Файл: Цейтлин Г.М. Аэродинамика и динамика полета самолета с ТРД учебник.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 10.04.2024

Просмотров: 153

Скачиваний: 17

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

ность либо скорость звука. Чтобы не выполнять каждый раз допол­ нительных вычислений, уравнение Бернулли можно заранее запи­ сать в соответствующей форме. Для этого, подставляя, в первый член уравнения выражения температуры из уравнения газового со­ стояния Т = ~ — ^ - и из формулы скорости звука Г = - ~ - , получим

 

 

с т = —• — — Ср

 

р =

к

р •

 

 

 

Р

R ' 9

cp — cv

р

k — 1 ' р '

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а

 

 

 

 

 

Р'

kR

 

cp — cv

" ft — 1 *

 

Соответственно уравнению Бернулли можно придать три тож­

дественные

формы:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

срТ +

- р =

const;

 

(1.18-1)

 

 

 

• ^ Т - Т +

^ " =

С 0 П ^ ;

 

( 1 Л 8 " 2 )

 

 

 

 

- 1

а 2

+

4 - = const.

 

(1.18-3)

 

 

 

 

~

'

2

 

 

 

 

Скорость

движения

воздуха

можно

выразить

через число М:

V = Mo. Соответственно получаем еще две удобные формы записи

уравнения

Бернулли:

" у ( ь _

} + М 2 ) =

const

и

- у - ( а—"Г +

4- М2 j =

const,

или после

сокращений:

 

 

 

 

 

 

а2(т=гт+

 

 

=

=

const;'

 

(1.18-4).

 

 

 

r ( ^ - r

+ M 2

) = =

^ -

= const.

(1.18-5)

Уравнение Бернулли без учета

сжимаемости

воздуха (для ма­

лых чисел М) легко

получить, проинтегрировав

уравнение (1.10)

при условии p=const:

 

 

 

 

 

- J dp =

p f VdV;

 

 

 

 

o-;

 

 

Л + 4 _ Л +

^ Г Н ] .

 

{ U 9 )

Величину-~~ = g

называют с к о р о с т н ы м

н а п о р о м ,

а давление р | - ^ j ,

действующее

по поверхности,

параллельной

линиям тока, — с т а т и ч е с к и м

д а в л е н и е м .

 

 

При выводе уравнения (1.19) сечения f\ и /2 были взяты совер­ шенно произвольно. Поэтому полученный результат можно распро­ странять и на любые другие сечения струйки:

Pi + <7i = Pi + Чч = - • • — Рп + qn = c o n s t -

Закономерность, выражаемую этим уравнением, обычно форму­ лируют так: в н е с ж и м а е м о м п о т о к е с у м м а с т а т и ­ ч е с к о г о д а в л е н и я и с к о р о с т н о г о н а п о р а в о в с е х с е ч е н и я х о д н о й и т о й ж е с т р у й к и о д и н а к о в а .

Напомним, что полный запас энергии давления некоторой массы

газа, занимающей объем v при давлении

р, Еяавл — ри. Поэтому

статическое д.авлениер=-~^1^•^-=^-~j

выражает энергию дав­

ления единицы объема газа. Скоростной напор выражает кинетическую энергию единицы объема газа:q =—^~ — ~2~- Таков энер­ гетический смысл членов уравнения Бернулли без учета сжимае­ мости воздуха.

§ 1.9. Зависимость параметров состояния воздуха от скорости его движения

Представим себе воздушную

струйку, имеющую форму сопла

Л аваля (рис. 1.10). Будем считать,

что струйка начинается в камере,

где поддерживаются постоянные значения параметров То, ро, ро при

Рис. 1.10. Характерные сечения струйки

 

скорости V0 = 0, и выходит в полный вакуум ( Г в = р в

= рв = 0). Если

на всем протяжении струйки выполняется условие

адиабатности,

полный запас энергии воздуха во всех ее сечениях одинаков.

