Файл: Лебедев А.А. Динамика полета беспилотных летательных аппаратов учеб. пособие.pdf

С т е п е н ь з а т у х а н и я

(или

н а р а с т а н и я )

к о л е б а н и й

часто х а

т е р и з у ю т в р е м е н е мt2 у м е н ь ш е н и я

(или

у в е л и ч е н и я )

а м п л и т у

вдвое.

Е с л и х < 0 , то в е л и ч и н уt2н а й д е м из у с л о в и я

е х<2 =

2

отк у д а

In2

_

0,693*

(12.7)

X

X

Е с л и

х > 0 ,

то

ln2

h

0,693

( 12.8)

X

X

В е щ е с т в е н н о м у

к о р н ю

х а р а к т е р и с т и ч е с к о г о у р а в н е н и я

соответствует

част ное

р е ш е н и е

д и ф ф е р е н ц и а л ь н ы х

у р а в

(11.35) в и д а

д 1/ =

Аех<.

ж е н и я

с л у ж а т

те ж е

ф о р м у л ы

(12.7) и

(12.8).

Н а й д е м ,

к а к

у м е н ь ш а е т с я

(возрастает) а м п л и т у д а

к о л е б а

за о д и н период.

П у с т ь Ае

и

Ле

—

д в е п о с л е д о в а т е л ь ­

н ы е а м п л и т у д ы

д л я

м о м е н т о в

врем ени,

о т л и ч а ю щ и х с я

н а пер

л е н н о з а т у х а ю щ е г о .

Р а с ч еты, в ы п о л н е н н ы е д л я р а з л и ч н ы х

л е т а т е л ь н ы х а п

тов, п о к а з ы в а ю т , ч т о во всех с л у ч а я х к о р н и

х а р а к т е р и с т и ч е с к

у р а в н е н и я . раз деляют ся

п о а б с о л ю т н о й

в е л и ч и н е

(по

м о д у

на д в а б о л ь ш и х и

н а д в а

м а л ы х

корня.

К а к о й

б ы н и

б ы л

х а р а к т е р

в о з м у щ е н н о г о

д в и ж е н и я

(соч

н и е

д в у х

к о л е б а т е л ь н ы х

д в и ж е н и й , с о че тание

к о л е б а т е л ь н о г

д в у х а п е р и о д и ч е с к и х

д в и ж е н и й , с оче тание

ч е т ы р е х

а п е р и о д

с к и х д в и ж е н и й ) ,

у к а з а н н о е с о о т н о ш е н и е

к о р н е й всегда

остае

с п р а в е д л и в ы м .

В е щ е с т в е н н а я

часть

к о м п л е к с н о г о к о р н я

х а р а к т е р и з у е т

п е н ь з а т у х а н и я

в о з м у щ е н н о г о

д в и ж е н и я ,

а к о э ф ф и ц и е н т

м н и м о й

е д и н и ц е —■ его частоту.

О т с ю д а

следует, что

п а р е б о

ш и х

в е щ е с т в е н н ы х

к о р н е й соответствует

б ы с т р о

з а т у х а

м е д л е н н о з а т у х а ю щ и е .

П а р е б о л ь ш и х к о м п л е к с н ы х

к о р н е й соответствует

б ы с т р о

т у х а ю щ е е

к о л е б а т е л ь н о е

д в и ж е н и е

с б о л ь ш о й

частотой,

т.

д и ч е с к и м .

П а р е м а л ы х

к о м п л е к с н ы х

к о р н е й

соответствует

м

л е н н о з а т у х а ю щ е е

к о л е б а т е л ь н о е

д в и ж е н и е

с м а л о й

часто

д и ч е с к и м .

Т а к и м

о б ра зом,

п р о д о л ь н о е

в о з м у щ е н н о е

д в и ж е н и е

л ю

п р е д с т а в и т ь в

с у м м ы д в у х д в и ж е н и й :

б ы с т р о

з а т у х а ю щ е г о

( к о р откопе риод

ского к о л е б а т е л ь н о г о и л и

апер и о д и ч е с к о г о ) д в и ж е н и я

и

м е д л

р иод ическо го)

д в и ж е н и я .

П е р в о е

из

н и х

б у д е м

н а з ыб ывсатт­ь

р ы м , а вто р о е —

м е д л е

н н ы м

д в и ж е н и е м .

В

качестве

п р и м е р а

р а с с м о т р и м

п о л е т

р е а к т и в н о г о

с а м о л

н а в ы с о т е

12 0 0 0

м со

с к о р о с т ь ю 800

км/ч. В

э т о м с л у ч а е

к о э ф ф

ц и е н т ы

у р а в н е н и й

(11.35)

и м е ю т

с л е д у ю щ и е

значения:а 0о =

= 0 , 0 1 3 4

1/с;002=

9,35

м/с2; а 0з =

0;

а 04 =

9,81

м/с; а

ю

= 0;

а

ц

=

= 0,49

1/с; а 12 =

2,98

1/с2; ß i 2 ' = 0,22

1/с;

а і з =

2,32

1/с2; а

13' =

0;

а 4о= 0,0007

1/м; а і2= 0 , 5 7 7

1/с; а43=

0; си,4=

0.

