ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 09.04.2024
Просмотров: 108
Скачиваний: 0
22 |
Б. Доісадд. Теория атомных спектров |
В заключение необходимо сделать два замечания. Во-первых, вообще говоря, разрешать линейные уравнения для определения коэффициентов а, Ь, с, ... более трудно в общем случае, чем в слу чае группы Rz, поскольку операторы, подобные Vf'-Vj3 ), связывают
большее количество состояний, чем оператор L - S . Если вычисле ния проводить точно, то часто появляются большие целые числа даже при решениях довольно простых исходных уравнении. Это представляет определенную трудность, если мы хотим исполь зовать для такого рода расчетов электронную вычислительную машину.
Во-вторых, мы могли бы, конечно, работать |
на ^/-уровне, но |
||
тогда возникла бы необходимость |
знать значения |
соответствующих |
|
6£/-коэффициентов |
|
|
|
U" |
V" |
(2.1)1 |
|
U' |
U |
(10)}' |
|
а это само по себе составляет проблему. Поэтому более разумно использовать таблицы Ротенберга и др. [4] для 6/-спмволов и ра ботать на L-уровне.
|
|
|
|
|
|
|
Задачи |
2.1. Предполагая, что |
а + тензорный |
оператор |
при фиксиро |
||||
ванных |
ni, |
убедиться в |
справедливости соотношения |
|
|||
|
|
— |
|
|
|
||
{(аѴГ> ( а а Г > Р > = 2 |
IM M H M l ' V l ) ' ' * * ' |
X |
|||||
|
|
х { м У { ; ; ^ і ( . ѵ - ' ( л г в г + |
|
||||
|
|
|
|
|
+ |
([,] [k\№ |
М1''-(а*а)™>. |
2.2. Продолжить расчеты и доказать справедливость соотно шения
{(аѴ Г') (аа)( і , г ) )( 0 0 , -{(аа)( ^(аѴ) ( ' А ') )( 0 0 ) = |
|
|
||
= |
{М mm |
M)' / 2 [l + ( - i r + / i |
] |
[(а+ а)( 0 0 ) +(аа-70 0 ) ]- |
2.3. Обобщить |
предыдущий результат на |
соотношение |
||
{ ( a V ) ( S i ) ( а а ) ' 5 ' ^ } ^ (_i)*+*+l + {(aa)( S 'i ') |
( а Ѵ ) , И ) | ( , " = |
|||
= i [ 5 ] [ ^ m ^ } - { ^ y } { r : f } [ i + ( |
- i ) - ] x |
|||
X [ l + |
( - l ) s ' + |
i ' ] ( a + a ) ( I f t ) - 3 ( ^ 0)8(Ä, 0) X |
||
|
|
X [ l + ( - l ) s + i ] ( [ S ] [ L \ } ' < \ |
||
|
Гл. |
2. |
Связывание |
тензорных операторов |
23 |
|
2.4. Продолжить |
вычисления из |
разд. 2.3 и составить следую |
||||
щую |
таблицу |
значений |
для |
коэффициентов |
((110)£/ + |
|
+{\\\)U'\W{2\)):
uw
|
(11)(10) |
(10)(20) |
(И) (20) |
(210) |
1/4 |
1/2 |
(ll/16)v = |
(211) |
1/2 |
2/3 |
—(ll/36)'/ 2 |
(221) |
( l l / 1 6 ) V î |
— ( l l / 3 6 ) V s |
1/12 |
2.5* !>. |
Почему |
получаемая в задаче |
2.4 таблица симметрична? |
•> Здесь |
н далее |
звездочка означает, что |
решение соответствующей задачи |
не известно автору; см. также замечания автора в конце первой части.
ГЕНЕАЛОГИЯ
3.1. Определения
В точности так же, как мы используем общее обозначение Т<*й>
для (2и+1)(2&+1) |
компонент |
тензорного оператора |
, можно |
использовать общее |
обозначение |
|
|
|
| / ' Ѵ і > |
|
|
для совокупности всех состоянии |
|
|
|
|
I |
^SLMSML). |
|
Символ у здесь — дополнительный классификаторныіі |
символ, |
||
который необходимо вводить для однозначной характеристики со стояний. Введенное сокращенное обозначение состояний очень удобно при выписывании результатов связываний, проводимых с использованием соответствующих коэффициентов КГ. Так, напри
мер, можно |
построить |
состояние |і|>) конфигурации I х , |
привязывая |
к состоянию |
ty(=ySL) |
конфигурации / л ' _ 1 с помощью |
оператора |
порождения |
а * один электрон I: |
|
|
| б > = ! х { а + | Л - ' ^ З Г Г ' ;
обычно |
необходимо вводить множитель |
д., который обеспечивает |
|||
нормировку |
на единицу |
получаемого |
состояния т|з. Будем говорить, |
||
что яр |
это |
родительское |
состояние |
для |
состояния ір. |
Для данного состояния яр обычно можно указать несколько ро |
|||||
дительских— |
состояний. Как известно, имеется только один терм ~І |
||||
для конфигурации /3 ; поэтому все четыре |
состояния |
||||
| а + | / 2 7 > } ( , / ' 6 ) ,
{а + | / 2 3 Я » ( , / Л
{а + | / 2 3 ^ » ( , / ' 6 )
должны быть пропорциональными друг другу. Известно также, что
нет ни одного терма 4 |
Я для |
конфигурации |
f3, и поэтому |
(а+1 f |
3 Я » |
5 ) = ! af I f |
ZF)\^5)=0, |
В справедливости последних формул можно непосредственно убе диться, раскрывая в явном виде эти выражения и расписывая под робно выражения для состояний термов 3 Я и 3F.
