а следовательно, и а*+і. Поэтому расчет целесообразно вести пу тем последовательных приближений.
Наведение методом совмещения. Для расчета траектории в этом случае удобно уравнения (10.55) переписать в таком виде:
|
dV |
|
|
g’sin Ѳ; |
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dm |
— — |
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
(10.63) |
|
H — r sin <p; |
|
|
COS Ѳ |
|
|
et |
1 |
' |
У |
d& |
|
|
<X |
.57,3g |
dt |
|
|
|
n у бал |
|
|
где r — расстояние от пункта управления до аппарата. |
|
Кинематические уравнения (9.6) запишем в виде |
|
|
|
— |
= |
l/cos («р — Ѳ); |
(10.64) |
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
0=<p-j- arcsin |
r |
|
(10.65) |
|
57,3V dt) ’ |
|
|
|
|
|
|
|
где ф= срц(^)— известная |
функция, определяемая |
законом дви |
|
жения цели. |
|
не |
является дифференциаль |
|
Поскольку уравнение |
(10.65) |
ным, возникает то же затруднение, как и в случае параллельного сближения. Производную Ѳ вычисляем по формуле (9.7)
|
|
I d2<f |
1 |
dV |
d<f \ |
|
dQ |
_2 |
{ dt2 ~ |
V |
dt |
dt ) |
(10.66) |
dt |
~ |
dt |
|
|
|
|
|
|
|
Расчет удобно вести, определяя ан+i и Ѳй+і путем последова тельных приближений.
5.2. НАВЕДЕНИЕ В ГОРИЗОНТАЛЬНОЙ ПЛОСКОСТИ
Схему расчета траекторий наведения в горизонтальной плос кости легко получить на основании разд. 5.1 и разд. 3.2 данной главы.
Часть уравнений, описывающих движение летательного аппа рата, остается одинаковой для любого метода наведения. Это следующие уравнения:
d V |
__ P — X |
1 |
dt |
m |
’ |
|
ly бал |
|
dm |
— m„ |
(10.67) |
|
|
dt
d V
V dt
h
5 7 , 3 g
Кинематические уравнения с учетом идеальной связи удобно за писывать в различной форме для разных методов наведения. Так, например, учитывая результаты разд. 5.1, при параллельном сближении к уравнениям (10.67) следует добавить такие урав нения:
Ч?" = / — arcsin ^ sin (х — Ч7Ц)| ;
(10.68)
d4' _ |
V sin (X - У) - Ѵц Sin (X - ¥ „) + |
Ѵці-ц COS (X - g„) |
dt |
Vcos (x — Ю |
\ |
ГЛАВА XI
УРАВНЕНИЯ ВОЗМУЩЕННОГО ДВИЖЕНИЯ ЛЕТАТЕЛЬНОГО АППАРАТА
Впредыдущих главах, рассматривая полет летательного ап парата, мы пренебрегали его колебаниями вокруг центра масс. Поскольку уравнение полетом обычно сводится к управлению вращательными движениями аппарата, так поступать нельзя, если необходимо исследовать полет с учетом процессов в систе ме управления. В этом случае приходится применять другие способы упрощения уравнений управляемого движения летатель ного аппарата.
Втеории автоматического управления летательными аппара тами весьма широкое распространение получил метод линеари зации уравнений. Этот метод совместно с другими способами упрощения исследуемых уравнений является весьма эффектив ным. Он используется как при аналитических расчетах, так и при вычислениях с помощью моделирующих устройств и цифровых электронных машин.
Как известно, система дифференциальных уравнений назы вается линейной, если в эти уравнения неизвестные функции и их производные входят линейно. Другими словами, в состав ли нейных уравнений не должны входить отличающиеся от единицы степени -неизвестных функций и их производных, а также сме шанные произведения неизвестных функций и их производных.
Впротивном случае система дифференциальных уравнений яв ляется нелинейной. Соответственно и физическая система, опи сываемая линейной (или нелинейной) системой дифференциаль ных уравнений, называется линейной (или нелинейной). Как
правило, любая физическая система является нелинейной. Гово ря о линейной системе, обычно подразумевают такую систему, которую можно с достаточной точностью описать линейными уравнениями.
Аппроксимацию считают достаточно точной, если в рассмат риваемой задаче влияние нелинейных свойств системы не являет ся существенным. Поэтому для отнесения данной системы к классу линейных или нелинейных систем необходимо исходить из конкретных условий рассматриваемой задачи.
Рассмотрим, например, систему «летательный аппарат — ав топилот». Эта физическая система является нелинейной, так как и уравнения движения летательного аппарата, и уравнения ав топилота нелинейны. Оказывается, что для исследования устой чивости уравнения движения летательного аппарата и уравнения автопилота можно принять линейными. Если же ставится задача исследования автоколебаний в системе «летательный аппарат — автопилот», то нелинейностью уравнений автопилота пренебре гать нельзя. Это объясняется тем, что автоколебания возникают лишь вследствие нелинейных свойств автопилота.
Благодаря тому, что линейные системы являются более лег кими для исследования и очень большое число реальных систем, встречающихся в технике, можно представить в виде линейных, наибольшее развитие получили те области теории автоматиче ского управления, которые посвящены линейным задачам.