В

резу льтате

расч ета

п о л у ч и м

х а р а к т е р и с т и ч е с к о е

у р а

ни е

1,299X3+3,278X2-f0,0455X-f0,0201 = ° *

В

табл. 12.1

п р и в е д е н ы

з н а ч е н и я

к о р н е й этого у р а в н е н и я ,

т а к ж е

п е р и о д ы

к о л е б а н и й

и

с теп ени

з а т у х а н и я

д в и ж е н и й , с

что и м е е т с я з а к о

м е р н о с т ь в в е л и ч и н е не т о л ь к о

к о р н е й

х а р а к т е р и с т и ч е с

Таблица 12J

Короткоиериодичес-

Длиннопериодическое

кое движение

движение

Корни

характеристического

уравне­

—0 ,644+1,687

і ■ —0,0056+0,0783/

ния ............................................................

Период

колебаний в с ....................

3,724

80,25

Время

уменьшения

амплитуды

1,076

123,75

вдвое в с ...............................................

Затухание за период . . .

•

0,09072

0,638

Dz и A', B',

C',

D',

а

м е д л е н н о

з а т у х а ю щ и м

с л а г а е м ы м —

с т о я н н ы еА з ,

В 3,

С з , Ь

3, А

і, В ь

Ci,

Di,

А " , В " ,

С " ,

D".

Т а к

к а к

cos

(ѵ*+

г(>)

1

и * е4+

1,

то

в е л и ч и н а

к а к о г о - л и б о

с л а г а е м о г о

в и д аAext и л и A'ext

cos

(vz1+ ф ) в

н а ч а л ь н ы й

(/=

0)

и п о с л е д у ю щ и е

м о м е н т ы

в р е м е н и

в з н а ч и т е л ь н о й

степени

о п р е

ляет ся

в е л и ч и н о й п р о и з в о л ь н о й постоянной .

О к а з ы в а е т с я ,

что

в в ы р а ж е н и я х

д л я

Д Р

п р о и з в

п о с т о я н н ы е п р и б ы с т р о з а т у х а ю щ и х с л а г а еAмitыАх 2 и

А ' п о в е ­

л и ч и н е во м н о г о раз м е н ь ш е ( п р и м е р н100о в— 2 0 0 раз)

п о с т о я н ­

в

в ы р а ж е н и и

(12.6)

б у д е м и м е\тА 'ь\ < ^ \ А " \ . С л е д о в а т е л ь н о ,

и з м е н е н и е Д Р о п р е д е л я е т с я г л а в н ы м о б р а з о м

м е д л е н н о

х а ю щ и м и с л а г а е м ы м и .

и

б ы с т р о з а т у х а ю щ и е

с л а г а е м ы е и г р а ю т с у щ е с т в е н н у ю роль

с а м о л е т а в ы з в а н о

м г н о в е н н ы м

о т к л о н е н и е м

р у л я 0,1Д б вр=а д . =

= 5,73°. ( З н а ч е н и я

о т к л о н е н и й

Д Р , Дб-, Д Ѳ

и

Д а

в н а ч а л ь н ы й

м е н т в р е м е н и п р е д п о л а г а е м р а в н ы м и

нулю . )

Р е ш е н и е у р а в н е н и й

(11.35)

д л я этого

с л у ч а я

и м е е т вид:

ді/=

65,1 + 0,370е-°-644<cos (96,8*+

28,2°)+

+

65,47e-°'°°5« cos (4,47* +181

,63° ) ;

д й =

-

0,0934 +

0,0708е - °’644<cos (96,8*-

39,8°)+

+

0 , 5 3 0 е - 0'0056*cos (4,47*+

85,83°);

Д а =

—

0,0794 -j-0,0744е_ 0 ’644<cos ( 9

6 , 8 * - 17,6°)+

+

0,00888е-°'0056< cos (4,47*+

7,13°);

д Ѳ =

—

0,0137 +

0,0244е-°'644*c o s (96,8*+

288,45°)+

+

0,5 2 8 е - ° ’0056<cos (4,4 7*+ 86,72°).

В р а с с м а т р и в а е м о м

п р и м еАр'е= 0,370

и А " =

65,47;

С' =

0,0744

и

С " =

0,00888.

Н а

рис.

