. . . , фл удовлетворяли |
определенной системе интегро-дифферен |
циальных уравнений и |
функции ф,*, |
ф* также удовлетворяли |
определенной системе интегро-дифференциальных уравнений. |
Для функций фь . . . , фэ т эта система |
интегро-дифференциаль |
ных уравнений будет |
|
|
- |
\-ч |
г Ф/ ( / ) |
ФА (/) . |
,.. |
\ |
|
~ |
Лх.щ |
(j) == є А ф . |
|
l |
J |
|
ч |
|
k — 1, |
2, |
. . . , п |
|
|
Можно показать (на этом останавливаться не будем), |
что си |
стема уравнений |
для |
функций |
фр |
ф* |
оказывается |
эквива |
лентной системе |
(6,9). |
Поэтому |
достаточно |
определить |
функции |
фі, . . . , фп так, чтобы они являлись решениями системы интегро-
дифференциальных |
уравнений |
(6,9). Эти уравнения |
и |
называются |
уравнениями |
Фока. |
|
|
|
Ji(x,y,z) |
|
и Кі(х, |
у, |
z) |
|
|
|
|
|
Если |
ввести операторы |
|
такие, |
что |
|
|
|
h |
(х, у , г) ф (х, у , z) = |
J |
г^ ^ |
^ ^ |
гіт/Ф |
(х, у , г) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
г |
Ф/0')ф(І) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Kt |
(х, у, |
z) |
ф (х, у, |
z) |
= |
J |
r^ |
^ |
у |
^ |
йх{(р{ |
(х, |
у, |
г) |
|
(8,10) |
где |
|
|
|
|
|
у (х- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
г, (*, у, |
z) |
= |
xjf |
+ |
(у |
- |
у;)* |
+ |
(г |
- |
гу )2 |
|
|
и оператор |
F |
(оператор |
Фока) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F |
(х, |
у, г) = Я (х, у, z) + |
2 |
|
|
(*, |
у, |
z) - |
Кі (х, |
у, г)] |
(6.11) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
і |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
то система интегро-дифференциальных уравнений Фока |
(6,9) |
может быть записана |
в виде |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F |
(х, у, |
г) ф А |
(х, |
у, |
г).= ek(pk |
(х, у, |
г) |
|
|
|
|
(6,12) |
|
|
|
|
|
|
|
k = |
1, 2 , . . . , |
п |
|
|
|
|
|
|
|
|
Поскольку все п функций фь . . . , фп являются собственными |
функциями |
одного |
и |
того |
же |
оператора Фока |
F, |
функции |
ф4 , . . . |
. . . , ф„, |
соответствующие |
разным |
собственным |
значениям |
ei, . . . |
Е п , |
автоматически |
являются |
ортогональными, |
как |
это |
было |
отмечено выше.
Вслучае если две или три функции щ являются вырожденными,
т.е. соответствуют одному и тому же значению ЄЙ, то всегда могут быть построены их линейные комбинации, дающие ортогональные функции.
Вводя оператор Фока (6, И ) в вариационное уравнение (6,8), из которого получена система интегро-дифференциальных уравне
ний (6,9), |
можно |
записать это вариационное |
уравнение |
в форме |
2 |
J |
~ |
е Л ) 6 ( Р І d T + |
2 |
j " |
Ф* - 8 *Ф*) |
= 0 |
(6.13) |
ft ft |
|
|
|
|
|
|
|
|
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
•Pft = |
ФА (*• |
|
2 ) |
|
|
|
|
|
|
d t = |
dx dy dz |
|
|
|
|
поскольку |
индекс |
і |
у координат х,у,z, |
по которым |
производится |
интегрирование, можно опустить. |
|
|
|
|
|
Очевидно, что это вариационное |
уравнение |
совершенно |
эквива |
лентно системе интегро-дифференциальных уравнений Фока (6,9) или (6,12).
Приложение 7.
Приближенное решение системы интегро-дифференциальных уравнений Фока методом Ритца
Приближенные решения системы уравнений Фока могут быть
|
|
|
|
|
|
получены, |
например, |
с помощью прямого вариационного |
|
метода |
Ритца. Прежде чем переходить к изложению этого метода, |
сделаем |
общее замечание об одном возможном |
пути приближенного |
реше |
ния системы уравнений Фока. |
|
|
|
Очевидно, что совокупность функций |
фь . . . , ф„, точно |
удовлет |
воряющая |
системе |
интегро-дифференциальных уравнений |
Фока |
(XXVIII,35), точно удовлетворяет и вариационному соотношению (6,13), приведенному в приложении 6, т . е . соотношению
п
2 J (ґф* ~в*ф*)6ф*dx+2 J(Fф* ~е л)б ф *d x = ° |
(7,[) |
fc=l ft |
|
Если мы хотим выбрать п функций фь . . . , ф„ из какого-либо определенного класса функций так, чтобы эти п функций могли рассматриваться как система приближенных решений уравнений Фока, то мы должны определить критерий приближенности, позво ляющий выбрать из взятого класса функций п функций фі, . . . , ф„ таких, которые согласно этому критерию являются «лучшими» при ближенными решениями уравнений Фока. Естественно, что в за висимости от цели, для которой в дальнейшем предполагается использовать «лучшие» приближенные решения, выбранные из взя того класса функций, критерий приближенности, определяющий такой выбор, может быть различным. В частности, в. качестве та-
кого критерия может быть выбран следующий. Будем считать, что из взятого класса функций «лучшими» приближенными реше ниями уравнений Фока будут такие п функций фі, . . . , , ф„, которые наиболее точно удовлетворяют вариационному соотношению (7, 1). В дальнейшем мы и используем указанный критерий. Класс функ ций, из которого мы будем выбирать «лучшие» приближенные ре шения, возьмем, используя линейный вариант прямого вариацион ного метода Ритца. Метод Ритца (в его линейном варианте) состоит в том, что в качестве такого класса функций берется сово купность функций, каждая из которых является линейной комби нацией определенных, заранее выбранных функций тех же переменных. В рассматриваемой задаче в качестве класса функ ций, из которого выбираются «лучшие» решения, возьмем совокуп ность функций ф, являющихся линейными комбинациями конеч
ного числа вполне определенных |
функций |
|
|
Xt (*> У, г) |
Хт |
(х, у, г) |
т>п |
(7,2) |
т. е. совокупность функций |
|
т |
|
|
|
|
|
|
|
Ф = 2 С « Х * |
|
(7,3) |
|
<7=1 |
|
|
где Cq — пока неопределенные параметры.
