Файл: Стручков В.В. Вопросы современной физики пособие для учителей.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 10.04.2024
Просмотров: 150
Скачиваний: 1
и |
Xz — Xj |
X'2r- |
■x'i |
(2.14) |
|
tz — ti |
t ’z - t ' 1 |
||||
|
|
||||
Чтобы найти соотношение между и и и', |
выразим Xz— -Ч и tz — Ч |
||||
через штрихованные величины, исходя из преобразований Лоренца (2.5) и (2.7):
( x 'z — х'і) -j-ü (t'z — t' і)
A'2 ----X i |
= --------------------- |
"--------------- 1 |
|
VI - ß 21 |
|
|
( t' z— t'i) -\ -—j ( x 'z X l ) |
|
tz - h = |
---------------------------------- . |
|
|
VI - ß |
2 |
Разделив первое равенство почленно на второе, получим искомое соотношение:
|
|
|
x'z — X'i |
Х% X^ |
|
|
V |
(x 'z — x ' i ) - \ - v ( t ' z — t'i) |
t ' z - t ' i |
||
tz--ti |
( i ' 2 - t ' i ) + - ^ ( x ' z - x ' i ) |
V x 'z —x'i , |
|
|
t ' z — t'i |
||
|
|
|
|
Учтя (2.14), |
получим окончательно: |
|
|
|
u = |
u'+ v |
(2.15) |
|
vu' |
||
|
|
|
|
c*
Это и есть релятивистский закон сложения скоростей для данного частного случая — движения вдоль осей абсцисс '. Из него можно получить ряд важных следствий.
1. Формула перехода от и к и' имеет вид: |
|
|
и '= |
. |
(2.15') |
Она отличается от (2.15) только изменением знака у скорости ѵ. Это обусловлено тем, что системы К и К' физически равноправны, а факт движения систем К я К' друг относительно друга можно сформулировать двумя эквивалентными выражениями: система К' движется относительно К в положительном направлении оси Ох
(скорость |
К' положительна); система |
К движется относительно |
||||
К' в отрицательном |
направлении оси |
Ох' |
(скорость К отрица |
|||
тельна). |
|
|
с, то и и < |
с при любой |
ѵ. Это значит, что если |
|
2. |
Если |
«' < |
||||
в какой-нибудь |
системе отсчета |
тело движется с досветовой ско- |
||||
1 Это, собственно, закон не сложения, а преобразования скоростей при переходе от одной системы отсчета к другой (см. ниже).
57
ростыо, то и в любой другой системе отсчета его скорость не может превысить и даже достичь скорости света.
3. Если и' = с, то и и — с: скорость света одинакова в различ ных системах отсчета. Это есть второй постулат Эйнштейна. Но не следует думать, что мы вывели его из (2.15). Ведь закон пре образования скоростей (2.15) сам получен из преобразований Лоренца, при выводе которых был использован второй постулат Эйнштейна.
Формула (2.15) относится к тому частному случаю, когда ско рость тела параллельна скорости относительного движения систем отсчета К и К'. В этом случае вектор скорости точки имеет лишь одну компоненту — по оси абсцисс: их в системе К и и'х в К'. Преобразование (2.15) относится именно к этой компоненте:
и, |
и ' х + Ѵ |
(2.16) |
|
Вобщем случае вектор скорости может иметь три компоненты
—составляющие по осям X, Y, Z системы К (их, иу, иг) и по осям
X, Y, Z системы К' (и'х, и'у, u'z). При этом
|
Хг — |
А ' і |
|
U X |
x ' 2 — |
x'l |
|
* 2 — |
*1 |
|
t'z-l'i |
||
|
’ |
|
||||
Uy |
Уг — |
Уі |
|
n' |
y'2 — |
y ' i |
h — |
ti |
|
U у---- |
t'i |
||
|
’ |
|
t'i— |
|||
|
Zz — |
Zi |
|
и' |
z'z — |
z'i |
|
h — |
ti |
|
— |
|
|
|
’ |
|
t'z-t'i |
|||
Аналогично тому, как была получена формула (2.15), можно
получить следующие формулы преобразования других компонент скорости:
, У1 — ß2 |
, yi — ß2 |
|
|
U y = u ' y - ' — — |
, u z = u ' z — I---------- |
. |
( 2 . 1 6 ' ) |
• |
!+ -£ « '* |
|
|
Формулы (2.16) и (2.16') решают вопрос о преобразовании скорости точки от одной системы отсчета к другой. Как видим, компонента их, с одной стороны, и компоненты иѵ и uz> с другой стороны, преобразуются различным образом. Это затрудняет пред ставление трех формул (2.16) и (2.16') в виде одного векторного соотношения, играющего в СТО такую же роль, как и закон сло жения скоростей Галилея (ІА"') в ньютоновой механике. Тем не менее в СТО такое векторное соотношение имеется. И выводится оно для совсем общего случая: когда не только скорость точки, но и относительная скорость систем отсчета имеет тоже три компо ненты. Соотношение имеет вид:
58
Z 4 T ^ w + v [ ^ { i - i r ^ w |
) + i ] |
и— |
(2.17) |
1- |
|
Здесь и и и' — векторы скорости точки соответственно в систе-
мах К и К', V — вектор скорости системы К' относительно К, |
вы- |
|||
-> -■> |
собой так называемое скалярное про- |
|||
ражение и'ѵ представляет |
||||
н> |
|
|
|
|
изведение векторов и' и ѵ |
|
|
|
|
Формулы (2.16) и (2.16') получаются из (2.17), если перейти к |
||||
составляющим по осям и, |
кроме - того, положить, |
что |
|и| = |
ѵх, |
Ѵу = vz — 0, т. е. что относительная скорость систем |
К |
и К' |
на |
|
правлена по оси абсцисс. |
|
|
|
|
Как видим, формулу (2.17) уже трудно назвать «законом |
сло |
|||
жения» скоростей и' и ѵ: это закон преобразования скорости од ного и того же тела от одной системы, отсчета (К') к другой (/().
