Файл: Лебедев А.А. Динамика полета беспилотных летательных аппаратов учеб. пособие.pdf

1.1. ОБЩЕЕ РЕШЕНИЕ

С и с т е м а

у р а в н е н и й

(11.35)

с о д е р ж и т

ч е т ы р е 'неизвестн

Д Е , ДФ, Д Ѳ , Да. Б у д е м

иска ть

ч а с т н о е

р е ш е н и е

этой с и с т е м

в и д е п о к а з а т е л ь н ы х ф у н к ц и й :

д V = Aext, A% =

B e l t ,

да= С ех<,

A0 =

Z?ew ,

(12.1)

где А , В , С , D

и Я —

п ост оянные ,

к о т о р ы е

н у ж н о

о п р е д е л и т ь та

ч т о б ы в ы р а ж е н и я

(12.1) у д о в л е т в о р я л и

с ист еме

(11.35).

П о д с т а в и м в

с и с т е м у

(11.35)

в ы р а ж е н и12я.1)( П р о и з в о д н ы е

по t от п е р е м е н н ы х

Д Е ,

Дф,

Д Ѳ

и

Д а б у д у т

ЛХе « ;

—

dt

=

ß X e x<;

- ß X V ' ;

df>

dAa

- C X e x<;

а А Ѳ — D X e x<.

dt

dt

П о с л е п о д с т а н о в к и и с о к р а щ е н и я

н а о б щ и й

м н о ж и т е л

(А-!~а0о) А - ^ а 02С - \ - а 0іО — 0;

«м^4

(Х-[~#иВ )-|-(<Ті 2^-|- a 12) C = 0 ;

QA —|-a^2B —J (#44— X) B) =■ Oj

-

ß

+

C

+

D

=

0.

н еиз вестна я

в е л и ч и н а X в х о д и т в

каче стве

п а р а м е т р а . О ч е в и д

что си с т е м а

12( .2 ) и м е е т т р и в и а л ь н о е

р е ш е н и е :

A = B = C — D = 0.

вать р а в е н с т в а

н у л ю

о п р е д е л и т е л я

сист емы,

з а в и с я щ е гX:о

от

оо

О

а 02

«04

Д(*)=

«ю

Х(Х~1~«іі)

Ь«і2

0

=

0.

(12.3)

О

а і2

#44

X

«40

О

- 1

1

1

Э т о у р а в н е н и е

есть

а л г е б р а и ч е с к о е

у р а в н е н и е

4-й с т е п е н и

о

с и т е л ь н о X.

Е г о н а з ы в а ю тх а р а к т е р и с т и ч е с к и м

у р а в н е н и е м .

И т а к , р е ш е н и е

в и д а

(12.1) с и с т е м ы

(11.35)

с

п о с т о я н н ы м и

к о

ф и ц и е н т а м и

м о ж е т

с у щ е с т в о в а т ь

т о л ь к о

в

т о м

случае, Xк о г д

есть к о р е н ь х а р а к т е р и с т и ч е с к о г о

урав нения .

В ы ч и с л и в

о п р е д е л и т е л ь

(12.3), п о л у ч и м

х а р а к т е р и с т и ч е с к

у р а в н е н и е в

виде

Л (^)= Я4-|-^?1Я3-|-

4"

(12.3а)

д в и ж е н и я .

Х а р а к т е р и с т и ч е с к о е у р а в н е н и е

и м е е т

ч е т ы р е

корня: Яі,

Яг, Яз

Я 4.Е с л и все ч е т ы р е к о р н я р а з л и ч н ы ,

что о б ы ч н о

и и м е е т

м е с т о д л

лета т е л ь н о г о аппарата,

то

к а ж д о м у

к о рЯін ю(і —1, 2, 3, 4)

соот ­

ветствует част ное р е ш е н и е

с и с т е м ы

(11.35) тако го вида:

ДІ/(=

і4 /еѴ

;

д а г=5 .е Ѵ

;

I

Д а г=

С

ге Х'<;

д Ѳ .(=

Е)ге ХіЛ

J

О б щ е е

р е ш е н и е

с и с т е м ы

(11.35)

б у д е т

п р е д с т а в л я т ь

с о

с у м м у ч е т ы р е х ч а с т н ы х р е ш е н и й :

Д И =

А хе Хі<-f-A

2eXa<-f

-f-4ЛеХі<;

)

=

В

B 2e'kit-\-В

В

4e lit-,

1

Aa= C1ex<<+ C2ex^-fC3ex^+C4ex^;