В сечении f0 воздух неподвижен и, следовательно, вся его энер-

гия имеет форму потенциальной энергии: — = срТ0.

Температуру

Го, соответствующую нулевой скорости при данном запасе энергии

23

воздуха, называют температурой адиабатно заторможенного пото­ ка или просто температурой торможения.

По мере разгона воздуха потенциальная энергия постепенно переходит в кинетическую. Так как ее общий запас при этом не

меняется \срТ - f ~ const), то увеличение скорости сопро­

вождается понижением температуры. Подобное явление можно наблюдать, например, при заправке самолетной воздушной си­ стемы сжатым воздухом: вентиль баллона даже в жаркую погоду часто покрывается инеем. Это объясняется именно тем, что нахо­ дившийся в баллоне воздух, проходя через небольшое отверстие вентиля, разгоняется до значительной скорости.

В общем случае, в произвольном сечении струйки, соотношение

между потенциальной и

кинетической энергиями может

быть

любым.

 

 

В критическом сечении

струйки / к р скорость воздуха равна

ме­

стной скорости звука. Обе эти численно равные физические величи­

ны принято обозначать

акр.

Поэтому энергию

1 кг

воздуха

в сече­

нии /К р-соответственно выражению (1.18-3)

можно

записать

в

виде

 

 

1

П2 | акР

_ k + ]

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k — luKP~T-

2

~~ k ~ 1

2

 

'

 

 

 

 

Отсюда видно, что в критическом сечении

потенциальная и ки-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

1

нетическая части энергии всегда находятся в соотношении

 

 

: у ,

т. е. (при £ = 1,4)

запас

потенциальной

энергии

превышает

кинети­

ческую энергию ровно в пять раз.

 

 

 

 

 

 

 

 

В сечении / в

(на выходе

в вакуум)

процесс

перехода

потенци­

альной

энергии

в кинетическую

завершается

и воздух

обладает

 

 

 

 

 

Е

 

е

 

 

 

 

 

 

только

кинетической

энергией

— = — Ц ^ - .

 

Наибольшую

ско­

рость

Удред, До которой

воздух мог бы

адиабатно

разогнаться

при

условии полного перевода всей потенциальной энергии в кинетиче­

скую,, называют

п р е д е л ь н о й с к о р о с т ь ю

данного

потока.

/ в )

Запишем уравнение Бернулли для трех характерных

(/0 , fKp,

и произвольного

(/) сечений

струйки:

 

 

 

 

 

 

 

 

СрТо = -JZZJ"

~f"1=8 ~~ТГ" ^

С Р Т

+ ~ Г ^

1 Г =

c o n s

L

( 1

• 2 ° )

В

струйках, обтекающих

части

самолета в

полете,

может

не

быть

сечения fo,

в котором

скорость равнялась

бы

нулю.

Разгон

воздуха до скорости Уцред в атмосфере

вообще

невозможен.

При

небольшой дозвуковой или большой сверхзвуковой скорости полета воздушные струйки могут не иметь и критического сечения /К р, в ко­ тором осуществлялся бы переход через скорость звука. Независимо от этого параметры Го, а к р и Уп р е д имеют большое практическое зна­ чение, поскольку, как видно ^из уравнения (1.20), каждый из них однозначно определяет полный запас энергии единицы массы воз-

24

духа в данном потоке. Между этими параметрами существует по­ стоянное соотношение

Лж

Для воздуха при £ = 1,4 и с р « 1 0 0 0 кг-град

V % „ = 6a£p «20007-0.

