Файл: Теория линейных электрических цепей учеб. пособие.pdf

но фазовой цепью. В противном случае имеем дело с неминимально фазовой цепью. Для нее полином W (р) имеет некоторое количество нулей в левой полуплоскости и остальные нули в правой полу­ плоскости, поэтому он может быть разбит на два сомножителя:

где Wn (р) содержит лишь нули в левой полуплоскости, т. е. явля­ ется полиномом Гурвица, и (р) имеет нули лишь в правой полу­ плоскости. Всегда можно найти такой полином ГурвицаѲ (p), у кото­ рого все нули расположены симметрично относительно начала коор­ динат по сравнению с нулями полинома и (р), т. е. если у полинома и (р) есть нуль (а + /ß), то у полинома Ѳ (р) существует нуль (—а —

—/ß). Поэтому можно написать

и( р ) = 8 ( - p ) .

Передаточную функцию (19.1) можно представить в виде произ­ ведения двух передаточных функций:

В этой формуле первый сомножитель 7\ (р) является переда­ точной функцией минимально фазовой цепи, так как состоит из полиномов Гурвица. Второй сомножитель Т 2 (р) — передаточная функция четырехполюсника, который называется фазовым контуром. Для пояснения этого названия найдем частотную характеристику фазового контура, для чего положим р = /со. Тогда

Амплитудно-частотная характеристика фазового контура равна единице, т. е. фазовый контур одинаково пропускает все частоты. Если передаточная функция — коэффициент передачи напряжения, то это значит, что на всех частотах напряжение после прохождения

584

через четырехполюсник остается неизменным, меняется лишь фаза. Этим объясняется его название.

Из равенства (19.3) следует, что всякую неминимально фазовую цепь можно заменить каскадным соединением минимально фазовой цепи и фазового контура, так как при каскадном соединении коэф­ фициенты передачи напряжения (и тока) перемножаются.

Задача синтеза четырехполюсника сводится к синтезу минимально

варьируемые параметры, которые необходимо найти, чтобы значения функции ф в данном интервале были бы возможно ближе к значениям функции /. Задача аппроксимации хорошо разработана и подробно изложена в соответствующих математических курсах. Здесь вкратце излагаются те методы, которые чаще всего применяются в теории цепей.

Первым наиболее простым методом является метод интерполяции. При интерполировании выбирается п значений переменной х внутри (и на краях) заданного интервала, равное числу определяемых пара­ метров, так, чтобы в этих п точках, называемых узлами интерполя­ ции, заданная и аппроксимирующая функция совпадали. Можно составить п уравнений:

m

а 2 = ! > ( * * ) - / ( * * ) I 2 .

которая должна иметь минимальное значение. Этот метод называется

методом наименьших квадратов. Число точек m выбирается больше

685

числа варьируемых параметров п. При m = п сумма обращается в нуль и метод наименьших квадратов вырождается в метод интер­

функции могут быть вокруг этой точки разложены в ряд Тейлора:

и в ряде других отраслей техники, применяется метод аппроксима­ ции по Чебышеву. Если аппроксимирующая функция ср (х) колеб­ лется вокруг заданной функции / (х), принимая в некоторых точках

ния функций была впервые сформулирована и в основном решена П. Л. Чебышевым. Методы определения варьируемых параметров аппроксимирующей функции, чтобы получилось наилучшее при­ ближение к заданной функции, называются методами аппроксима­ ции по Чебышеву. Можно доказать, что если рациональная функция ср (х), содержащая п варьируемых параметров, аппроксимирует вещественную функцию / (х) по Чебышеву, то все наибольшие откло­ нения по абсолютному значению в границах интервала равны и число их равно (п + 1).

С помощью выбранного метода аппроксимации заданную харак­ теристику заменяют такой функцией, которая удовлетворяет усло­ виям физической реализуемости (хотя это не всегда сразу удается) и тогда можно приступать к реализации цепи.

§ 19.4. Реализация цепи

Задача реализации цепи по данной характеристике затрудняется многозначностью решения. Если не задаваться целью получения наилучшего решения, то трудности значительно уменьшаются.

Простые методы синтеза двухполюсников на основе канонических схем были изложены в гл. X V I . Укажем на такие же возможности и для четырехполюсников, причем напомним, что в этом случае каноническими схемами являются мостовые четырехполюсники.

Рассмотрим простой случай, когда задан коэффициент передачи напряжения выражением (19.1). Назовем четырехполюсником посто-

586

янного характеристического сопротивления такой мостовой четырех­ полюсник (см. рис. 17.18), у которого двухполюсники Za и Zb об­ ратные, т. е.

где R0 — вещественная величина. У такого четырехполюсника согласно формуле (17.57) характеристическое сопротивление

Оно не меняется при изменении частоты, и четырехполюсник оказывается полностью согласованным, если нагрузкой является активное сопротивление Rn. Характеристическая постоянная пере­ дачи согласно формуле (17.58)

Коэффициент передачи напряжения согласно формуле (17.41) связан с постоянной передачи

ТПгЛ — 6 ( ~ М

Т- ^ = Т 7 ] с о Г -

Согласно (19.10)

В зависимости от Ѳ (р) определяется порядок фазовых контуров. Фазовый контур первого порядка имеет передаточную функцию

где а > 0, чтобы корень полинома в знаменателе лежал в левой полуплоскости. Согласно (19.11)

587

Сопротивление Za реализуется в виде индуктивности, Zb -— в виде емкости. Фазовый контур второго порядка определяется пере­ даточной функцией

Двухполюсник Za реализуется в виде параллельного контура, Zb—в виде последовательного контура.

Для дальнейшего изучения вопросов синтеза цепей следует обратиться к специальным курсам.

ЛИ Т Е Р А Т У Р А

1.А т а б е к о в Г. И. Теория линейных электрических цепей. «Советское радио», 1960.

3.Б е л е ц к и й А. Ф. Основы теории линейных электрических цепей. «Связь», 1968.

4.Б е с с о н о в Л. А. Теоретические основы электротехники. «Высшая

школа», 1964.

15.К о н т о р о в и ч М. И. Операционное исчисление и процессы в элек­ трических цепях. «Наука», 1964.

16.К р у г К. А. Основы электротехники. Изд. ГОНТИ, 1939.

17.М а т х а н о в П. Н. Основы анализа электрических цепей. «Высшая школа», 1972.

18.H е й м а н Л. Р. и Д е м и р ч я н К. С. Теоретические основы элек­ тротехники. Т. 1. «Энергия», 1967.

19.Т е у м и н И . И . Справочник по переходным электрическим процессам. Связьиздат, 1951.

и задачах. «Высшая школа», 1967,