12.1

и

12.2

п о к а з а н о

и з м е н е н и е

о т к л о н е н и й A F ,

Д Ѳ

и Д а

п р и

в н е з а п н о м

о т к л о н е н и и

р у л я

н а

5,73°. К о р о т к о п е р

д и ч е с к о е

д в и ж е н и е

с

в е л и ч и н о й п е р иtо=д3,7са

б ы с т р о

з а т у х а ­

ет. З а

п е р в ы е

5с

те

с л а г а е м ы е

в

в ы р а ж е н и я х

д л я о т к л о н

Д К ,

ДО,

Д Ѳ ,

Да,

к о т о р ы е с о о т в е т с т в у ю т

п а р е

б о л ь ш и х

кор

п р а к т и ч е с к и

у м е н ь ш а ю т с я д о

нуля. Д л и н н о п е р и о д и ч е с к о е

д в и

н и е с п е р и о д о м

^=

80с зату хает

м едл енно .

АѲо

АѴ, м/с

Н а

п е р в о м этап е п р е о б л а д а е т

б ы с т р о з а т у х а ю щ е е

к о р о т к

р и о д и ч е с к о е д в и ж е н и е . В

т ече ние

этого э т а п а

о т к л о н е н и я

Дд,

Д а и з м е н я ю т с я

резко,

а

о т к л о н е н и е

Д К —

незн ачительно.

с л а г а е м ы е в в ы р а ж е н и я х

д л я

о т к л о н е н и й Д Ѵ Д Д Ф , Д Ѳ ,

Да,

к о т о

с о о т в е т с т в у ю т

п а р е б о л ь ш и х

корней.

О т к л о н е н и е

Д а

о п р е д е л

ся г л а в н ы м о б р а з о м э т и м и с л а г а е м ы м и

и п о т о м у

п р и н

у с т а н о в и в ш е е с я з н а ч е н и е

п р а к т и ч е с к и к к о н ц у пе р в о г о этапа.

Н а

в т о р о м

этап е

и м е е т

м е с т о т о л ь к о

м е д л е н н о

з а т у х а

д л и н н о п е р и о д и ч е с к о е

д в и ж е н и е .

В

тече ние

этого

э т а п а

и з м

тель ного

аппарата .

П о с л е д н и й

м о ж е т

очен ь

б ы с т р о

и з м е

свой

у г о л

атаки,

в р а щ а я с ь

о т н о с и т е л ь н о

ц е н т р а

масс.

В

г

7 *’с

ж е

в р е м я

скорость

пол е т а

1

л ета тельно го

а п п а р а т а

и з

м е н я е т с я

по

в е л и ч и н

Аа

с р а в н и т е л ь н о

медл енно .

-5

Ч т о б ы

у б е д и т ь с я

в этом,

д о с т а т о ч н о

п о д с ч и т а т

\АѲ

A4

в е л и ч и н у

у с к о р е н и я

п

т р а е к т о р и и dAV/dt

и. ве ­

- 1 0

л и ч и н у

угло вого

у с к о р е ­

'

н и я

d2Aé/dt2 в

н а ч а л ь н ы й

-15- 15

SAJ N

м о м е н т

времени .

В

качестве

п р и м е р а

м о ж н о

п р и в е с т и

р е з у л ь

т а т ы

расчета

д л я

с а м о л е ­

-20

та,

к о т о р ы й

в н е з а п н о

п о ­

Аа°

п а л

в з о н у в о с х о д я щ е г о

Аі}°

п о т о к а

воздуха, в

резуль-

а Ѳ °;ау,м/с

Рис.

12.2.

Пример

продольного

возму­

•тате

чего

у г л ы

Ѳ

и

м г н о в е н н о

и з м е н и л и с

щенного

движения

самолета

(первые

на

в е л и ч и н у — А Ѳ = Д а =

секунды движения)

=

0,1

рад=5,73° .

В

н а

ч а л ь н ы й

м о м е н т

в р е м е н и

этот с а м о л е т

п о л у ч а е т

с л е д у ю щ и е

корения:

dAV

--(а0і — а 02) Д а ^

—

0,05

м/с2;

dt

d*л» = — а 2Д а =

—

0,3

рад/с2=—

17,1 град/с2.

dt*

К а к

видно,

у с к о р е н и е п о т р а е к т о р и и

в н а ч а л ь н ы й м о м е н т

в

м е н и

в е с ь м а

м а л о

( и з м е н е н и е

с к о р ости1сзап р е н е б р е ж и м о

м а ­

л о п о

с р а в н е н и ю

со

с к о р о с т ь ю

полета),

в то

ж е

в р е м я у г л о в о е у

к о р е н и е о т н о с и т е л ь н о

в е л и к о

( и з м е н е н и е

у г л а

т а н г а ж1/а2сза

составляет

з а м е т н у ю

величину:

Д 0 =

—

17,1

—

~

—

2

град

Т а к и м

обра зом,

в п е р в ы е

м о м е н т ы в о з м у щ е н н о г о

д в и ж е н и я

щ е н и е

л е т а т е л ь н о г о

а п п а р а т а

всегда

интенсивнее,

ч е м

и з м е н е н