Файл: Лебедев А.А. Динамика полета беспилотных летательных аппаратов учеб. пособие.pdf

Система уравнений (11.1), характеризующая движение лета­ тельного аппарата, является очень сложной системой нелиней­ ных дифференциальных уравнений. Сложные нелинейные зави­ симости имеют место, в частности, в правых частях уравнений (11.1) , записанных в общем виде и представляющих собой со­ ставляющие сил и моментов, действующих на летательный аппа­ рат.

Основные методы исследования нелинейных уравнений (11.1) связаны с предварительным их упрощением. Одним из таких уп­ рощений, как уже отмечалось, является линеаризация этих урав­ нений относительно малых отклонений параметров движения от их значений для некоторого теоретического (невозмущенного) движения.

1.2. НЕВОЗМУЩЕННАЯ И ВОЗМУЩЕННЫЕ ТРАЕКТОРИИ

Невозмущенной траекторией называется теоретическая траек­ тория, отвечающая конкретным уравнениям управляемого дви­ жения летательного аппарата с номинальными значениями па­ раметров аппарата и системы управления, заданным начальным условиям, определенному маневру цели, стандартным парамет­ рам атмосферы и т. д.

Действительные траектории всегда отличаются от теоретиче­ ской не только потому, что динамические свойства летательного аппарата и системы управления описываются принятыми уравне­ ниями лишь приближенно, но также в результате воздействия на летательный аппарат и систему управления ряда случайных фак­ торов. В действительности всегда начальные условия отличаются от заданных, параметры аппарата и системы управления откло­ няются от своих номинальных значений, параметры состояния атмосферы отличаются от стандартных, на систему управления воздействуют всякого рода случайные помехи, на летательный аппарат действуют случайные аэродинамические силы, вызван­ ные турбулентностью атмосферы, маневр цели может отличаться от заданного и т. п.

Все эти факторы, неизбежно существующие в действительно­ сти, возмущают движение летательного аппарата — на основное невозмущенное движение накладываются дополнительные дви­ жения. Движения, получающиеся из невозмущенного при воз­ действии различного рода возмущений, обычно называют воз­ мущенными.

Если возмущающие влияния малы, то возмущенные траекто­ рии проходят вблизи невозмущенной, мало от нее отличаясь. Близость возмущенных траекторий к теоретической невозмущен­

(11.1) все кинематические параметры движения представляют в

46У

виде суммы их значении в невозмущенном движении и отклоне­ ний этих параметров от невозмущенных значений:

V ( t ) = v .( t ) + W ( t y >

Ѳ (f) = Ѳ *(0 + ДѲ(/);

( 11. 2)

z{t) = z,{t) + Lz(t). .

Здесь и дальше индексом «*» будем обозначать значения кине­ матических параметров в невозмущенном движении.

Величины АV(t), АѲ(^), ..., Аz(t), представляющие собой разности между кинематическими параметрами в возмущенном и невозмущенном движениях, будем называть приращениями ки­ нематических параметров.

1.3. МЕТОДИКА ЛИНЕАРИЗАЦИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИИ

Рассмотрим методику линеаризации дифференциальных урав­ нений движения летательного аппарата на примере следующей системы уравнений:

dxi 1 /1 dt Л ;

dx2

/г dt -F2;

(11.3)

dXi

f, dt -F,

dx„

fn dt "Fn,

где fi и Fi — нелинейные функции n переменных X\, x2, ..., xn\

(г= 1, • ■ ti)

Fi ■—Fi (Xj, x2, • •., xn).

Невозмущенному движению соответствует одно из частных ре­ шений уравнений (11.3):

470

Если подставить это частное решение в уравнения (11.3), то по­ лучим равенства:

dx-.

/ і

dt

dX;

f -Fl* dt

Напомним, что индекс «*» означает, что значения величин, имеющих этот индекс, берутся для невозмущенного движения:

f l * f l (■ ^'1*’ *2 *, • • • 1Xnf)i

(/= 1 , . . ., п)

F i , = F t {xit, х 2„ . . x„J.

Рассмотрим линеаризацию одного из уравнений системы (11.3). Возьмем, например, t-е уравнение. Индекс «г» для упро­ щения записи отбросим:

Вычтем из этого уравнения г-е равенство, отвечающее невозму­ щенному движению. Тогда получим уравнение движения в при­ ращениях:

Здесь F—F*=A E— приращение функции F, т. е. разность между значениями этой функции на возмущенной и невозмущенной тра­

Здесь через А* и А/ обозначены приращения:

471

Найдем приращение функции F{xu ..., хп). С помощью фор­ мулы Тейлора разложим эту нелинейную функцию нескольких

окрестности значений переменных Х\ , x2j, ..., х„^. Ограничившись первыми членами разложения, получим

Аналогичное выражение имеем и для приращения Af:

Дf dt , R2 и г2, имеющие порядок малости выше первого. В ре-

зультате вместо уравнения (11.4) получим уравнение возмущен­ ного движения, в котором неизвестными являются приращения Дхь Ах2, ..., Ахп:

Проделав такие преобразования с каждым из уравнений (11.3), получим систему уравнений возмущенного движения:

А Х П ( І = \ , . . п). ( 11. 8)

472