Файл: Цейтлин Г.М. Аэродинамика и динамика полета самолета с ТРД учебник.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 10.04.2024

Просмотров: 149

Скачиваний: 17

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

удвоенной

сумме

напряжении

всех

п вихрей,

проходящих через

этот

контур:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(1.8)

Если вихрей в потоке нет,

циркуляция

скорости

по

любому

замкнутому

контуру равна нулю. Такой поток

называют

п о т е н ­

ц и а л ь н ы м .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рассмотрим

поле окружных

скоростей,

индуцируемых

(наводи­

мых) в потоке вихрем. Многочисленные исследования

показывают,

что

центральная

часть — ядро

вихря — вращается

как

твердый

стержень, т. е.

с

постоянной

угловой

 

 

 

 

скоростью.

Значит,

внутри

ядра

 

 

 

 

окружная

скорость

и = шг

линейно

 

 

 

 

возрастает с удалением от оси вихря

 

 

 

 

(рис.

1.3).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Для того чтобы выявить характер

 

 

 

 

изменения

окружной

скорости вне

 

 

 

 

ядра, охватим его контуром в виде

 

 

 

 

окружности

произвольного

радиуса

г

 

 

 

 

с центром на оси вихря. В силу

симме-

 

 

 

 

Рис. 1.2. К определению циркуляции

Рис. 1.3. Поле скоростей, индуци­

скорости по контуру

рованных вихрем

трии картины проекция вектора скорости на касательную к такому контуру одинакова во всех его точках и совпадает с окружной ско­ ростью U. Записав выражения (1.7) и (1.8) применительно к дан­ ному случаю, получаем 2 тег С/ = 2 /, откуда следует, что окружная скорость гиперболически убывает с удалением от оси:

U

= ~ .

(1.9)

§ 1.4. Проявление инертности

воздуха. Связь между

изменениями

давления и скорости на элементарном участке струйки

Как

уже упоминалось,

основными

механическими

свойствами

воздуха являются инертность, вязкость и сжимаемость.

 

Под

и н е р т н о с т ь ю

т е л а в

механике

понимают его спо­

собность

сопротивляться

изменению

скорости.

Мерой

инертности

13

тела является его масса: чем она больше, тем большую силу нуж­ но приложить к телу, чтобы сообщить ему заданное ускорение. Применим второй закон Ньютона, выражающий эту закономер­ ность, к элементарному воздушному слою толщиной dx, движуще­ муся слева направо в произвольной струйке (рис. 1.4). Пусть на

Рис. 1.4. К выводу дифферепци алыюго уравнения Бернулли

левой

границе

этого слоя

воздух

имеет скорость

V и давление р, а на

правой — соответственно

V + dV

и

p\-dp.

Обозначим

плотность воз­

духа в данном

слое р, а площадь по­

перечного сечения

струйки

f.

 

 

Очевидно, что

рассматриваемый

слой

имеет объем

dv — fdx — fVdt

ив

нем заключена

воздушная

масса

dm = pdv = pfVdt. Под действием раз­ ности сил давления dP = fp—f{p+]

i-dp)=—fdp эта масса приобретает

ускорение / = -jf.

По второму

закону Ньютона dP — dm dV , т. е. —/dp — pfVdt

dV ,

откуда

после очевидных сокращений окончательно получаем

 

 

—dp = ?VdV.

 

(1.10)

Напомним, что произведение pV

встречавшееся

ранее в

курсе термодинамики, выражает массу воздуха, .проходящую в еди­ ницу времени через единицу площади поперечного сечения струйки, и называется удельным расходом.

Из уравнения (1.10), которое называют уравнением Бернулли

вдифференциальной форме, следует:

—что изменение давления вдоль струйки является обязатель­ ным условием изменения скорости;

—что приращения давления и скорости всегда противоположны по знаку (повышение давления сопровождается уменьшением ско­ рости, и наоборот);

—что чем выше удельный расход воздуха pV, тем больше тре­ буется изменить давление, чтобы получить заданное изменение скорости.