[

(12-4)

д Ѳ =

0 1е Хі<4 - 0 2е Х2/-]-£>зеХзг4 " ^4е>"‘<*

I

Т а к

к а к

к о э ф ф и ц и е н т ы

х а р а к т е р и с т и ч е с к о г о

у р а в нреі,нрги.я

р г и р і

я в л я ю т с я

в е щ е с т в е н н ы м и в е л и ч и н а м и ,

т о

к о р н и Яі,

Яг, Я

Я 4 этого у р а в н е н и я м о г у т

б ы т ь л и б о

в е щ е с т в е н н ы м и ,

л и б о

к о

м у щ е н н о г о

д в и ж е н и я

м о г у т б ы т ь

л и ш ь с л е д у ю щ и е случаи:

1)

все ч е т ы р е к о р н я

в е щ е с т в е н н ы е ;

ж е н н ы е ;

3)

все ч е т ы р е к о р н я

п о п а р н о

к о м п л е к с н ы е

с о п р я ж е н н ы е .

В ы я с н и м ,

к а к и м

б уде т

х а р а к т е р с в о б о д н о г о

д в и ж е н и я

в к а

д о м

случае.

В п е р в о м

с л у ч а е

с в о б о д н о е д в и ж е н и е

лета те л ь н о г о

а п п а р а

с к л а д ы в а е т с я из ч е т ы р е х

а п е р и о д и ч е с к и х д в и ж е н и й .

П о э т

к а ж д о е

из

ч е т ы р е х с л а г а е м ы х

и з м е н я е т с я

а п е р и одиче ски:

возр астает

со

в р е м е н е м ,

к огд а с о о т в е т с т в у ю щ и й к о р е н ь

п о л о ж

т е л ь ный,

и

у м е н ь ш а е т с я ,

к о г д а

корень,

с о о т в е т с т в у ю щ и й

э т о

н и е м

в р е м е н и

все

о т к л о н е н и я Д Е , Ад, Д Ѳ

и Д а б у д у т н е о г р а

ч е н н о возрастать.

В о в т о р о м с л у ч а е п а р е

с о п р я ж е н н ы х

к о м п л е к с н ы х к о

Яз= х +

гѵ и Я4=

и — tv

соответствует

ч аст ное

р е ш е н и е в и д а

Дйз,4=

/?3е Хз'-}-ß

4e Xi<,

где

п о с т о я н н ы еBz и Bk—

' к о м п л е к с н ы е

с о п р я ж е н н ы е

числа:

В 3 — а — Ы \

В ^ — а - \ - Ы .

П о л ь з у я с ь ф о р м у л а м и Э й л е р а

е ѵ/<_[_е_ '"7 = 2 cos ѵ/;

|

e vU —

e ~ v!7—

2i sin

J

п р е о б р а з у е м частное р е ш е н и е ,

с о о т в е т с т в у ю щ е е

п а р е к Хозр н е

и

Д&з)4 =

В

3е Хз*-f- В ^ Хіі — [а — Ы) е (х+Ь)<

bi) e (x_,v)< =

= a e xt (e^-J- e -,v<)—

ibext (ehi —

e~i'it)=

= 2ext (a cos vt-\-b sin vt) = B e xt sin ( v ^ ф),

где

В .и ф

—

н о в ы е п р о и з в о л ь н ы е

по с т о я н н ы е :

В =

2 Ѵ а 2+ Ь 2]

Ф =

arctg— .

Т а к и м о б р а з о м , п а р а к о м п л е к с н ы х с о п р я ж е н н ы х к о р н е й д

к о л е б а т е л ь н о е д в и ж е н и е

с а м п л и т у дBоtйxt, у г л о в о й

ч а ст отой ѵ

и ф а з о й ф. А м п л и т у дВаг

хі

н е о г р а н и ч е н н о возр астает

с т е ч е н и

е м

врем ени,

к огд а х 0>,и затухает,

если

х

<0 .

В р а с с м а т р и в а е м о м

с л уч ае с в о б о д н о е д в и ж е н и е

лета т е л ь н

Ь Ѵ =

А 2е Х2<4- Ae xt sin (v^-)-

(12.5)

Е с л и

хотя

б ы о д и н

из в е щ е с т в е н н ы х к о р н е й и л и в е щ е с т

н а я часть к о м п л е к с н о г о к о р н я и м е е т

п о л о ж и т е л ь н ы й знак, т о п

р а щ е н и я

Д Ѵ ,

А й ,Д1 Ѳ , Д а

с т е ч е н и е м

в р е м е н и н е о г р а н и ч е н н о в

раст ают .

