Файл: Теория линейных электрических цепей учеб. пособие.pdf

Г л а в а д е в я т н а д ц а т а я ВВЕДЕНИЕ В СИНТЕЗ ЦЕПЕЙ

§ 19.1. Проблемы синтеза

Задача синтеза заключается в том, чтобы по заданной харак­ теристике построить электрическую цепь, обладающую этой харак­ теристикой. Решение задачи синтеза не может быть однозначным. Всегда существует множество цепей с одинаковыми характеристи­ ками. Из них надо выбрать наилучшее решение, но критерий выбора может быть различным. Можно, например, стремиться к тому, чтобы число элементов было бы наименьшим, чтобы стоимость реального воплощения схемы была бы минимальной, чтобы в схеме было воз­ можно меньше катушек и т. д. С другой стороны, и характеристики, по которым синтезируются цепи, могут быть различными. Прежде всего характеристики могут быть временными (переходная, импуль­ сная характеристика) и частотными (входной иммитанс, передаточ­ ная характеристика и т. п.). В зависимости от типа характеристики подход к решению задачи синтеза несколько различен.

В дальнейшем ограничимся рассмотрением вопросов синтеза пассивных линейных электрических цепей. Более того, ограничимся цепями, состоящими из сосредоточенных параметров, т. е. индук­ тивности, емкости, сопротивления и идеального трансформатора. В настоящее время большое значение приобретает синтез линейных цепей сверхвысоких частот, где к указанным элементам прибавля­ ется единичный отрезок длинной линии, но эти цепи здесь не рас­ сматриваются. Наконец, характеристики, которые будут считаться заданными, относятся к частотным характеристикам, что наиболее часто встречается. Синтез цепей по временным характеристикам также не рассматриваем.

Для того чтобы синтезировать цепь по заданной частотной харак­ теристике, надо прежде всего иметь аналитическое выражение этой характеристики. Но не всякая функция частоты пригодна для синтезирования цепи. Должны быть выполнены определенные условия, которые называются условиями физической реализуемости.

Иногда заданная функция частоты не удовлетворяет этим условиям.

функция, совершенно непохожая на функцию, которая удовлетво­ ряет условиям физической реализуемости. Например, при синтезе фильтра нижних частот в гл. X V I I I задавались лишь наибольшее

581

допустимое затухание в полосе пропускания и наименьшее затуха­ ние в полосе задерживания.

Поэтому прежде всего решается задача аппроксимации. Надо найти такую функцию, которая удовлетворяла бы условиям физи­ ческой реализуемости и подходила бы возможно ближе к заданной характеристике (к заданным условиям). Однако и эта задача не имеет однозначного решения. Все зависит от того, какой метод аппроксимации выбирается и с какой точностью она производится. Например, при аппроксимации заданной функции полиномом основ­ ным является выбор степени полинома.

После аппроксимации и после выбора функции, по которой будет произведен синтез цепи, необходимо приступить к реализации цепи. Как указывалось, и эта задача не имеет однозначного решения, и выбор наилучшего варианта схемы в значительной степени зави­ сит от знания технологии выполнения схем, от опыта инженера, осуществляющего синтез цепи.

В этой главе будут вкратце изложены задачи синтеза цепей, сформулированные выше.

§ 19.2. Условия физической реализуемости

При синтезе двухполюсников обычно задается входной иммитанс, т. е. входное сопротивление или входная проводимость как функция комплексной частоты р. Если отказаться от элементов с распределенными параметрами, то двухполюсник реализуется в виде многоконтурной схемы. Его иммитанс (см. гл. XVI) выражается дробно-рациональной функцией — отношением двух полиномов, причем степени числителя и знаменателя не могут отличаться больше чем на единицу. Оба полинома должны иметь вещественные коэф­ фициенты, и их нули должны лежать в левой полуплоскости. Такие полиномы называются полиномами Гурвица. Итак, входное сопро­ тивление и входная проводимость двухполюсника выражаются в виде отношения двух полиномов Гурвица. Это является условием физи­ ческой реализуемости и сильно ограничивает возможность реализа­ ции по заданной характеристике.

Так, входное сопротивление (и проводимость) не может выра­ жаться иррациональной или трансцендентной функцией, а также, например, функциями

так как в первой функции один из коэффициентов — комплексный, во второй — разница в степени полиномов больше единицы, в треть­ ей — один нуль числителя равен +2 , т. е. находится в правой полуплоскости.

При синтезировании реактивных двухполюсников надо допус­ тить, что могут существовать цепи без потерь. Для реактивных двух-

582

полюсников полиномы входного иммитанса не являются полиномами Гурвица, так как допускаются нули на мнимой оси. Они, однако, должны быть простыми. Например, даже при этой идеализации

Аналогично можно разобрать условия физической реализуемости для амплитудно-частотной и фазочастотной характеристик двухпо­ люсника.

При синтезе четырехполюсников задаются обычно рабочими параметрами, о которых шла речь в § 17.6. Из них чаще всего применяются передаточные функции, определяемые равенст­ вами (17.83)—(17.86) и (17.89), так как другие рабочие параметры с ними связаны. Например, рабочее затухание и рабочий коэффи­ циент передачи выражаются через нормированную передаточную функцию с помощью формул (17.95) и (17.90). Поэтому в дальнейшем будем считать передаточные функции основой синтеза четырех­ полюсников.

Докажем, что они, подобно входному сопротивлению двухпо­ люсников, выражаются отношением двух полиномов с веществен­ ными коэффициентами. Выберем для определенности одну из пере­ даточных функций — передаточную проводимость:

Т(п) = ЬМ

Как и в § 17.2, будем считать четырехполюсник многоконтурной схемой, где идеальный источник напряжения UX соединен с входными зажимами и входит в первый контур. Нагрузка четырехполюсника ZH входит во второй контур и находится внутри четырехполюсника. Выходные зажимы замкнуты накоротко и входят во второй контур. Так как напряжение (/2 на вторичных зажимах равно нулю, согласно второму уравнению системы (17.1)

Ту(р)=^.

Получилось равенство, подобное выражениям (16.8) и (16.12) для входных сопротивления и проводимости двухполюсников. Аналогичны выражения и для других передаточных функций. Поэто­ му можно утверждать, что передаточные функции четырехполюсника выражаются отношением двух полиномов и к ним применимы условия физической реализуемости, полученные в § 16.1.

Итак, любая передаточная функция

Коэффициенты a и b полиномов W (p) и V (p) должны быть веще­ ственными. Так как согласно условиям физической реализуемости у передаточной функции не должно быть полюсов в правой полу-

583