Файл: Джадд Б. Теория сложных атомных спектров.pdf

1

В В Е Д Е Н И Е

1.1. Предмет исследования

В последние годы становилось все более и более ясным, что теория атомных оболочек еще не понята окончательно. Основные допущения этой теории очень просты и состоят в следующем: N электронов с одним и тем же орбитальным квантовым числом I движутся в сферически симметричном электростатическом поле, создаваемом атомным ядром и всеми остальными атомными элек­ тронами. Будучи фермионами, электроны подчиняются принципу запрета Паули. Если бы не было взаимодействия между электро­ нами, то конфигурации lN соответствовал бы один-единственный, как правило, сильно вырожденный энергетический уровень. Из-за межэлектронного кулоновского взаимодействия этот уровень рас­ щепляется на термы. Другие межэлектронные взаимодействия (на­ пример, спин-орбитальное взаимодействие) ведут к дальнейшему расщеплению этих термов на отдельные уровни. Есть хорошо отра­ ботанные способы расчета энергий термов и уровней. Можно поль­

оболочки все еще далека от своего полного и окончательного раз­ решения. С одной стороны, трудность заключена в определении самого центрального поля, в котором движутся электроны обо­ лочки, а также в правильном учете эффектов конфигурационного взаимодействия. С другой стороны, много сюрпризов доставляет математика. Так, например, положим 1 = 2 и УѴ = 3, т. е. рассмотрим конфигурацию d3. Известно, что энергии термов можно предста­ вить в виде линейных .комбинаций определенных радиальных ин­ тегралов, на величину которых только и оказывает влияние взятое центральное поле. Оказывается, далее, что независимо от того, ка­

общей проблемой мы будем иметь дело. Другими словами, мы не будем заниматься точным учетом эффектов центрального поля;

вместо этого мы сконцентрируем все свое внимание на совершенно особых и поистине удивительных моментах теории, которые совер­ шенно не связаны с конкретным выбором центрального поля.

1.2. Операторы уничтожения и рождения

Чтобы удовлетворить принципу запрета Паули, собственные функции //-электронной системы удобно взять в виде нормирован­ ных детерминантов. Сокращенно обозначим отдельный детерми­ нант символом

|aß . . . ѵ],

где каждая греческая буква обозначает свою четверку квантовых чисел (nlmsmi). Однако вместо того, чтобы работать с детерминан­ тами, часто удобнее рассматривать собственные функции, которые получаются при действии операторов рождения на некоторое ва­ куумное состояние, т. е. функции

alat . . . al\o).

Сопряженный at оператор — это ас, оператор уничтожения элек­ трона в состоянии £. Операторы рождения п уничтожения удов­ летворяют антикоммутационным соотношениям

Отметим как следствие этих соотношений, что

1.3. Матричные элементы

Центральная проблема в атомной спектроскопии состоит в вы­ числении матричных элементов типа ( ф | Я | і | / ) . Если, однако, со­ стояния |г|)) и |я|/) представить как результат последовательного действия операторов рождения на состояние |0), то сразу возни­ кает вопрос, как при этом представить оператор Н. Конечно, та­ кое представление будет различным для операторов H разной структуры. Если H — это сумма одночастичных операторов fi, то следует сделать замену:

Я — % al < Ç | / h > a „ .

Если же Я является суммой двухчастичных операторов gij (для определенности будем считать i<j), например операторов кулоновского взаимодействия, то подходящей заменой будет

Е, -л, с, *

здесь нижние индексы 1 и 2 нумеруют электроны; они показывают, каким электронам приписываются квантовые числа g, т), Ç, Я.

Полезно остановиться на рассмотрении примера. Допустим, не­ обходимо рассчитать матричный элемент

в нем электронные индексы не указаны явно, а подразумеваются.

Сдругой стороны, если мы используем операторы уничтожения

ирождения, то надо исходить из выражения

и затем переносить в нем операторы уничтожения направо с ис­ пользованием антикоммутационных соотношений, пока эти опера­ торы не будут действовать непосредственно на вакуум |0), давая нулевой результат; тогда, учитывая, что (0|0) = 1, мы приходим к выражению

<РІ/ІТ>. которое эквивалентно приведенному выше.

1.4. Тензорные операторы

Рассмотрим совокупность операторов рождения aï при фикси­ рованных ni, т. е. £ теперь различаются только проекциями момен­

в орбитальном пространстве.

Чтобы построить двойной тензорный оператор а из операторов уничтожения а~ѵ нам нужно сначала ввести в рассмотрение опера­ торы а\ с помощью формулы

тогда легко показать, что операторы ат т і являются компонентами двойного тензорного оператора а рангов s и / по отношению к спи­ новому и орбитальному пространствам соответственно.

Задачи

1.1. Бозонные операторы удовлетворяют коммутационным соот­ ношениям

ь\ь\-ь\ьІ==о,

Доказать, что АЛбозонное состояние

ь\ъ\ . . . bt\0)

можно нормировать, вводя множитель

С В Я З Ы В А Н И Е

Т Е Н З О Р Н Ы Х О П Е Р А Т О Р О В

2.1. Связывание операторов уничтожения и рождения

Из двух тензорных операторов T<f>t и U(ft') можно построить но­ вый тензорный оператор ранга К, пользуясь формулой

Коэффициенты, появляющиеся в правой части формулы,— это ко­ эффициенты Клебша — Гордана трехмерной группы вращений R3- Они стоят весовыми множителями перед произведениями операто­ ров 7№ и и делают из суммы этих произведений компоненту Q тензорного оператора ранга К- Другими словами, использование этих коэффициентов позволяет сконструировать оператор, который преобразуется согласно представлению DK группы Яз из операто­ ров, которые по отдельности преобразуются согласно представ­ лениям Dh и Dk' этой группы.

Поскольку операторы уничтожения и рождения сами являются тензорными операторами, их можно связывать в новые тензор­ ные операторы разных рангов. Единственно на что надо обращать внимание, это чтобы связывание проводилось как в спиновом, так

три очень важные величины. Вводя дополнительно удобные норми­ ровочные константы, мы записываем для этих величин выражения

Эти операторные величины удовлетворяют обычным коммута­ ционным соотношениям для компонент вектора углового момента; поэтому вектор Q мы называем квазиспином. Символ, [х] — это сокращенное обозначение для числа 2-ѵ+І.

Отметим здесь один любопытный момент, на который обратил внимание Вадзинский [3]: квазиспин можно определить только для истинных фермионов. Другими словами, если мы потребуем, чтобы