Зависимость температуры воздуха от скорости его движения очевидна из уравнения (1.20). Ее принято записывать в относитель­ ных параметрах

^ = 1

- 1 ^ Г

( 1 - 2 2 4 )

или на основании соотношения

(1.21):

 

 

 

(1.22-2)

' о

\ v пред

/

Для того чтобы определить температуру торможения, достаточ­ но знать скорость и температуру в каком-либо одном сечении струйки-: В реальных задачах, связанных с обтеканием частей само­ лета, как правило, известны значения V<x> и Тж невозмущенного по­ тока. Тогда из формулы (1.22-1):

 

 

Ъ - т . + Ъ

^

+ т*-

 

( 1 - 2 3 - 1 }

Если известна не скорость, а число М» невозмущенного потока,

можно воспользоваться уравнением (1.18-5). Поскольку

при

Т=Т0

число М = 0, то

7 1 0 ^ f e ^ _ 1 + 0 j = 7"оо^-^~- + M l j , откуда

 

 

То =

Т„

(1 +

Ml)

= Tm (1 +

0,2M'J.

(1.23-2)

После того как

определена

температура То, скорость

Уарея

на­

ходится

из соотношения (1.21).

 

 

 

 

 

Для

того чтобы

представить

себе

порядок

величин,

приведем

несколько примеров. Так, в стандартных условиях на уровне моря

числу М полета, равному 0,5,

соответствуют

7 0 =302° абс, УП ред=

= 773 м/с, й к р

= 317 м/с. ПриМ,»=1,0

Г0 = 346° абс,

Уп Р ед = 832

м/с,

о„р = 338 м/с.

При М<* = 2,0

Г 0 = 5 1 8 0

абс,

Ул р е д=1030 м/с,

=

= 423 м/с.

 

 

 

 

 

 

Поскольку

скорость звука

пропорциональна УТ,

то

 

 

£ Г - [ ' - ( т £ г ) Г -

<••*>

Если в струйке выполняется не только общее условие адиабатности (отсутствие теплообмена с окружающей средой), но и усло­ вие изоэнтропности (отсутствие внутреннего подвода тепла, свя-

25

заНного с трением и резкими изменениями Параметров), то можно воспользоваться уравнением идеальной адиабаты и перейти от от-

Т

носительной температуры -jr- к относительным значениям давления и плотности:

* - ( £ Г-['-(-£ г)'Л

 

т_

1

1 -

2,5

р

*-1

(1.26)

Ро

То

 

( ^ п р е д )

-

Параметры р0

и ро называют

соответственно

давлением и плот­

ностью идеально заторможенного потока. Их значения можно оп­

ределить

из

формул (1.25)

и

(1.26), если

известны

скорость,

дав­

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ление

и

плотность

воз­

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

духа в каком-либо одном

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

сечении. Давление ра так­

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

же

часто

называют

п о л ­

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

н ы м д а в л е н и е м

дан­

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ного

потока.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Графики

зависимостей

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(1.22),

(1.24),

(1.25)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

и

 

(1.26)

приведены

на

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

рис. 1.11. Как видно, уве­

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

личение

скорости

сопро­

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

вождается

 

уменьшением

 

 

 

 

 

 

 

W Vnpeg

всех

параметров

состоя­

Рис. 1.11.

Изменения

параметров

состояния

ния

воздуха.

Физические

причины

этой закономер­

воздуха

при изоэнтропном

разгоне

ности

были

рассмотре­

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ны

ранее.

Так,

падение

температуры

обусловлено

переходом

теплосодержания

воздуха

в кинетическую энергию,

понижение

давления

объясняется

про­

явлением

 

инертности

 

воздуха

' ( с м - §

1-4).

 

а

расширение

(уменьшение

плотности) —проявлением

его

сжимаемости

(см.

§1 . 6) .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Параметры состояния воздуха в критическом сечении струйки

(при V—aKp)

 

легко получить,

подставляя

в соответствующие

фор

(

V

\ 2

(

« к Р V

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

М У Л Ы

п р е д ,

 

V пред

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

- ^ = 4 - =

0,833;

- ^ - =

1^0,833 =

0,912;

 

 

 

12-

= 0,8333 , 5

=

0,528;

=

0.8332 , 5 =

0,636.

 

 

 

Ро

 

 

 

 

 

 

Ро

 

 

 

 

 

 

 

 

 

26

Смотрите также файлы