§ 1.5. Проявление вязкости воздуха, сила вязкого трения

В я з к о с т ь ю с р е д ы называют ее способность сопротивлять­ ся сдвигу одних слоев относительно других.

Как известно из курса физики, вязкость газов обусловлена тем, что в процессе хаотического теплового движения молекулы перехо­ дят из слоя в слой. Каждая молекула с массой тм, пришедшая из слоя J (рис. 1.5) в слой 2, сообщает ему импульс mM(Vi — V2).

14

В результате

на слой 2 действует сила вязкого

трения,

равная сум­

ме таких импульсов за единицу времени.и направленная

вперед.

Таким же образом и слой 2 действует на слой

1, но здесь

импуль­

сы mM(V2—Vi)

отрицательны и сила вязкого

трения

направлена

назад.

 

 

 

 

Между слоями образуется переходный слой, в котором скорость постепенно изменяется от V\ до V%. График, изображающий изме­ нение скорости вдоль нормали к линиям тока в переходном слое,

называют профилем скоростей, а производную-^-, характеризую­ щую темп изменения скорости, — градиентом скорости по нормали к линиям тока.

Рис. 1.5. Профиль скоростей в переходном слое

Сила вязкого трения F, действующая со стороны одного воз­ душного слоя на другой на площадке S [м2 ], параллельной линиям

тока, пропорциональна градиенту

dV

 

 

 

 

 

 

F =

p S - ^ [ H ] .

 

(1.11-1)

Сила, приходящаяся на единицу площади

 

 

JL—

d V

4 - = — - ] ,

 

(1-11-2)

S

^

dn

 

 

 

 

называется напряжением

вязкого трения. Входящий в э т у зависи-

 

 

 

т

кг

называется

мость коэффициент пропорциональности р= -jy[_

м - с

 

 

 

dn

 

 

коэффициентом динамической вязкости. Для воздуха при темпера­

туре / = 1 5 ° С р.= 1,752

кг/м-с.

С

повышением температуры интен­

сивность

хаотического

движения

молекул возрастает и

коэффи­

циент

увеличивается.

 

 

 

 

 

§ 1.6. Проявление сжимаемости воздуха.

 

 

Скорость звука и число М

 

С ж и м а е м о с т ь ю

тела

называют его способность

изменять

свою плотность при изменении давления. Газы (в сравнении с твер­ дыми и жидкими телами) легко поддаются сжатию и расширению,

15

так как в них средние расстояния между молекулами во много раз превышают размеры самих молекул и, следовательно, межмолеку­ лярные силы невелики. Количественной характеристикой сжимае- rfp г с2 I

мости является производная ~jp[~^2

jy

показывающая, как

скоро

'изменяется плотность воздуха с изменением давления.

 

 

Вместо сжимаемости

можно рассматривать

у п р у г о с т ь

воз­

духа — его способность

сопротивляться

изменению плотности. Ха-

 

 

 

dp

г м 2

1

 

 

рактеристика упругости — производная

—- ^-^-J .

 

 

Величины записанных выше производных зависят от состояния

воздуха и от характера

процесса,

в котором

изменяются

давление

и плотность. В аэродинамике рассматриваются

процессы

разгона

и торможения воздуха при обтекании различных тел. Так как теп­ лопроводность воздуха низка и разности температур между смеж­

ными струйками невелики, то за время

прохождения

некоторой

воздушной массы около тела, измеряемое

долями секунды, сколь­

ко-нибудь существенный теплообмен между струйками

практиче­

ски невозможен. Это значит, что указанные процессы можно счи­ тать адиабатными. Более того, вне переходных слоев и при плав­

ном изменении параметров в воздушных струйках нет также

«вну­

треннего подвода тепла» (за счет необратимого

перехода механи­

ческой энергии в тепло).- Поэтому

при вычислении

производных

dp

dp

 

 

 

 

 

 

—•

и - ~

можно

воспользоваться

уравнением

идеальной

адиа­

баты — изоэнтропы

-Ру = const, логарифмируя

и дифференцируя

которое,

находим

 

 

 

 

 

 

 

 

k-^- = kRT.