ного а п п а р а т а

п р е д с т а в л я е т с о б о й

н а л о ж е н и е д в у х к о л е б а т

н ы х д в и ж е н и й :

ДІ/ —

A ' e xt sin (vif-j-фх)-f-А " е М

sin

(V-pYi);

( 12.6)

tkQ — D ' t xt sin (v^~j-t|) 4)-j-ZJ"e^ sin

( V + Y^-

Д-0 ,А Ѳ , Д а б у д у т

К а к в с л у ч а е

Д-О, А Ѳ ,

Д а

п р иt > t Qо п р е д е л я е т с я

п о к а з а т е л ь н о й

ф у н к ц и е й

ни,да

е

гдек

—

в е щ е с т в е н н ы й к о р е н ь

и л и в е щ е с т в е н н а я

часть

к о р н

х а р а к т е р и с т и ч е с к о г о

у р ав нения .

Э т а ф у н к ц и я

с т р е м и т с я

к н у

п р и t— >-оо,

если х <0 ,

и н е о г р а н и ч е н н о возрастает

п р и

/->-оо,

если

к >0 .

м у щ е н н ы й

п о л е т я в л я е т с я у с т а н о в и в ш и м с я , то х а р а к т е р и з м е

н и я п р и р а

щ е н и й Д Е , Д Ѳ , АО, Да, Дсог в с в о б о д н о м в о з м у щ е н н

(12.3). В о з м о ж н ы т р и случая:

1)

все в е щ е с т в е н н ы е

части

к о р н е й о т р и ц а т е л ь н ы ;

2 )

с р е д и в е щ е с т в е н н ы х частей к о р н е й

и м е е т с я хотя б ы

о д

н у л е в а я п р и о с т а л ь н ы х о т р и ц а т е л ь н ы х ;

3)

и м е е т с я хотя

б ы

о д н а

п о л о ж и т е л ь н а я в е щ е с т в е н н а я

ча

корня.

В

п е р в о м случ ае

л е т а т е л ь н ы й а п п а р а т

н а з ы в а ю т у с т о й ч и в ы

п а р а т а м о ж н о с ф о р м у л и р о в а т ь с л е д у ю щ и м о б р а з о м .

Д л я

того

ч т о б ы л е т а т е л ь н ы й

а п п а р а т

о б л а д а л п р о д о л ь н о й

т о й ч и в о с т ь ю

в у с т а н о в и в ш е м с я

п р я м о л и н е й н о м

полете,

н е о

д и м о

и

достаточно,

ч т о б ы

у

х а р а к т е р и с т и ч е с к о г о

у р а в н

(12.3а)

б ы л и

н ы е

части

к о м п л е к с н ы х

корней.

С у щ е с т в у ю т

критерии, п о з в о л я ю щ и е

р е ш а т ь в о п р о с об

у с т

чи в о с т и

по

к о э ф ф и ц и е н т а м

х а р а к т е р и с т и ч е с к о г о

у р а в н

(12.3а)

( к р и т е р и и у с т о й ч и в о с т и

Рауса,

Г у р в и ц а ,

М и х а й л

и др.).

Э т и

к р и т е р и и

п о д р о б н о

р а с с м а т р и в а ю т с я

в т е о р и и

а в

м а т и ч е с к о г о

р е г у л и р о в а н и я [12], [21], [24] и др.

Е с л и

треб уется

о п р е д е л и т ь

х а р а к т е р

с в о б о д н о г о в о з м у щ е н н

го

д в и ж е н и я

( а п е р и о д и ч е с к о е

о н о и л и

коле батель ное),

п е р

к о л е б а н и й

и

степень

зату хания,

то

д л я этого

н е о б х о д и м о

р е ш и

х а р а к т е р и с т и ч е с к о е

у р а в н е н и е

(12.3).

М е т о д ы

р е ш е н и я

э

у р а в н е н и я

т а к ж е

п о д р о б н о

о с в е щ е н ы

в л и т е р а12т],у р[19]е [

и др.

п а р е

с о п р я ­

ж е н н ы х

к о м п л е к с н ы х к о р н е й х а р а к т е р и с т и ч е с к о г о

у р а в н

А.і,2= >с±гѵ

соответствует

ча с т н о е

р е ш е н и е

у р а в н е н11и й.3 5 ):(

д П = Aext sin (vZ-j-ty),

где

V —

у г л о в а я част ота

к о л е б а н и й

в рад/с.