Естественно, что поскольку искомые решения уравнений Фока должны удовлетворять некоторым условиям, чтобы иметь физиче ский смысл для рассматриваемой квантовомеханической задачи, функции хь • • •, Хт должны удовлетворять определенным условиям (однозначность, непрерывность, ограниченность интеграла от квад рата модуля). По этой же причине и возможные значения пара метров Сд должны удовлетворять определенным условиям: именно, из условия нормированности любой функции ф следует, что
J* Ф*Ф dr = £ C*pCq J t p t q dx = 1 |
(7,4) |
Р, я |
|
Однако при выборе «лучших» решений уравнений Фока из класса функций (7,3) с помощью критерия, указанного выше [т.е. ва риационного соотношения (7,1)], специально учитывать уравнение (7,4) нет необходимости, потому что условие нормированности функций уже было учтено при выводе вариационного соотношения (7,1). Таким образом, из класса функций (7,3) с помощью вариа ционного соотношения (7,1) нужно выбрать п функций фі, . . . , фл , удовлетворяющих этому вариационному соотношению. Для этого
запишем фА и |
в |
виде |
|
|
|
|
т |
т ' |
|
|
Ф* - |
2 Cqk%q |
Ф* = 2 С'ркГр |
(7,5) |
вариации |
6ф\ и бф! в виде |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
т |
fic,fcx,. |
|
т |
|
(7,в) |
|
|
|
|
щ |
= 2 |
&Ф; = 2 |
|
|
|
|
|
|
<J*=1 |
|
|
|
р=1 |
|
|
и, подставив эти выражения |
в соотношение |
(7,1), получим |
2 |
2 |
K k |
2 ( F И |
- |
Ч*РЯ) |
|
c P q |
+ 2 |
2 |
^ |
2 |
- <Л ) |
|
С Р * = 0 ( W |
k |
р |
|
q |
|
|
|
|
k |
q |
р |
|
|
|
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
FPq |
= |
J" X P |
(*> 2/. 2) F (x, jy, 2) |
(x, y, 2) dx dy dz |
(7,8) |
|
|
|
|
SP<? = |
\ |
У-р (,x> У> z) |
Ц (x, y,z)dx dy dz |
|
|
Из этоговариационного соотношения, |
в |
котором |
все вариации |
бСрй, |
6C,fe |
(р, <7=1, 2, |
|
|
т; 6 = |
1, 2, |
|
п)можно |
рассматри |
вать |
как независимые, |
следует система |
уравнений, |
определяющая |
коэффициенты |
Cgk «лучшей» функции ф й в виде |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 ( ^ - e f e S p ? ) C , * |
= |
° |
|
(7,9) |
|
|
|
|
|
|
ч |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
р = 1, |
2, . . . . т |
|
|
|
|
системы уравнений вида (7,9) получаются для коэффициентов каждой из функций фь . . . , ф и . Так как все эти системы совер шенно одинаковы и отличаются только значением индекса k, то последний может быть вообще опущен. Тогда система уравнений (7.9) может быть записана в виде
|
2 ( ^ M - e S M ) C , |
= |
0 |
(7,10) |
|
я |
|
|
|
|
|
р = 1. 2 , |
т . |
|
|
|
Д л я |
коэффициентов C*pk функций |
щ |
получается |
система урав |
нений, |
совершенно эквивалентная |
системе (7,9), поэтому доста |
точно рассматривать систему (7,9) или эквивалентную |
ей систему |
(7.10) .
Система (7,10) имеет, вообще говоря, т наборов решений отно сительно параметров Cq и каждому такому набору соответствует
одно значение е. Перенумеровав эти наборы решений |
и соответ |
ствующие им значения є индексом |
от 1 до т, получим |
следующую |
систему значений є и параметров Cq, удовлетворяющих |
уравнениям |
(7,10): |
|
|
|
„(і). |
r ( D |
|
|
„(2). |
М2) г ( 2 ) |
г ( 2 ) |
Г 7 ] П |