Обычно полет летательного аппарата рассматривают как дви жение в пространстве абсолютно жесткого тела, имеющего шесть степеней свободы. Такое предположение при решении большин ства задач не приводит к большим погрешностям, однако до вольно часто встречаются случаи, когда нежесткость конструк ции летательного аппарата существенно влияет на работу сис темы управления. В таких случаях летательный аппарат уже нельзя рассматривать как абсолютно жесткое тело и приходится учитывать деформации элементов конструкции аппарата. Бла годаря нежесткости конструкции летательный аппарат имеет дополнительные степени свободы. В соответствии с этим система уравнений, описывающая движение аппарата, становится еще более сложной.
Дальше будем рассматривать летательный аппарат как аб солютно жесткое те'ло и только в конце раздела ознакомимся с методами учета влияния, нежесткости конструкции аппарата на его динамические свойства.
§ 1. ЛИНЕАРИЗАЦИЯ УРАВНЕНИИ ДВИЖЕНИЯ
ЛЕТАТЕЛЬНОГО АППАРАТА
1.1. СИСТЕМА НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИИ
Рассмотрим линеаризацию уравнений движения летательного аппарата (2.111). Эти уравнения составляют систему уравнений движения летательного аппарата, рассматриваемого как абсо лютно жесткое тело *.
* В уравнениях (2.111) не учитывается также влияние ветра и суточное вращение Земли.
1) |
m - dV - = |
P cos a cos ß— X — G sin Ѳ; |
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
2) mV ------ = |
|
Я (sin |
a cos YC+ COS a sin |
ß sin |
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- \ - Y |
cos y c — Z sin \ c ~ 0 cos Ѳ; |
3) |
— mV cos |
0 |
------ = |
P (sin a sin Yr — |
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
• v |
c |
|
|
|
- cos a sin ß cos Yc) + К sin Yc+ |
^ |
cos Y, |
4) |
j |
dax |
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
dt - = |
|
M x — { I z — I y ) K>y ^ |
|
|
5) |
г |
du>y |
|
71^ у |
|
UX |
7z) |
|
|
|
y |
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
6) |
T |
du>z |
' |
714Z |
{ I у |
I x )<&x u>y, |
|
|
|
2 |
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
7) |
й?ф |
----5— |
(to |
C O S |
Y — W* sin Y); |
|
|
|
dt |
|
C O S V |
* |
|
|
|
|
8) |
d§ |
= |
|
sin Y + |
^ COS Y; |
|
|
|
< 0 |
|
|
dt
dt
9)(0 ^ — tg ö (u>y cos Y — <*>z sin Y);
dt
dx
10)V cos Ѳ cos ¥ ;
dt
|
П ) |
dH |
-V sin Ѳ; |
|
dt |
|
|
|
|
12) |
dz |
— V cos 0 sin ¥ ; |
|
dt |
|
|
|
|
13) |
dm |
- /^сек’ |
|
dt |
|
|
|
14)sin 0 = cos a cos ß sin &—(sin a cos ß cos Y+
-j-sin ß sin Y) C O S
15)sin ¥ cos Ѳ = cos a cos ß sin ф cos &-f-
-j- sin a cos ß (cos ф sin Y+ cos Y sin ф sin b) —
—sin ß (cos ф cos Y — sin Y sin 9 sin ф);
16)sin Yc cos Ѳ = cos a sin ß sin ö —
—(sin a sin ß cos Y — cos ß sin Y) C O S
|
Здесь |
т — масса летательного аппарата; |
|
|
|
V — его скорость; |
|
|
|
Р — сила тяги двигателя; |
|
X, |
Y, |
G — сила тяжести; |
|
Z — проекции полной аэродинамической си |
|
|
|
лы на скоростные оси; |
|
Ѳ и W — углы наклона и поворота траектории; |
|
а и ß — углы атаки и скольжения; |
|
|
|
ус — угол крена скоростной системы коор |
т сек(V, |
Н, |
|
динат; |
бдр) — секундный расход топлива, зависящий |
|
|
|
от типа двигателя, режима его работы, |
|
Ix, |
ly, |
скорости и высоты полета; |
|
h — моменты инерции аппарата относитель |
соде, (Оу, |
но связанных осей; |
со2 — проекции вектора угловой скорости ап |
|
|
|
парата на те же связанные оси; |
Мх, Му, М2— проекции моментов всех внешних сил. |
Сила тяги, |
аэродинамические силы и их моменты являются |
сложными нелинейными функциями кинематических параметров движения и углов отклонения органов управления. В основном эти силы и моменты зависят от следующих параметров:
Р ( Ѵ ,Н , 8дР);
X (а, р, 8В>8Н, I/, Н);
У (а, 8В, V, |
Н); |
Z(ß,зн,V, ну |
М х ( а > Р. 8в> 8н> К шх ’ |
(0Z> У - Н ) \ |
8н> ШХ’ <Ѵ |
Р. 8„, У, н)\ |
M z (a, К ®z. |
а, |
8В, У, Н), |
где бв, бн, бэ и бдр — углы отклонения органов управления (на пример, рулей высоты и направления, элеронов и дроссельной заслонки, служащей для регулирования тяги двигателя), Я — высота полета.
Уравнения (11.1) составляют систему уравнений движения летательного аппарата, рассматриваемого как абсолютно жест кое тело. Она содержит четыре лишних неизвестных. Чтобы сис тема уравнений движения летательного аппарата стала замкну той, необходимо или задать четыре функции параметров движе ния и времени, или задать отклонения органов управления в функции времени, или добавить уравнения, описывающие про цессы управления отклонениями этих органов.
Будем считать, что отклонения органов управления являются известными функциями времени.