Гл. 3. Генеалогия |
25 |
Когда терм SL появляется более одного раза среди термов кон фигурации /-ѵ, часто можно добиться хотя бы формального разде ления его пространства (т. е. такого разделения, при котором кулоновское взаимодействие не диагоналнзуется, но которое все же очень полезно в других отношениях), заменяя индекс у индексами неприводимых представлений определенных групп (например,
индексами W и U представлений групп R- и Gz). Если у обозна чает индекс состояния, которое имеет хорошую теоретико-группо вую классификацию, то этого, вообще говоря, нельзя сказать о со стояниях
потому что при связывании спинового н орбитального пространств получается лишь суперпозиция состояний с хорошо определенными теоретико-групповыми свойствами. Иногда, однако, родительские состояния можно выбрать так, чтобы получались состояния с хо рошей теоретико-групповой классификацией. Рассмотрим, напри
мер, |
два терма 2 Я |
конфигурации /3 . Они |
несут индексы |
представ |
|||
лений |
U={2\) |
и £ /=(11) |
соответственно |
[6]. Оператор |
рождения |
||
af |
в |
отношении |
группы |
G% преобразуется как соответствующее |
|||
ему одноэлектронное состояние, т. е. по неприводимому представ лению (10). Родительское состояние 3F также принадлежит пред ставлению (10), и поэтому при составлении состояния { a f і р 3 / 7 ) } ^ ) мы можем сконструировать только состояния, принадлежащие представлению, содержащемуся в произведении ( Ю ) Х ( Ю ) . Это
кронекеровское |
произведение |
содержит представление (11) и не |
|
содержит представления (21); |
следовательно, |
||
|
| / 3 2 Я ( 1 1 ) > = , { а + | / 2 ^ » ( , / ' - 5 ) . |
||
С другой стороны, терм |
3 Я |
принадлежит представлению (11), |
|
а произведение |
( Ю ) Х ( П ) |
несодержит представления (11) в своем |
|
разложении. Следовательно,
|
| / " t f ( 2 1 ) W { a 4 / a W ' , e ) . |
|
|
|
3.2. Генеалогические |
коэффициенты |
|
Поскольку |
а + •—тензорный оператор, для него |
можно |
рассмот |
реть редуцированные матричные элементы |
|
|
|
|
( е І И І Ю , |
|
|
где Q( = ySL) |
и Q(=ySL) —состояния конфигураций lN |
и / і Ѵ _ 1 со |
|
ответственно. Величины, которые даются формулой |
|
|
|
( - і Л л ^ і ш Г Ч е І а Ч ѳ ) .
26 |
Б. Джадд. Теория атомных спектров |
часто записывают сокращенно как (Ѳ{|Ѳ) и называют генеалоги ческими коэффициентами. Можно показать [10], что для действи тельных генеалогических коэффициентов имеет место соотношение
( 0 { | ѳ ) = ( - і П Л / [ 5 ] |
ЩГ'і>(0\\а\\0), |
|
|
|||
в котором |
|
|
|
|
|
|
X=N-\-S-T-I |
— S - |
1 - S |
- L . |
|
|
|
Генеалогические |
коэффициенты удовлетворяют |
определенным |
||||
соотношениям ортонормировки. Чтобы |
эти |
соотношения |
выписать |
|||
в явном виде, положим Q=ySL |
(см. выше) |
и B'^y'SL |
(обратите |
|||
внимание, что у S и |
L штрихов |
нет). Тогда |
имеем |
формулу |
||
2 ( ѳ { | ѳ ) ( о ' ( | е ) = ( - 1 Г - г - |
5 ^ { л / [ 5 ] |
[Ц)-'х |
ѳ |
|
|
х 2 |
( - 1 ) ? + г ( ѳ І | я + І Ю |
(öl e l i x |
ir |
|
|
Чтобы вычислить сумму в правой части, мы заменим величину
произведением двух 6/-символов
|
f s |
0 |
s) |
f I |
0 |
I \ |
|
|
[S |
S |
Sj |
\L |
L |
Ц' |
|
После |
этого можно воспользоваться |
|
формулой |
Эдмондса [8, фор |
|||
мула |
(7.1.1)] и получить |
|
|
|
|
|
|
2 ( о { | ѳ ) ( ѳ ' { І Ю = |
|
|
|
|
|
|
|
|
. = ( - 1 ) * + и Л Г ' { И |
[l\l[S\ |
[Ц)''-(в\(***)т\П |
||||
Теперь нетрудно доказать |
[10], что |
|
|
|
|||
откуда легко, далее, получить
( а + а ) ( Ш ) = - Л М И [ / 1 Г ' / ; . |
(б) |
Редуцированный матричный элемент этого связанного тензорного оператора получается умножением правой и левой частей соотно-
