |
cos Ѳ* I 57,3; |
I dt |
jk |
V k |
(10.7) |
dH |
Vk sin Ѳ*; |
|
|
dt |
= |
|
|
Jk |
|
|
|
dm |
= |
(^cen)k' |
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
— V cos Ѳ
2. Находим приращения параметров V, Ѳ, Н, пѵ.
л7* = Ь г ) Л :
где Аtk — шаг интегрирования, выбранный в зависимости от требуемой точно
3. |
сти вычислений. |
|
|
|
Сложив полученные приращения с соответствующими значениями пара |
метров в момент времени tk, определяем значения параметров V, Ѳ, Н, т в |
новый момент времени tk+i = tk + &tk: |
дѵу, |
|
|
Ѳ*+х = |
V* + |
|
|
V k + i |
|
|
|
|
= |
öft + |
ДѲА; |
(10.9) |
|
Hk+i — Hk -f ЬНи', |
|
|
|
mk+i = mk + |
ämk. |
|
4. |
Угол атаки в момент tk+i вычислим по формуле |
|
|
а*-н = ®*+і— Ѳй+і > |
(10.10) |
где ■fl'Ä+i= 'ö,(/ft+i) берем из программы полета. |
|
Этот процесс вычислений повторяем шаг за шагом до получения искомо го решения.
Правые части уравнений (10.6) в момент времени tk вычисляем следую щим образом:*
gk = g(Hk)\
Р к = Р (У к < H k t |
х к)> ( т сек)к — |
т сек (V k i Hk> %k)i |
= |
^xkQtß', |
У к — |
с УкЧк$> |
«,Ä= |
1/2PftV|; |
Рй= р(Яй); |
|
®ft)t |
cyk — су (Mfc, a ft); |
Mk = Vk;ak-, |
ak = a ( H k). |
Уравнение
dx
(10. 11)
dt
интегрируем отдельно по аналогичной схеме. Зная из решения системы (10.6) значения Vk и Ѳ* в каждый момент времени tk, находим
Лх/г==( ~ 7 г ) |
'k |
Mk = |
VkC°s Ѳ*Д**; |
(10.12) |
V dt |
|
|
|
х к+ \ = = |
хи + |
h x k. |
(10.13) |
* Здесь мы пренебрегаем влиянием числа Re на с*.
В некоторых случаях может оказаться более целесообразным в качестве шага интегрирования задавать не промежуток времени АЯ, а приращение какого-либо параметра движения. Пусть, например, задается приращение ско рости AFfc. Тогда на каждой ступени вычислений соответствующее прираще ние Ыь будет определяться по формуле
АѴ» |
|
(10.14) |
dV |
\ |
|
|
|
dt |
)k |
|
|
а для определения приращений остальных параметров |
будет |
использоваться |
эта величина АЯ. |
|
подробную таблицу. |
Все вычисления обычно сводят в более или менее |
Результаты расчета записывают в эту же таблицу, а также |
представляют в |
виде графиков. |
|
|
|
Если в качестве связей, накладываемых на движение лета тельного аппарата идеальной системой управления, задано изме нение во времени угла атаки еі = а*(^)—а = 0 и режима работы двигателя в,* = >с. ( 0 —х = 0, то траектория полета рассчитывается аналогичным способом.
По изложенной выше схеме интегрируются первые четыре уравнения си
|
стемы |
(10.6), причем |
неизвестными являются V, Ѳ, Я, |
от. |
Каждое |
из указан- |
|
ных уравнений служит для определения производных |
dV |
\ |
/ |
аѳ |
|
------- |
, |
—— |
|
j dH |
\ |
( |
dm |
\ |
V |
dt |
,/ft |
V |
dt |
|
в момент времени th, с помощью которых определяются |
|
------- |
]к |
и |
-------) |
|
V dt |
\ |
dt |
t k |
|
|
|
|
|
|
приращения АѴк, ДѲ&,ДHh и Amt. |
|
|
|
|
|
Последнее уравнение системы (10.6) может служить для определения угла |
|
тангажа |
(если это требуется): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
h = Ѳ* + а*. |
|
|
|
(10.15) |
Рассмотрим еще решение системы уравнений (10.6) методом Эйлера в варианте, изложенном на стр. 427. Процесс интегрирования состоит из следу ющих операций.
1—4) Зная в некоторый момент времени th параметры Vk, &k, Hk, ти, ан, y.k, находим по формулам (10.7), (10.8), (10.9) и (10.10) значения V, Ѳ, Я, от, а в момент времени tk+\ = th+Ath. Поскольку эти значения не являются оконча тельными, обозначаем их штрихом:
V'k+l = Vk + AV'k-
ѲА+1 = Ѳй + ДѲЙ;
Я ;+1 = Я * + Д Я * ; |
І |
(Ю.16) |
m'k+l = mk + Дm'k\
aft+i —frft+i