О«сложении скоростей» в СТО не говорят; речь в ней идет именно
опреобразовании скорости при переходе от одной системы отсчета
к другой.
В предельном |
случае |
т. е. фактически при |
и С с , |
|||||
релятивистское преобразование |
(2.17) переходит в преобразование |
|||||||
Галилея |
(1.4"'): |
|
|
|
|
|
|
|
1 По |
определению |
скалярным |
произведением |
а■Ь |
двух |
|
векторов |
|
а и b называется скалярная величина, |
равная: |
|
|
|
|
|||
|
|
|
/N |
|
|
|
|
|
|
|
а •b = ab cos {ab)=abb= aba, |
|
|
|
|
||
где а и b — модули |
векторов, а и Ь, аь и Ь„ — проекции одного |
вектора на |
||||||
направление другого |
вектора. Скалярное произведение |
может |
быть |
выражено |
||||
через составляющие |
|
-» |
|
|
|
|
|
|
векторов а и b по осям координат: |
|
|
|
|
||||
|
|
|
а• b = axbx-\-a,jb,j-\-azbz. |
|
|
|
|
|
Физическим примером |
скалярного |
произведения векторов |
может |
служить |
||||
работа силы: она равна скалярному произведению вектора силы F и вектора
перемещения s:
А = Д • s = Fs cos(F, s) ^ F ss.
( = означает: тождественно равно).
59
u = u ' - j - v ,
в согласии с принципом соответствия (см. § 4 гл. 3). Рассмотренные в этой главе результаты теории относительно
сти хорошо иллюстрируют положение диалектического материа лизма, согласно которому пространство и время представляют собой объективные формы существования движущейся материи. Свойства пространства и времени оказываются зависящими от характера движения материи. Как мы видели, при скоростях, срав нимых со скоростью света в вакууме, свойства пространства и времени не такие, как-при о « с. При у <С с длина стержня, т. е. расстояние между двумя точками, неподвижными друг относи тельно друга, может считаться одним и тем же во всех инерциаль ных системах отсчета, что соответствует евклидовой геометрии про странства.
Промежутки времени между двумя событиями при К < с мо гут считаться одинаковыми во всех инерциальных системах от счета, что соответствует представлению Ньютона об абсолютном времени.
При скоростях же, сравнимых со скоростью света в вакууме, длина стержня и промежуток времени между событиями не явля ются инвариантными величинами.
Г Л А В А
3 ДИНАМИКА СТО
§ 1. ВВЕДЕНИЕ
Как известно, Ньютон в своих «Математических началах на туральной философии» следующим образом формулирует второй основной закон своей динамики: «Изменение движения пропорцио нально приложенной внешней силе и происходит по направлению той прямой, по которой эта сила действует». Мерой движения яв ляется импульс тела (количество движения — по старой термино логии), а изменение движения следует относить к единице вре мени, так как оно зависит не только от величины силы, но и от продолжительности ее действия (по старой терминологии — ог импульса силы). Следовательно, в современных терминах, ньюто новская исходная формулировка второго закона имеет следующий
вид: изменение импульса тела Др в единицу времени пропорцио-
нально действующей на это тело внешней силе /:
Й, |
(3.1) |
где k — коэффициент пропорциональности, зависящий от выбора единиц измерения величин, входящих в этот закон. Если систему единиц выбрать таким образом, чтобы коэффициент k был равен единице, то второй закон Ньютона будет формулироваться так: изменение импульса тела в единицу времени равно действующей на это тело внешней силе:
Ар |
(ЗЛО |
|
At |
||
|
Поскольку в механике Ньютона масса тела считается величи
ной инвариантной, не зависящей ни |
от времени, |
ни |
от скорости, |
а изменение скорости в единицу |
времени |
есть |
ускорение |
то второй закон Ньютона можно записать в другой форме:
61