 

(1.12-1)

 

В правой части формулы (1.12-1) мы видим

известное из

курса

физики выражение

квадрата скорости звука: a2

= kRT

[м2 /с2 ].

Таким образом, сжимаемость и упругость воздуха характеризу­ ются скоростью звука: чем она больше, тем более упруг и менее сжимаем воздух:

4 е = « 2 ;

 

d?

1__

 

(1.12-2)

 

 

 

 

dp

~ а?

 

 

Имея

значения газовой постоянной

R и показателя

изоэнтро­

пы k, можно получить рабочую

формулу

для вычисления

скорости

звука в

воздухе

 

 

 

 

а - 2 0 , 1

К Г [м/с],

(1.12-3)

16

Зная, как изменяется температура с/высотой (см. формулу 1.2), легко определить закон изменения скорости звука для МСА в тро­ посфере:

 

 

 

ан

= 340~Ш

[м/с],

 

 

где Н — высота

в километрах.

 

 

 

 

В стратосфере Т = 231,5° = const и

соответственно

а = 295,1 м/с.

З в у к о м

в

аэродинамике называют

процесс распространения

в воздухе небольших

изменений давления и плотности. Этот про­

цесс осуществляется

в форме перехода молекул из слоя в слой при

их хаотическом

движении.

 

 

 

 

 

Хаотическое

движение

молекул

есть

 

 

всегда. Но пока

во всех

точках воздушного

 

 

пространства давление и плотность одина­

 

 

ковы, существует динамическое равновесие:

 

 

количества молекул, вылетающих из неко­

 

 

торого объема и влетающих в него

за

то

 

 

же время, равны между собой. Если же в

 

 

небольшом

воздушном объеме Ди (рис. 1.6)

 

 

давление или плотность,

повысится,

то

в

 

 

следующее мгновение из него вылетит

боль­

Рис. 1.6.

Схема распро­

ше молекул, чем влетит, в результате

уплот­

странения звуковой волны

ненным окажется соседний слой. Теперь из

 

 

него «избыточные» молекулы перейдут в следующий

слой и т. д.

От объема Av во все стороны

будет распространяться

сферическая

звуковая волна уплотнения. Скорость движения фронта звуковой

волны вдоль радиуса называется с к о р о с т ь ю з в у к а .

 

Чем выше температура воздуха, тем быстрее движутся

молеку­

лы. Это приводит, с одной стороны, к тому, что молекулы

быстрее

переходят из слоя в слой и, следовательно, увеличивается

скорость

звука, а с другой — к тому, что молекулы сильнее отталкивают друг

друга при соударениях и воздух становится

более упругим. Из этих

физических представлений и вытекает тождественность

характери­

стики упругости воздуха и квадрата скорости звука.

 

 

Проявление сжимаемости воздуха при его движении состоит в

том, что на участках

струйки, где скорость

увеличивается, давление

падает и воздух расширяется. Наоборот,

там, где струйка

тормо­

зится, давление повышается

и воздух сжимается.

 

 

Найдем связь между изменениями плотности воздуха и скоро­

сти его движения на элементарном

участке

струйки.

Совершенно

очевидно, что dp=-^dp. Отсюда

на

основании уравнений

(1.10) и

(1.12-2) получаем dp——?VJ*V

• Перейдем

к относительным

измене­

ниям плотности ~

и скорости

dV

 

 

 

 

 

V

 

 

 

 

 

 

 

 

dV

 

 

 

 

(1.13)

 

Р

а?

V

 

 

Гос.,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

мауч:

17

 

 

 

 

 

 

 

 

Смотрите также файлы